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第一章 三角函数(复习)



第一章 三角函数(复习)
一、任意角和弧度制 1、任意角的定义: 平面内一条射线绕端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形。 2、角的分类: 规定: 正角—按逆时针方向旋转形成的角 负角—按顺时针方向旋转形成的角 零角—一条射线没有作任何旋转形成的角 书P3页

3、象限角: 角的终边在第几象限,就说这个角是第几 象限的角。 4、坐标轴上的角:

5、终边相同的角的集合: y 所有与角 ? 终边相同的角,连同 角? 在内,都可以构成一个集合: ? ? o x S ? ? ? ? ? ? k? 360 , k ? Z

?

?

即任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示 成角 ? 与整数个周角的和。 书P4页

6、1弧度的角: 长度等于半径长的弧所对的圆心 角叫做1弧度的角,用符号rad表示。

r

其中 :1、l是以角? 作为圆心角时所对弧的长,r是半径; 2、正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是 一个负数,零角的弧度数是0; 2? r 3、圆心角? 为周角时,l ? 2? r,则? ? ? 2? r ?r 4、圆心角? 为半角时,l ? ? r,则? ? ?? r

l | ? |? r

r

书P6页

7、角度制与弧度制换算: 书P7页

360 ? 2? rad
?

1°=

?

180 ? ? rad
?

180 180 ? ? ? 1rad ? ( ) ? 57.30 ? 57 18? ?

rad ? 0.01745rad

8、弧长、扇形面积公式:

1 l ? ? ? r S扇 ? l ? r 2 ? 1 1 2 ? 2 S扇 ? S圆 ? ??r ? ? ? ?r ? l ?r 2? 2? 2 2
书P8页

二、三角函数 1.任意角的三角函数:
y

设 ? 是一个任意角,它的 P(x,y) ? x 终边与单位圆交于点P(x,y), 0 A(1,0) 那么: (1) y叫做? 的正弦,记作sin? ,即sin? =y; (2) x叫做? 的正弦,记作cos ? ,即cos? =x; (3) y/x叫做? 的正弦,记作tan? ,即tan? =y/x (x≠0). 书P12页

2.三角函数在各象限的符号
y y y

+
o

+
x

-

+
o
+

-

-

-

x

+ o + tan ?

x

sin ?
y
sin ? 为 ?

cos?
全为+ o x tan ? 为+ cos ? 为+

3、三角函数线:正弦线、余弦线、正切线。
y
P

? 的终边
T

? 的终边
P

y
A(1,0)

书P16页
x
T

o

M A(1,0)

x

M T

o

y
M

y
M A(1,0)

o
P

A(1,0)

x

o

x
P
T

? 的终边

MP为正弦线,OM为余 ? 的终边 弦线,AT为正切线。

三角函数线的作法: 第一步:作出角? 的终边,与单位圆交于点P; 第二步:过点P作x轴的垂线,设垂足为M, 则有向线段MP为正弦线,OM为余弦线; 第三步:过点A(1,0)作单位圆的切线,它 与角? 的终边或其反向延长线的交点设为 T,则有向线段AT为角 ? 的正切线。
注:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些 线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点; 余弦线以原点为起点,正弦线和正切线以该线段 与x轴的交点为起点,其中点A为定点(1,0)。

4、同角三角函数的基本关系

sin ? 当? ? k? ? (k ? Z )时,有 ? tan ? . 2 cos ? 同一个角 ? 的正弦、余弦的平方和等于1, y 商等于角 ? 的正切。 3? ?

sin ? ? cos ? ? 1.
2 2

书P19页

?

5. ?2? ~ 2? 各象限角的范围
180° -180°

90°

? ??

2

? -270°

2

O

360°0 2? 0° x 0?2? -360 ° 0°

3? 270° 2

? -90°

?
2

6.特殊角的三角函数值

?



0?

30? 45? 60? 90? 180? 270? 360?
?
6

弧 度

0 0

?
4
2 2 2 2

?
3
3 2

?
2

?

3? 2

2?

sin?

1 2
3 2 3 3

1
0
不存在

0

-1

0

cos?
tan ?

1
0

1 2

-1 0
0
不存在

1
0

1

3

7、三角函数的诱导公式
公式一:终边相同的角同一三角函数值相等 公式二:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) tan(? ? 2k? ) ? tan ?
公式三: 书P14页

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
公式四:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?
书P24页

公式五: ? sin( ? ? ) ? cos ? 2 ? cos( ? ? ) ? sin ? 2

公式六:
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? sin ?

cos(

?
2

公式五和公式六可用下面的话来概括:

? ? ?的正弦(余弦)函数值,分别等于? 2 的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把? 看成 锐角时原函数值的符号。 书P26页

8、三角函数的图像与性质 ⑴三角函数的定义域、值域
三角函数
sin ?

