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高一数学教案:函数的基本性质



第一课时:1.3.1 单调性与最大(小)值 (一) 教学要求:理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明 和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点:理解概念。 教学过程: 一、复习准备: 1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特 征呢? 2.

观察下列各个函数的图象,并探讨下列变化 规律: ①随 x 的增大,y 的值有什么变化? ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称性? 3. 画出函数 f(x)= x+2、f(x)= x 2 的图像。 (小结描点法的步骤:列表→描点→连线) 二、讲授新课: 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念: ①根据 f(x)=3x+2、 f(x)=x 2 (x>0)的图象进行讨论: 当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样?

随 x 的增大,函数值怎样变化?

②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质? ③定义增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函 数(increasing function) ④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具 有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间。 ⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减? 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?

y=x 2 的单调区间怎样? ③练习(口答) :如图,定义在[-4,4]上的 f(x),根据图像说出单调区间及单调性。 2.教学增函数、减函数的证明: ①出示例 1:指出函数 f(x)=-3x+2、f(x)= 的单调区间及单调性,并给出证明。 (由图像指出单调性→示例 f(x)=-3x+2 的证明格式→练习完成。 ) ②出示例 2:物理学中的玻意耳定律 p ?
k (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体, V
1 x

当其体积 V 增大时,压强 p 如何变化?试用单调性定义证明. (学生口答→ 演练证明) ③小结:比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; →计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简 →判断差的符号→下结论。 三、巩固练习:1.求证 f(x)=x+ 的(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数。 2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。 3.讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性。 推广:二次函数的单调性
1 x

4.课堂作业:书 P43 1、2、3 题。 第二课时: 1.3.1 单调性与最大(小)值 (二) 教学要求: 更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、 判别方法, 理解函数的最大 (小) 值及其几何意义. 教学重点:熟练求函数的最大(小)值。 教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。 教学过程: 一、复习准备: 1.指出函数 f(x)=ax 2 +bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。 2. f(x)=ax 2 +bx+c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 二、讲授新课:

1.教学函数最大(小)值的概念: ① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征?
f ( x) ? ?2 x ? 3 , f ( x) ? ?2 x ? 3 x ? [ ?1, 2] ; f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 , f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 x ?[?2, 2]

② 定义最大值:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M; 存在 x0∈I, 使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) ③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义. → 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) → 试举例说 明方法. 2.教学例题: ① 出示例 1:一枚炮弹发射,炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是
h ? 130t ? 5t 2 ,那么什么时刻距离达到最高?射高是多少?

(学生讨论方法 → 师生共练:配方、分析结果 → 探究:经过多少秒落地?) ② 练习:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大? (引导:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值; →小结:数学建模) ③ 出示例 2:求函数 y ? 分析:函数 y ?
3 在区间[3,6]上的最大值和最小值. x?2

3 , x ?[3,6] 的图象 → 方法:单调性求最大值和最小值. x?2

→ 板演 → 小结步骤:先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值. → 变式练习: y ? ④ 探究: y ?
3? x , x ?[3,6] x?2

3 3 的图象与 y ? 的关系? x?2 x

⑤ 练习:求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值. (解法一:单调法; 3. 看书 P34 例题 → 口答 P36 练习 三、巩固练习:

解法二:换元法)

→小结:最大(小)值定义 ;三种求法.

1. 求下列函数的最大值和最小值: (1) y ? 3 ? 2x ? x2 , x ?[? , ] ; (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 2.一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经 理得到一些定价和住房率的数据如右: 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? (分析变化规律→建立函数模型→求解最大值) 3. 课堂作业:书 P43 A 组 5 题;B 组 1、2 题. 第三课时:1.3.2 奇偶性 教学要求:理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点:熟练判别函数的奇偶性。 教学难点:理解奇偶性。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:什么叫增函数、减函数? 2.指出 f(x)=2x 2 -1 的单调区间及单调性。 →变题:|2x 2 -1|的单调区间 3.对于 f(x)=x、f(x)=x 2 、f(x)=x 3 、f(x)=x 4 ,分别比较 f(x)与 f(-x)。 二、讲授新课: 1.教学奇函数、偶函数的概念:
1 ①给出两组图象: f ( x) ? x 、 f ( x) ? 、 f ( x) ? x3 ; f ( x) ? x 2 、 f ( x) ?| x | . x
5 3 2 2

