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大学生物理竞赛——竞赛辅导电磁学



物理竞赛辅导

——电磁学
一、电磁学的主要内容 二、 q 分布 三、电势的计算 ? 四、 B 的计算 五、电磁感应 六、电磁力、功、能 一、电磁学的主要内容 1、 研究对象 2、 场方程式的意义 3、 源激发场的规律 4、 场对电荷的作用 5、 电磁场的能量 二、 q 分布

? E

? E

r />? ? ? ? E 、 D 高斯定理对称求 E 、 D 。

重点在对称性分析。

三、电势的计算 1、 场的观点 2、 路的观点 ? 四、 B 的计算 1. 电流 ? ? 2. 运动电荷 ? B 五、电磁感应 1、 感应电动势的计算公式 2、 自感和互感 3、 电路方程 六、电磁力、功、能 1、 带电粒子在电磁场中运动 2、 静电力、静电能 3、 安培力作功、磁能 电磁学的最大特点——以场为主要的 研究对象 掌握静电场、稳恒磁场的各种计算 (包括场的分布及其对外作用) 熟悉电场与磁场之间的转化规律 电路元件(电容、电阻、电感)
? B

? ? ? B ? B传(含磁化电流 ) ? B位 ? ? D ? ?E ? ? B H? ? ? ? J ? ?E

? ? ? E ? E静 ( 含稳恒电场 ) ? E感

麦克斯韦方程组的积分形式: ? ? ?1? ? D ? d S ? ? q0
S S内

?2?
?3?

? ? ? d? ?B ? E ?dl ? ? ? ?? ?d S ? dt ?t L S
? ? ? B?d S ? 0
S

?4?

? ? ? ? ? ?D ? ? ? H ? d l ? I传 ? I位 ? ? ? ? ? J ? ?t ? ? d S ? L S?

一、电磁学的主要内容 1、研究对象——场、电荷 电场 电荷 磁场 2、场方程式的意义 电荷激发稳恒场 变化磁场激发的电场 变化电场激发的磁场
? ? ? E1 ? d S ?
S

?q
S内

?0
S内

? ? ? E感 ? d S ? 0
S

?

S

? ? D1 ? dS ? ? q0
? ? ? E1 ? d l ? 0
L

?
L

S

? ? B1 ? d S ? 0

? ? ? B1 ? d l ? ? o ? I
L内

? ? ? H 1 ? d l ?? I 0
L L内

? ? ? ?B ? E感 ? d l ? ?? ?d S ? ?t L S ? ? ?S B2 ? d S ? 0 ? ? ? ?D ? H2 ? d l ? ? ?dS ? ?t L S

麦克斯韦方程组的积分形式: ? ? ?1? ? D ? d S ? ? q0
S S内

?2?
?3?

? ? ? E ? d l ? ??
L S

? ?B ? ?d S ?t

? ? ? B?d S ? 0
S

?4?

? ? ? ? ? ?D ? ? ? H ?dl ? ? ? ? ? J ? ?t ? ? d S ? L S?

? ? ? ?D 全电流密度 J 全 ? J ? ?t

全电流总是连续的,全电流是闭合的。
? ? ??S J 全 ? d S ? 0 ,

有介质时

? ? ? E ?d S ?
S

? (q
S内

0

? q' )

?0

正确

? ? ? E ?d S ?
S

?q
S内

0

?

错误 正确

? ? ? D ? dS ? ? q 0
S S内

例:六届一、3
S


q

? ? ? E ?d S ?
S

?q
S内

0

?

不成立

(1)要明确定理的意义和适用范围

? ? ? E ?dl ? 0
L

仅适用于电荷以“平方反比律”激发的场。 ? E 线不能闭合,可以引电势

a

例:二届一、6
R1 ? R2 , dB ?0 dt
x x x

R1

比较 a,b 两点电势? 整个回路
? ? ? E感 ? d l ? ??
L

x x

x x x x

x x r x x x x x x x

R2

b

?B dB ? d S ? ?? r 2 ?t dt S

I?

