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浙江省宁波四中2012-2013学年高一上学期期中数学试题



宁波四中 2012-2013 学年高一上学期期中数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1、已知全集 U ? R, 集合 A ? {1,2,3,4,5}, B ? {x ? R | x ? 3} ,则 A ? (CU B) 为( ▲ ) A. {1} B. {1,2} C. {1,2,3} D. {0,1,2}

2、下列各式中成立的是( ▲ ) A. (

m 7 ) ? m7 n 7 n

1
4 B. 12 ( ?3) ? 3 ? 3

C. 4

x ? y ? ( x ? y)
3 3

3 4

D.

3

9 ?3 3

3、若函数 y ? f (x) 在 R 上单调,则函数 y ? f (x) 在 R 上的零点( ▲ ) A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数个

4、三个数 60.7 ,0.7 6 , log0.7 6 的从小到大的顺序是( ▲ ) A. log0.7 6 ? 0.7 6 ? 60.7 C. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.7 6 B. 0.7 6 ? 60.7 ? log0.7 6 D. 0.7 6 ? log0.7 6 ? 60.7

5、已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ?1) x ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 [a ? 1,2a] ,则 a ? b =( ▲ ) A.

1 3

B.

2 3 1 2
x ?1

C.

4 3

D. 2

2 6、给定函数① y ? x ,② y ? ( )

2 ,③ y ?| x ? 2x | ,④ y ? x ?

1 ,其中在区间 (0,1) 上单调递 x
D.①④

减的函数序号是( ▲ ) A.①③ B.②③

C.②④

7、已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的 图象是( ▲ )

A.

B.

C.

D.

8、已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2x ,则 f (x) ? ( ▲ ) A. x ? 4 x ? 3
2

B. x ? 4 x
2

C. x ? 2 x ? 1
2

D. x ? 2 x
2

9、若 f (x) 是奇函数,且 F ( x) ? af ( x) ? bx ? 2 在 (0,??) 上有最大值 8,则在 (??,0) 上有( ▲ ) A.最小值 ? 8 B.最大值 ? 8 C.最小值 ? 4 D.最小值 ? 6

1 ? 1 1 ?x ? , x ? A 10、设集合 A ? [0, ), B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? ,若 x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A ,则 2 2 2 ?2(1 ? x), x ? B ?

x0 的取值范围是( ▲ )
A. [ 0, ]

3 8

B. (0, ]

1 4

C. ( , ]

1 1 4 2

D. ( , )

1 1 4 2

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

共 100 分)

11、已知集合 M ? {?1,3,?5}, N ? {a ? 2, a 2 ? 6}, M ? N ? {3} ,则 M ? N ? ___ ▲_____ 12、已知幂函数 y ? f ? x ? 的图象过 ? 2,
1 2

? ? ?

2? ? ,则 f ? 9 ? =___ ▲_____ 2 ? ?

13、化简 | ?0.01 |

?

5 log 2 ?(? ) 0 ? 3 3 ? (lg 2) 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 的结果为__ ▲______ 8

14、设函数 f ? x ? ? ?

?2 x ? 1, x ? 1 2 ,满足 f ? f ?0?? ? a ,则 a 的值是___ ▲______ ?ax , x ? 1
2

15、函数 f ( x) ?| 4x ? x | ?a 恰有三个零点,则 a ? ______ ▲_____ 16、定义运算 a ? b ? a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 , 则函数f ( x) ? 的奇偶性) . 17 、 定 义 域 分 别 是

2? x 是 ( x ? 2) ? 2



函数(判断函数

D f , Dg 的 函 数 y ? (f

)x ? y ,

, 规 ( )x 定 : 函 数 g

? f ( x ?)g x ( (x ?, D f 且x ? Dg) ) ? h( x ? ? f x ( (x,? D f 且x ? Dg) ,若函数 f ( x) ? ?2 x ? 3, x ? 1 ; g ( x) ? x ? 2, x ? R 。 ) ) ? , ? g (x )(x ? D f 且x ? Dg)
则函数 h( x) 的解析式为 ▲ ,函数 h( x) 的最大值为 ▲

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算)

18、 (本小题满分 12 分)设全集为 U ? R ,集合 A 为函数 f ( x) ?

x ? 1 ? lg(3 ? x) ? 1 的定义域,

B ? {x | 2 x ? 4 ? x ? 2}
(1)求 A ? B , CU ( A ? B) (2)若集合 C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围 19、 (本小题满分 14 分)已知 f (x) 是 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? (1)求当 x ? 0 时, f (x) 的表达式 (2)判断 f (x) 在区间 (0,??) 的单调性,并用定义加以证明 20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f (x) 的表达式; (2) F ( x) ?

x

x2 ?1 是奇函数,且 f (1) ? 2 ax ? b

x ( x ? 0) , f ( x)

记 S ? F (1) ? F (2) ? F (3) ? ? F (2012 ) ? F ( ) ? F ( ) ? ? ? F (

1 2

1 3

1 ) ,求 S 的值 2012

21、 (本小题满分 16 分)如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟出一个内接四边形为绿地,使其 四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知 AB ? a(a ? 2), BC ? 2, 且 AE ? AH ? CF ? CG , 设 AE ? x ,绿地面积为 y (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2)当 AE 为何值时,绿地面积 y 最大? 22、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f (x) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立,且 f (1) ? 0 (1)求 f (0) 的值

(2)求 f (x) 的解析式 (3) 已知 a ? R , P : 当 0 ? x ? 设

1 时, 不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立;Q : 当 x ? [?2,2] 时, 2

g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数。如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A ,满足 Q 成立的 a 的集合记为 B ,
求 A ? C R B ( R 为全集) ]

宁波四中 2012 学年第一学期期中考试

高一数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

19、 (1)当 x ? 0 解: 时, ? x ? 0 ∴ f (? x) ? ? x 又∵ f (x) 是 R 上的偶函数 ∴ f ( ? x) ? f ( x) ……6 分

?x (2)任取 x1 , x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ∵ x1 , x2 ? (0,??) ∴ x1 ?

∴ f ( x) ?

x1 ? x2 x1 ? x2

……9 分 ∴ x1 ? x2 ? 0

∴ f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增 (只有判断,而没有证明,给 2 分) 20、解: (1)∵ f ( x) ? ∴?

又 x1 ? x 2 x2 ? 0 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ……12 分

……14 分

x2 ?1 b 是奇函数, ∴ a ? 0 ,其定义域为 { x | x ? ? } a ax ? b
2 ? 2 ,得 b ? 0, a ? 1 a?b

b ?0 a

又 f (1) ? 2 ,得

∴ f ( x) ?

x2 ?1 ( x ? 0) x
x x x2 ( x ? 0 ) ? 2 ? 2 f ( x) x ? 1 x ? 1 x

……7 分

(2) F ( x) ?

1 ( )2 1 a2 a2 1 F (a) ? F ( ) ? 2 ? a ? 2 ? ?1 a a ?1 1 2 a ?1 1? a2 ( ) ?1 a

…… 11 分

而 F (1) ?

1 2

又 g (x) 在 [?2,2] 上是单调函数,故有 故 B ? {a | a ? ?3或a ? 5}

a ?1 a ?1 ? ?2或 ?2 2 2
……14 分 ……16 分

∴ A ? C R B ? {a | 1 ? a ? 5}



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