9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

竞赛讲座 07面积问题和面积方法



竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法 面积问题和面积方法
基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形,故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它 形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用. 设△ ABC , a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, ha 为 a 的高, R 、 r 分别为△ ABC 外接圆、内切圆的 半径, p =

1 (a + b + c) .则△ ABC 的面积有如下公式: 2 1 (1) S ?ABC = aha ; 2 1 (2) S ?ABC = bc sin A 2
(3) S ?ABC = (4) S ?ABC = (5) S ?ABC

p ( p ? a)( p ? b)( p ? c)

1 r (a + b + c) = pr 2 abc = 4R
2

(6) S ?ABC = 2 R sin A sin B sin C (7) S ?ABC = (8) S ?ABC = (9) S ?ABC

a 2 sin B sin C 2 sin( B + C )

1 ra (b + c ? a ) 2 1 = R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) 2

2.面积定理 (1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和; (2)两个全等形的面积相等; (3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等; (4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比; (5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方; ( 6 ) 共 边 比 例 定 理 : 若 △ PAB 和 △ QAB 的 公 共 边 AB 所 在 直 线 与 直 线 PQ 交 于 M , 则

S ?PAB : S ?QAB = PM : QM ;
( 7 ) 共 角 比 例 定 理 : 在 △ ABC 和 △ A′B ′C ′ 中 , 若 ∠A = ∠A′ 或 ∠A + ∠A′ = 180° , 则

S ?ABC AB ? AC = . S ?A′B′C ′ A′B ′ ? A′C ′
3 . 张 角 定 理 : 如 图 , 由 P 点 出 发 的 三 条 射 线 PA, PB, PC , 设 ∠APC = α , ∠CPB = β ,

∠APB = α + β < 180° ,则 A, B, C 三点共线的充要条件是:

sin α sin β sin(α + β ) + = . PB PA PC
例题分析 例 1.梯形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于 O ,且 S ?AOB = m , S ?COD = n ,求 S ABCD 例 2.在凸五边形 ABCDE 中,设 S ?ABC = S ?BCD = S ?CDE = S ?DEA = S ?EAB = 1 ,求此五边形的面积. 例 3. G 是△ ABC 内一点,连结 AG , BG , CG 并延长与 BC , CA, AB 分别交于 D, E , F ,△ AGF 、△

BGF 、△ BGD 的面积分别为 40,30,35,求△ ABC 的面积.
例 4. P, Q, R 分别是△ ABC 的边 AB, BC 和 CA 上的点,且 BP = PQ = QR = RC = 1 ,求△ ABC 的面 积的最大值. 例 5.过△ ABC 内一点引三边的平行线 DE ∥ BC , FG ∥ CA , HI ∥ AB ,点 D, E , F , G , H , I 都在△

ABC 的边上, S1 表示六边形 DGHEFI 的面积, S 2 表示
△ ABC 的面积.求证: S1 ≥

2 S2 . 3 例 6. 在直角△ ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高, 过△ ABD 的内心与△ ACD 的内心的直线分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L ,△ ABC 和△ AKL 的面积分别记为 S 和 T .求证: S ≥ 2T .
例 7.锐角三角形 ABC 中,角 A 等分线与三角形的外接圆交于一点 A1 ,点 B1 、C1 与此类似,直线 AA1 与

B 、 C 两角的外角平分线将于一点 A0 ,点 B0 、 C 0 与此类似.求证:
(1)三角形 A0 B0 C 0 的面积是六边形 AC1 BA1CB1 的面积的二倍; (2)三角形 A0 B0 C 0 的面积至少是三角形 ABC 的四倍. 例 8.在△ ABC 中, P, Q, R 将其周长三等分,且 P, Q 在边 AB 上,求证:

S ?PQR S ?ABC

>

2 . 9

例 9.在锐角△ ABC 的边 BC 边上有两点 E 、 F ,满足 ∠BAE = ∠CAF ,作 FM ⊥ AB , FM ⊥ AC ( M , N 是垂足) ,延长 AE 交△ ABC 的外接圆于点 D ,证明四边形 AMDN 与△ ABC 的面积相等. 三.面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一,它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证(解)题. 例 10.凸六边形 ABCDEF 内接于⊙ O ,且 AB = BC = DC =

3 + 1 , DE = EF = FA = 1 ,求此六边

形的面积. 例 11.已知 ?ABC 的三边 a > b > c ,现在 AC 上取 AB ′ = AB ,在 BA 延长线上截取 BC ′ = BC ,在 CB 上截取 CA′ = CA ,求证: S ?ABC > S ?A′B′C ′ . 例 12. ?A′B ′C ′ 在 ?ABC 内,且 ?ABC ∽ ?A′B ′C ′ ,求征: S ?A′BC + S ?B′CA + S ?C ′AB = S ?ABC

例 13.在 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 上分别取点 D, E , F ,使 BD = 3DC , CE = 3EA , AF = 3FB ,连

AD, BE , CF 相交得三角形 PQR ,已知三角形 ABC 的面积为 13,求三角形 PQR 的面积.
例 14. E 为圆内接四边形 ABCD 的 AB 边的中点, EF⊥AD 于 F , EH⊥BC 于 H , EG⊥CD 于 G ,求 证: EF 平分 FH . 例 15. 已知 边长 为 a, b, c, 的 ?ABC ,过 其 内心 I 任 作 一直 线分别 交 AB, AC 于 M , N 点 ,求 证:

MI a + c ≤ . IN b
例 16.正△ PQR ? 正△ P ′Q ′R ′ , AB = a1 , BC = b1 , CD = a 2 , DE = b2 ,