?
R1 ? R2

,等效电路图

( R ? R2 )? ? U ab ? ? ? IR1 ? 1 2 2( R1 ? R2 )
R1 ? R2 , ?Uab ? 0

若 R1 ? R2 , 此时谈 a,b 两点电势没有意义。

x

?x Bx

x

x ax

r

x x xo x x x? x bx x x x x

R

x

?x Bx

x r ax

x R x xo x x x? x x b x x x x

x

? ? ? B ? d l ? ?o ? I
L L内

仅适用于场源电流闭合的情况。 有限长直导线,上式成立?
? ? (2)定理的应用不限于对称求 E 、 B

? ? ? E ?dl ? 0
L

电势
? 简化 B 通量计算

? ? ? B?d S ? 0
S

例:一届二、4 试判断能否产生一个磁感应强度 ? ? B ? f (r )r 形式的磁场? 解:作一半径为 r0 的同心球面 S,用反证法 ? ? ? ? B ? d S ? ? f (r ) r ? d S r?
s s

? f (r0 )r0 4?r02 ? 0 ? 这违反 B 的高斯定理。不存在该磁场。

3、源激发场的规律 (1)电荷(静止、缓动) ? 电场 (2)运动电荷、电流

? 磁场

(3)变化电场 ? 磁场 (4)变化磁场 ? 电场 ? ? ? E感 ? d S ? 0
? ? ? ?B ? E感 ? d l ? ? ? ?d S ? ? t L S ? ? ? B?d S ? 0
S

S

? ? ? B ? d l ? ?o ? I
L L内

?

稳恒磁场

4、场对电荷的作用
? ? F ? qE ( 1)

静电力

作功 ? 改变电势能 作功 ? 产生电动势

非静电力 ? ? ? (2) FB ? q(v ? B)

不作功 ? v 、 E k 不变 静止在磁场中的载流导体(半导体) 霍耳效应 在磁场中运动的导体 动生电动势 (3)电荷在电磁场中运动 ? ? ? ? d q( E ? v ? B ) ? ( m v ) dt 5、电磁场的能量 (1)场能密度 (2)贮能容器 电容器
1 1 Q2 2 W e ? QU ? CU ? 2 2 2C
we ? 1 1 ED , w m ? BH 2 2

感应线圈 L 、 M
Wm ?

1 1 1 2 LI , Wm ? L1 I 2 ? L2 I 2 ? M I1 I 2 2 2 2

二、 q 分布
? E 的三种算法: 1、点 q 场叠加

? E
找组合的基本构件 对称性分析

2、高斯定理 ? 3、 U ? E ? ?U ? ?U ? ?U ? E?? i? j? k ?x ?y ?z

? ? ? ? E 、 D 高斯定理对称求 E 、 D 。

重点在对称性分析。 例:十三届 11 无限大平板,厚 b,自由电荷体密度 ? , 电介质 ?1 ,? 2 求(1)电场? ? ? ?2 1 (2) U AB ? A B
l l b

例:九届二、4 无限大导体板,两侧面电荷面密度 ? 0 ,现板 两侧充电介质 ?1 ,? 2 ,求导体两侧电场强度?
?1

?2

三、电势的计算 1、场的观点 (1)两种积分 叠加法:
Ua ?

? 4??

dq
0

r ,令 U ? ? 0

(对有限带电体) 令Up ? 0 ,
Ua ? ? dq 1 1 ( ? ) 4??0 ra rp

场强法: U a ? ?a

p

? ? E ? dl ,令 U p ? 0 ,

沿任意路径积分

(2)叠加时常用的公式 均匀带电球面 半个均匀带电球面 均匀带电球 半个均匀带电球面所对的大圆面为等势面,
1 1 Q U ? U ? 大圆面上任一点 p 2 2 4??0 R

填补法 对称性 例:十届一、3 已知: U p ,UQ , 若撤去 BC 棒, 则 U ' p ,U 'Q ? 利用对称性求解
U 2 ? U QAB ? U QBC
U P ? 3U1 , UQ ? U1 ? 2U2
B

A Q P C

U1 ? U PAB ? U PBC ? U PAC ? U QAC

撤去 BC 棒后,
2 1 1 U ' P ? 2U1 ? U P , U 'Q ? U1 ? U 2 ? U Q ? U P 3 2 6

2、路的观点 (1) 一段含源电路欧姆定律
ε
a R I b

Uab ? ?? ? IR
(2) 节点电流定律 S I4

I1 + I4 = I2 + I3
I1

?
I2

I3

稳恒电流:

?

S

? ? j ? dS ? 0

? ? dq j ? d S ? ? 电流连续性方程: ?S dt

? ? 欧姆定律的微分形式: j ? ?E
? = 1/? 电导率

例:十二届 16 10 根电阻同为 R 的电阻丝连接成如图所 示的网络,试求 A、B 两点间的等效电阻。
B

A

解:
I1 I1
A

C

I2

I- I1 I2 -I1

B

I

I2 -I1 I- I1 D I2

I1

I

I1

D 点:

( I2 ? I ) 1? I ? 2 I ?I ? 1I ?

