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江苏省扬州中学2013届高三3月月考 数学 Word版含答案



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江苏省扬州中学数学阶段练习试卷
2013.3.9
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 M ? ? ? 1, , N ? ? x 1?
?
2 ? bi 3?i

?

1 2

? 2

x ?1

? ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ? __ ?



2.如果复数

( b ? R ) 的实部与虚部互为相反数,则 b =

.

3.一组数据 8 , 9 , x , 11 , 12 的平均数是 10 ,则这组数据的方差是_________. 4. log
2

sin

?
12

? log

2

cos

?
12

的值为


1 250

频率 组距

5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查,抽 取容量为 1000 的样本,其频率分布直方图 如图所示,根据此图可知这批样本中电子元 件的寿命在 300~500 小时的数量是_____个.

1 400 3 2000 1 2000 100 200 300 400 500 600 寿 命 ( h)

6.已知 p : ? 4 ? x ? a ? 4 , q : ( x ? 2 )( 3 ? x ) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的充分条件,则实数 a 的取值 范围是 . 7. 正四面体 ABCD 中,AO⊥平面 BCD,垂足为 O ,设 M 是线段 AO 上一点,且 ? BMC 是 直角,则
AM MO

的值为

.
2

8.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b , c ,则方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概 率为 .
1 ( n ? 1)
2

9.若数列 { a n } 的通项公式 a n ?

,记 f ( n ) ? 2 (1 ? a 1 )(1 ? a 2 ) ? ? ? (1 ? a n ) ,试通过计算

f (1) 、 f ( 2 ) 、 f (3 ) 的值,推测出 f ( n ) ?


?b
2

10.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 a 2
x ? y
2
2

?

1 2

c

2

.则直线 a x ?

by? c?0

被圆

? 9

所截得的弦长为


2 2

11.若正数 a, b 满足 2 a ? b ? 1 ,则 4 a ? b ? 12.如图,已知椭圆
x a
2 2

ab 的最大值为

.

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右准线分

-1-

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别为 l 1 , l 2 , 且分别交 x 轴于 C , D 两点, l 1 上一点 A 发出一条光线经过椭圆的左焦点 F 被 x 从 轴反射后与 l 2 交于点 B ,若 A F 13.已知函数 f ( x ) ? ① f ( x ) 是奇函数; ③当 x ?
3 2 s in x x
? BF

,且 ? A B D

? 7 5 ? ,则椭圆的离心率等于



,下列命题正确的是

。 (写出所有正确命题的序号)

②对定义域内任意 x, f ( x ) <1 恒成立;

?

时, f ( x ) 取得极小值; ④ f ( 2 ) ? f (3 ) ; ⑤当 x>0 时,若方程| f ( x ) |=k 有且

仅有两个不同的实数解 ? , ? (? ? ? ) 则 ? · ? =-sin ? 。 cos 14. 已知连续 2 n ? 1( n ? N ) 个正整数总和为 a ,且这些数中后 n 个数的平方和与前 n 个数的
*

平方和之差为 b .若

a b

?

11 60

,则 n 的值为



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分)
. 在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a ? b , sin A ? 3 co s A ? 2 sin B

(1)求角 C 的大小; (2)求
a ? b c

的最大值.

P
16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, A B ∥ D C , D C ? 2 A B , A P ? A D , P B ⊥ A C , B D ⊥ A C , E 为 P D 的中点. D 求证: (1) A E ∥平面 P B C ; (2) P D ⊥平面 A C E .

E C

A

B

17. (本小题满分 15 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳 池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地 块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,
2 若池边 AE 满足函数 y ? ? x ? 2 ( 0 ? x ?

(第 16 题图) 目

2

)的图象,且点 M 到

边 OA 距离为 t ( (1)当 t ?
2 3

2 3

? t ?

4 3

).