定义域 R R
{? | ? ?

值域 [-1,1] [-1,1]

cos?
tan ?
?
2

? k? , k ? Z }

R

⑵正弦函数、余弦函数图像与性质 ? 3?
五点法作图: (0,0)y(
? ??

,1) (? ,0)( 2 ,?1) (2? ,0) 2 正弦曲线
? ?

1

???

?

???

? ?? ?

??

? ? ?
-1

?

?? ?

??

?? ?

??

y ? cos x ? sin( ? x) y 2
1

?

余弦曲线
? ?

(2? ,0)
?? ?

x

???

? ??

?

???

? ?? ?

??

? ? ?

?

?? ?

??

??

3? ? , 0) (2? ,1) 五点法作图: (0,1)( , 0) (? , ?1) (
-1

x

余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左 平移 ? 各单位长度而得到. 2

2

2

函数
y
1

y=sinx
y

y=cosx
1

图形 定义域 值域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

-1

x?R
y ?[?1,1]

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ??
(k ? Z ) ? 2k? 时,ymin

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 (k ? Z ) 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 (k ? Z ) 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性
奇函数

? ?1

x?[?? ? 2k? , 2k? ]

x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数

增函数 (k ? Z ) 减函数

周期
对称性

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z
2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z 2

⑶正切函数的图像与性质

y ? tan x
定义域: {x | x ? 值域: R
?
2 ? k? , k ? Z }

y

y ? tan x

周期性: 正切函数是周期 函数,周期是 ? 奇偶性:奇函数 内是增函数 中心对称 对称性:

?

??
2

??

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

? ? 在(? 2 ? k? , 2 ? k? ) k ? Z 单调性:

书P44页

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的周期是 T ? ? 2? y ? A cos( ? x ? ? ) 函数 的周期是 T ? ? ? 函数 y ? A tan(? x ? ? ) 的周期是 T ? ?

⑷三角函数求周期

2?

8、函数y=Asin( ? x ? ? )的图像 (1)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响. 结论 : y ? sin( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作 是把正弦曲线上所有的点向左(当? ? 0时)
或向右(当? ? 0时)平行移动 ? 个单位长度而得到.

(2)探索?对y ? sin(? x ? ? )的图象的影响.
结论 : 函数y ? sin(? x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin( x ? ? )的函数图象上所有点的横坐标 缩短(当? ? 1时)或伸长(当0 ? ? ? 1时)到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到的.

?

(3)探索A对y ? A sin(? x ? ? )的图象的影响. 结论 : 函数y ? A sin(? x ? ? )的图象, 可以看作是把

y ? sin(? x ? ? )上所有点的纵坐标伸长(当A ? 1时) 或缩短(当0 ? A ? 1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到从而 . ,函数y ? A sin(? x ? ? )的值域是 ? ? A, A? , 最大值是A, 最小值是 ? A.

问题 : 怎样由 y ? sin x的图象得到 y ? A sin( ?x ? ? ) (其中A ? 0, ? ? 0)的图象 ?

答 : (1)先画出函数y ? sin x的图象;
(2)再把正弦曲线向左 (右)平移? 个单位长度, 得到函数 y ? sin( x ? ? )的图象;
(3)然后使曲线上各点的横 坐标变为原来的 倍, 1

?

(纵坐标不变 )得到函数 y ? sin( ?x ? ? )的图象;

(4)最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A倍, (横坐标不变 )这时的曲线就是函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象.

思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2sin(2 x ? ) 3 的图象 ? ? (1)向左平移 ? 3 y ? sin( x ? )的图象 函数y ? sin x 3
1 (2)横坐标缩短到原来的 2 y ? sin(2x + ? )的图象

?

纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的2倍

3

横坐标不变

y ? 2sin(2x ? )的图象 3

?

8、振幅、周期、频率、相位、初相 书P54页 9、应用:根据图象求解析式。

y ? A sin(? x ? ? ) ? b 四个参数: A, ?, ?, b.
y
2 1
? ??

???

?

???? ??
?

?? ? ? ?

-1

? ?

?

?? ?

??

?? ?

??

x

图像最高点与相邻最低点间x值相差周期的一半 ——可求? ? ? 2? T 1 1 A ? ( ymax ? ymin ) b ? ( ymax ? ymin ) 2 2



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