I 2 2

ADCA 环路:
( I ? I1 ) R ? ( I 2 ? I1 ) R ? I1 2 R ? 0 ? I1 ? U AB ? I1 2 R ? I 2 R ? ( I ? I1 ) R ? RAB ? U AB 15 ? R I 8 15 IR 8 3 I 8

例:十七届 8,二十二届 9,类似求电阻 例:十三届 13 电路方程
R1
x

M

x

x

K
R2

x

x x

x x R3 x x x x x x x x x

N

例:四届三、3 欧姆定律的微分形式 例:二届六 例:十二届 18 电流连续性方程 例:十九届 9 电路 例:二十二届 15 交流电路

? 四、 B 的计算

1、电流 ? 毕萨定律 稳恒电流、似稳电流、位移电流 ? ? B 、 H 环路定理 电流闭合 (1)毕萨定律
? ? ? ?0 I d l ? r dB ? 4? r3

? B

若场源电流的分布对某个平面有镜面对 ? 称性,则在此对称平面上各点的 B 只能垂直 于该平面。
? ? (2)几种可用 B 环路定理求 B

无限大均匀载流平板(例题) 无限长均匀载流圆柱体 (3)组合时常用的公式 直电流,无限长直电流, 圆电流,半圆电流,圆弧电流 直螺管, 例:十四届 14

2、运动电荷 ? (1)形成稳恒电流 带电圆环、圆盘旋转 例:六届二、3 ω 带电环片旋转, a o 求 O 点的磁感应强度 b

? B

解: dB ?

?0dI
2r
o a b

ω

? dI ? dq 2?

? ? ? 2? rdr ? ? rdr? 2?
?0
2r
b

dB ?

? r? dr ?

?0
2

?? dr

B??

?0
2

a

?? dr ?

?0
2

?? (b ? a )

?0? Q Q ? ? (b ? a ) ? 2 2 2 ? (b ? a ) 2? (b ? a )

?0

? (2)带电体的平动 v

? ? ? ? ? 0 dq v ? r ? dq r B?? ? ? 0? 0 v ? ? 3 4? r 4??0 r 3 ? ? ? ? 0? 0 v ? E
Q a dq

例:十三届 12
dq r E?? 4?? 0 r 3
?0 ? E ?? Q ? 4?? r 3 r0 0 0 ?

r0
r0 ? a r0 ? a

r
p

v

?0 ? B ? ?0? 0v ? E ? ? ?0 Qv ? r0 ? 4? r 3 0 ?

r0 <a r0 >a

五、电磁感应 1、感应电动势的计算公式 (1)一段导线上的 ? i

? i ? ?a (v ? B ? E 旋 ) ? dl
(2)闭合回路上的 ? i

b

?i ?

? L (v ? B ? E 旋 ) ? dl

d d? ? ? ? B ? dS ? ? dt S dt

例:四届二、7 2、自感和互感
d? d ? ? ? ? ? ( LI ) 一个载流线圈: i dt dt

n 个载流线圈:
? i ? Li I i ? ? Mij I j
j ?i

dI j d? i dI i ?i ? ? ? ? Li ? ? M ij dt dt j ?i dt

例:九届三、2

3、电路方程 例:七届二、3 六、电磁力、功、能 1、带电粒子在电磁场中运动 (1)只受静电力 (2)只在磁场中运动 ( 3 )带电粒子在正交的均匀电磁场中 运动

f ? q ( E ? v ? B)

例:五届二、4 七届二、2 2、静电力、静电能 带电体所受合力

F ? ? Edq
+ o
R 1 R2

反求法: 例:求带电直线给带电球的作用力.
R

r _

q1 L

q2 l

o

图 10-35

图 10-36

(2)静电力的功与静电能(电势能)

Ae ? ??We
电势能 We ? qU
We ? ? U d q

静电能(电场能) 电容器 孤立导体 导体组 电场能
1 We ? ? we dV ? ? EDdV 2 例:二十二届 17 3、安培力作功、磁能
1 1 We ? QU ? CU 2 2 2
We ?
We ?

1 Q U 2

1 Qi U i ? 2 i

F ? ? Idl ? B
例:十五届 14 力学与电磁学综合题

五届二、4,十六届 13,十九届 16, 二十一届 16,



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