时,求直路 l 所在的直线方程;

(2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取 到最大,最大值是多少?
-2-

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18. (本小题满分 15 分) 给定椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

,称圆心在原点 O、半径是
2 ,0)

a

2

? b

2

的圆为椭圆 C 的
3

“准圆”.已知椭圆 C 的一个焦点为 F (

,其短轴的一个端点到点 F 的距离为



(1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2) 若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点,B , D 是椭圆 C 上的两相异点, B D 且
??? ???? ? 轴,求 A B ? A D

? x

的取值范围;

(3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l 2 ,使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都只有一个交 点,试判断 l1 , l 2 是否垂直?并说明理由.

19. (本题满分 16 分) 已知有穷数列 { a n } 共有 2 k 项(整数 k ? 2 ) ,首项 a 1 ? 2 ,设该数列的前 n 项和为 S n , 且Sn ?
a n ?1 ? 2 a ?1 ( n ? 1, 2 , 3, ? , 2 k ? 1). 其中常数 a ? 1 .
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⑴求 { a n } 的通项公式;
2

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⑵若 a ? 2 2 k ? 1 ,数列 { b n } 满足 b n ? 求证: 1 ? b n ? 2 ;

1 n

lo g 2 ( a 1 a 2 ? a n ), ( n ? 1, 2 , 3, ? , 2 k ),

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⑶若⑵中数列 { b n } 满足不等式: b1 ? 值.

3 2

? b2 ?

3 2

? ? ? b 2 k ?1 ?

3 2

? b2 k ?

3 2

? 4 ,求 k 的最大

-3-

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20. (本小题满分 16 分) 已知 f ( x ) ? x ? 切. (1)若对 [1, ?? ) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [ e , 3 ] ( e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ? ? 是自然对数的底数)内 的任意 k 个实数 x 1 , x 2 , ? , x k 都有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x k ? 1 ) ? 16 g ( x k ) 成立;
n

a x

( a ? 0 ) , g ( x ) ? 2 ln x ? bx ,且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x ) 相

(3)求证: ?
i ?1

4i 4i
2

?1

? ln( 2 n ? 1 ) ( n ? N ) .
*

-4-

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………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

附加题
?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?,属于特征值 1 ?1? d? ? 3 ? 的一个特征向量为 α2=? ?.求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2?
1.已知矩阵 A=?

? 3 ? c

3?

考试号________________ 学号_____ 班级___________

姓名_____________

2.已知圆的极坐标方程为: ? 2

? 4

? ? ? 2 ? cos ? ? ? ?? 6 ? 0 4 ? ?



⑴将极坐标方程化为普通方程; ⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 的坐标为(1,0) 。

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(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设 M、N 是抛物线 C 的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为 ? 4 ,直线 MO、NO 与抛物线的交点分别为点 A、B,求证:动直线 AB 恒过一个定点。

4.已知集合 A
ai ? a

? ?a 1 , a 2 , a 3 ,? ? ?, a n ? ,其中 a i ? R ?1 ? i ? n , n ? 2 ? , l ? A ? 表示

j

?1 ?

i ? j ? n ? 的所有不同值的个数.

(1)已知集合 P

? ?2 , 4 , 6 ,8 ? , Q ? ?2 , 4 , 8 ,16 ? ,分别求 l ? P ? , l ? Q

?;

(3)求 l ? A ? 的最小值.

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江苏省扬州中学数学阶段练习试卷答案
1. { ? 1}
n ? 2 n ?1

3.9
8.
19 36

2.1

3.2

4. ? 2
17 16

5.650 6. [ ? 1, 6 ]
6 ? 2 2

7. 1

9.

10. 2 7

11.

12.