EF = a 3 , FA = b3 .求证: a1 + a 2 + a3 = b1 + b2 + b3 .
2 2 2 2 2 2

例 17 . 在 正 ?ABC 内 任 取 一 点 O , 设 O 点 关 于 三 边 BC , CA, AB 的 对 称 点 分 别 为 A′, B ′, C ′ , 则

AA′, BB ′, CC ′ 相交于一点 P .
例 18 . 已 知 AC , CE 是 正 六 边 形 ABCDEF 的 两 条 对 角 线 , 点 M , N 分 别 内 分 ACCE , 且 使

AM CN = = k ,如果 B, M , N 三点共线,试求 k 的值. AC CE 例 19. 设在凸四边形 ABCD 中, 直线 CD 以 AB 为直径的圆相切, 求证: 当且仅当 BC ∥ AD 时, 直线 AB 与以 CD 为直径的圆相切.
训练题 1.设 ?ABC 的面积为 10 cm , D, E , F 分别是 AB, BC , CA 边上的点,且 AD = 2cm, DB = 3cm, 若
2

S ?ABE = S DBEF ,求 ?ABE 的面积.
2.过 ?ABC 内一点作三条平行于三边的直线,这三条直线将 ?ABC 分成六部份,其中,三部份为三角形, 其面积为 S1 , S 2 , S 3 ,求三角形 ?ABC 的面积. 3. ?ABC 的三边 AB, BC , CA 上分别取不与端点重合的三点 M , K , L , 在 求证:?AML ,?BKM , ?CLK 中至少有一个的面积不大于 ?ABC 的面积的

1 . 4 4.锐角 ?ABC 的顶角 A 的平分线交 BC 边于 L ,又交三角形的外接圆于 N ,过 L 作 AB 和 AC 边的垂线

LK 和 LM ,垂足是 K , M ,求证:四边形 AKNM 的面积等于 ?ABC 的 面积.
5.在等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上取一点 D ,使 DC =

AE = EC .

1 BC ,作 BE⊥AD 交 AC 于 E ,求证: 3

6.三条直线 l , m, n 互相平行,l , n 在 m 的两侧,且 l , m 间的距离为 2 , m, n 间的距离为 1,若正 ?ABC 的 三个顶点分别在 l , m, n 上,求正 ?ABC 的边长.

7.已知 ?P1 P2 P3 及其内任一点 P ,直线 Pi P 分别交对边于 Qi ( i = 1,2,3 ) ,证明:在

P1 P P2 P P3 P , , 这 PQ1 PQ2 PQ3

三个值中,至少有一个不大于 2,并且至少有一个不小于 2. 8.点 D 和 E 分别在 ?ABC 的边 AB 和 BC 上,点 K 和 M 将线段 DE 分为三等分,直线 BK 和 BM 分别 与边 AC 相交于点 T 和 P ,证明: TP ≤

1 AC . 3

9 . 已 知 P 是 ?ABC 内 一 点 , 延 长 AP, BP, CP 分 别 交 对 边 于 A′, B ′, C ′ , 其 中 AP = x ,

BP = y, CP = z , PA′ = PB ′ = PC ′ = w ,且 x + y + z = 23, w = 3 ,求 xyz 之值.
10.过点 P 作四条射线与直线 l , l ′ 分别交于 A, B, C , D 和 A′, B ′, C ′, D ′ ,求证:

AB ? CD A′B ′ ? C ′D ′ = . AD ? BC A′D ′ ? B ′C ′
11.四边形 ABCD 的两对对边的延长线分别交 K , L ,过 K , L 作直线与对角线 AC, BD 的延长线分别

G, F ,求证:

LF LG = . KF KG

12. G 为 ?ABC 的重心,过 G 作直线交 AB, AC 于 E, F ,求证: EG ≤ 2GF .



更多相关文章:
竞赛讲座 07-面积问题和面积方法
竞赛讲座 07-面积问题和面积方法_学科竞赛_初中教育_教育专区。[Everything系列-奥数冲刺]奥林匹克数学竞赛权威教程之一 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM ...
奥数竞赛讲座07--面积问题和面积方法
教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/) 竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成...
竞赛讲座07-面积问题和面积方法
竞赛讲座07-面积问题和面积方法竞赛讲座07-面积问题和面积方法隐藏>> 竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法 面积问题和面积方法基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多...
竞赛讲座 07面积问题和面积方法
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 竞赛讲座 07面积问题和面积方法 竞赛讲座,共35讲.竞赛讲座,共35讲.隐藏...
高中数学奥林匹克竞赛讲座:07面积问题和面积方法
高中数学奥林匹克竞赛讲座高中数学奥林匹克竞赛讲座隐藏>> 竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法 面积问题和面积方法基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以...
高二数学面积问题和面积方法
高二数学面积问题和面积方法_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干...
高中数奥面积问题和面积方法
高中数奥面积问题和面积方法_学科竞赛_高中教育_教育专区。不错哦竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法 面积问题和面积方法基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形...
面积问题
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 面积问题 竞赛,数学竞赛,数学隐藏>> 竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法...
7面积问题和面积方法
竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法 面积问题和面积方法基础知识[来源 基础知识 来源:Z+xx+k.Com] 来源 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形...
竞赛讲座 05几何解题途径的探求方法
竞赛讲座 07面积问题和面积... 竞赛讲座 08几何变换 竞赛讲座 09圆 竞赛讲座 ...竞赛讲座,共35讲.隐藏>> 竞赛讲座 05 -几何解题途径的探求方法一.充分地展开...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图