房价 (元) 住房率(%) 160 140 120 100 55 65 75 85

发现各组图象的共同特征

→ 探究函数解析式在函数值方面的特征

② 定义偶函数:一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那 么函数 f ( x) 叫偶函数(even function). ③ 探究:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义. (如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ) ,那么函数 f ( x) 叫奇函 数。 ④ 讨论:定义域特点?与单调性定义的区别?图象特点?(定义域关于原点对称;整

体性) ⑤ 练习:已知 f(x)是偶函数,它在 y 轴左边的图像如图所示,画出它右边的图像。 (假如 f(x)是奇函数呢?) 2.教学奇偶性判别: ① 出示例: 判别下列函数的奇偶性: f(x)= 3 x 4 、 f(x)= 4 x 3 、 f(x)=-4x 6 +5x 2 、 f(x) =3 x +
1 x3

、f(x)=2x ? 4 +3。

分析判别方法(先看定义域是否关于原点对称,再计算 f(-x)并与 f(x)进行比较) → 板演个例 → 学生完成其它 ② 练习:判别下列函数的奇偶性: f(x)=
3 x2
1 x

f(x)=|x+1|+|x-1|
x 、f(x)=x 2 ,x∈[-2,3] 1 ? x2

、f(x)=x+ 、 f(x)=

③ 小结奇偶性判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、 比商法判别 f(x)与 f(-x)的关系。 →思考:f(x)=0 的奇偶性? 3.教学奇偶性与单调性综合的问题: ①出示例:已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,问 f(x)的(-∞,0)上的单调 性。 ②找一例子说明判别结果(特例法) → 按定义求单调性,注意利用奇偶性和已知单调 区间上的单调性。 (小结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论) ③变题:已知 f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数,试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调 性,并给出证明。 三、巩固练习: 1.设 f(x)=ax 7 +bx+5,已知 f(-7)=-17,求 f(7)的值。 2.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)=
1 ,求 f(x)、g(x)。 x ?1

3.已知函数 f(x),对任意实数 x、y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),试判别 f(x)的奇偶性。 (特值代入) 4. 已知 f(x) 是奇函数,且在 [3,7] 是增函数且最大值为 4 ,那么 f(x) 在 [-7,-3] 上是 ( )函数,且最 值是 。

5.课堂作业:书 P40 1、2 题

第四课时:函数的基本性质(练习) 教学要求:掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,能应用函数的 基本性质解决一些问题。 教学重点:掌握函数的基本性质。 教学难点:应用性质解决问题。 教学过程: 一、复习准备: 1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值? 2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义? 二、教学典型习例: 1.函数性质综合题型: ①出示例 1:作出函数 y=x 2 -2|x|-3 的图像,指出单调区间和单调性。 分析作法:利用偶函数性质,先作 y 轴右边的,再对称作。→学生作 →口答 → 思考:y=|x 2 -2x-3|的图像的图像如何作?→ ②讨论推广:如何由 f ( x) 的图象,得到 f (| x |) 、 | f ( x) | 的图象? ③出示例 2:已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上 也是增函数 分析证法 → 教师板演 → 变式训练 ④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性 一致) 2. 教学函数性质的应用: ①出示例 :求函数 f(x)=x+

1 (x>0)的值域。 x

分析:单调性怎样?值域呢?→小结:应用单调性求值域。 → 探究:计算机作图与 结论推广 ②出示例:某产品单价是 120 元,可销售 80 万件。市场调查后发现规律为降价 x 元后 可多销售 2x 万件,写出销售金额 y(万元)与 x 的函数关系式,并求当降价多少个元时,

销售金额最大?最大是多少? 分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值? 小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。 2.基本练习题: ①判别下列函数的奇偶性:y= 1 ? x + 1 ? x 、 y= ? ?
?? x 2 ? x( x ? 0)
2 ? ? x ? x( x ? 0)

(变式训练:f(x)偶函数,当 x>0 时,f(x)=….,则 x<0 时,f(x)=? ) ②求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。 ③判断函数 y=
x?2 cx ? d 单调区间并证明。 (定义法、图象法; 推广: 的单调性) x ?1 ax ? b

④讨论 y= 1 ? x 2 在[-1,1]上的单调性。 三、巩固练习: 1.求函数 y=

(思路:先计算差,再讨论符号情况。 )

ax 2 ? b 为奇函数的时,a、b、c 所满足的条件。 (c=0) x?c

2.已知函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。 3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何 f(2-a)-f(a-3)<0。求 a 的范围。 4. 求二次函数 f(x)=x 2 -2ax+2 在[2,4]上的最大值与最小值。 5. 课堂作业: P43 A 组 6 题, B 组 2、3 题。



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