13.②④⑤ 14.5

15.解: (1)sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+

(

? ? =2sin B,则 sin A+ =sin B. 3 3

)

(

)

因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ =?-B,故 A+B= ,C= . 3 3 3 (2)由正弦定理及(Ⅰ)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? = = sin A+sin A+ = 3sin A+cos A=2sin A+ . c sin C 3 6 3 a+b ? 当 A= 时, 取最大值 2. 3 c 16.证明: (1)取 P C 中点 F ,连结 E F , B F ,∵ E 为 P D 中 P 点 , ∴ EF ∥ D C 且 EF = 1 D C . ∵ AB ∥ D C 且 AB ? 1 D C ,

[

(

)]

(

)

2

2

∴ EF ∥ AB 且 EF = AB . ∴ 四 边 形 ABFE 为 平 行 四 边 形. ∴ A E ∥ B F . ∵ A E ? 平面 P B C , B F ? 平面 P B C , ∴ A E ∥平面 P B C . ( 2 ) ∵ PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , PB ? BD ? B , ∴ AC ? 平 面 ∵ AP ? AD , E 为 PD P B D .∵ P D ? 平面 P B D ,∴ A C ? P D . 的中点,∴ P D ? A E .∵ A E ? A C ? A ,∴ P D ⊥平面 A C E . 17.(1) M ( ,
3
2

E D

F C

A

B

2 14 9

(第 16 题图)
), l : 12 x ? 9 y ? 22 ? 0
2

(2) M ( t , ? t ? 2 ) ,过切点 M 的切线 l : y ? ( ? t ? 2 ) ? ? 2 t ( x ? t ) 即 y ? ? 2 tx ? t ? 2 ,令 y ? 2 得 x ?
2

t 2

,故切线 l 与 AB 交于点 ( , 2 ) ;
2 2 4 3 3 t 2 ? 1 t ?[ 17 12 , 11 6 ]

t

令 y ? 0 ,得 x ?

t 2

?

1 t

,又 x ?
t 2 ? 1 t t 2
? 2

t 2

?

1 t

在 [ , ] 递减,所以 x ?

故切线 l 与 OC 交于点 (
?

,0 ) 。

地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形,
1 2 (2 ? t 2 ? 1 t ? 2 ? )?2 ? 4 ? t ?
? b
2

面积 S ?

1 t

? 4 ? (t ?
2

1 t

) ? 2 ,等号 t ? 1 , S m ax ? 2 。
? 1,

18.解: (1)由题意知 c 故椭圆 C 的方程为
x 3

,且 a
2

? c

?

3

,可得 b
? y
2

2

? y

?1

,其“准圆”方程为 x 2
(? 3 ? m ? 3)

? 4


2

(2)由题意,可设 B ( m , n ), D ( m , ? n ) 又 A 点坐标为 ( 2 , 0 ) ,故 A B
??? ?

,则有 ,

m 3

? n

2

? 1,

???? ? ( m ? 2 , n ), A D ? ( m ? 2 , ? n )

-7-

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故 AB

2 ??? ???? ? m 2 2 2 ? A D ? ( m ? 2 ) ? n ? m ? 4 m ? 4 ? (1 ? ) 3

?

4 3

m

2

? 4m ? 3 ?
4 3 (m ?

4 3

(m ?
2

3 2

)

2

,
3)

又?

3 ? m ?

3

,故

3 2

) ? [0, 7 ? 4
? 4 3)



所以 A B ? A D 的取值范围是 [ 0 , 7 (3)设 P ( s , t ) ,则 s 2 当s 当s
? ?
? ?

??? ???? ?



?t

2

? 4

. 其中之一斜率不存在,另一斜率为 0,显然有 l1
? l2

3
3

时, t

? ? 1 ,则 l1 , l 2



时,设过 P ( s , t ) 且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k ,
? t ? k (x ? s)
2

则 l 的方程为 y
2

,代入椭圆 C 方程可得
? 1) x ? 6 k ( t ? k s ) x ? 3 ( t ? k s ) ? 3 ? 0
2 2
2

x ? 3[ k x ? ( t ? k s ) ] ? 3

,即 (3 k 2
2



由?

? 3 6 k ( t ? k s ) ? 4 (3 k
2 2

? 1)[3 ( t ? k s ) ? 3 ] ? 0
2

, ,

可得 (3 ?

s )k

2

2

? 2 s tk ? 1 ? t

? 0

,其中 3 ?

s

2

? 0

设 l1 , l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 k 1 , k 2 是上述方程的两个根, 故 k1 k 2
? 1? t 3? s
2 2

?

1 ? (4 ? s )
2

3? s

2

? ?1

,即 l1

? l2


? l2

综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P ,都有 l1



.



.



.

19 . 解 : ⑴

? n ? 2时 ? ? a n ?1 ? 2 an ? 2 , , S n ?1 ? ?Sn ? a ?1 a ?1 ?

两 式 相 减 得

S n ? S n ?1 ? ? an ? a2a

a n ?1 ? a n a ?1
n?2

, an ?

a n ?1 ? a n a ?1

,? a n ? 1 ? a ? a n

当 n ? 1 时 a1 ? S 1 ?

a2 ? 2 a ?1

? 2 ,? a 2 ? 2 a ,

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

n ?1 则,数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 ? a .

⑵把数列 { a n } 的通项公式代入数列 { b n } 的通项公式,可得
bn ? ? ? 1 n 1 n lo g 2 ( a 1 a 2 ? a n )

(lo g 2 a 1 ? lo g 2 a 2 ? ? ? lo g 2 a n )

1 ? 2 4 2k ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? n ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? 1 ? n ( n ? 1) 2 ? n? ? ? n ? 2 2k ? 1? n ?1 2k ? 1 .

?

?1?

-8-

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? 1 ? n ? 2 k ,? 1 ? b n ? 2 .

⑶数列 { b n } 单调递增,且 b k ? 则原不等式左边即为

3 2

?

k ?1 2k ? 1

?

1 2

? 0 , bk ?1 ?

3 2

?

k 2k ? 1

?

1 2

? 0,

3? ? 3? 3? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? b1 ? ? ? ? b 2 ? ? ? ? ? ? b k ? ? ? b k ? 1 ? ? ? ? b k ? 2 ? ? ? ? ? ? b 2 k ? ? 2? ? 2? 2? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ( b k ? 1 ? b k ? 2 ? ? ? b 2 k ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b k ) ? k
2

2k ? 1

.



k

2

2k ? 1

? 4

2 可得 k ? 8 k ? 4 ? 0 , 4 ? 2 3 ? k ? 4 ? 2 3 , 因此整数 k 的最大值为 7。

20.解: (1)设点 ( x 0 , y 0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x ) 的切点,则有
2 ln x 0 ? bx
0

? 2 x0 ? 2 .

(*) (**)

? g ?( x ) ?

2 x

? b ,?

2 x0

? b ? 2.

由(*)(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x ) ? 2 ln x . 、 由 f ( x ) ? g ( x ) 整理,得
a x ? x ? 2 ln x ,
2

? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,必须 a ? x

? 2 x ln x 恒成立.

设 h ( x ) ? x ? 2 x ln x , h ? ( x ) ? 2 x ? 2 (ln x ? x ?
2

1 x

) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ,

? h ? ?( x ) ? 2 ?

2 x

,? 当 x ? 1 时, h ? ? ( x ) ? 0 ,则 h ? ( x ) 是增函数,

? h ? ( x ) ? h ? (1 ) ? 0 , h ( x ) 是增函数, h ( x ) ? h (1 ) ? 1 , a ? 1 .

因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (2)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ?
? f ?( x ) ? 1 ? 1 x
2

1 x


8 3

? 0 ,? f ( x ) 在 [ e , 3 ] 上是增函数, f ( x ) 在 [ e , 3 ] 上的最大值为 f ( 3 ) ?



要对 [ e , 3 ] 内的任意 k 个实数 x 1 , x 2 , ? , x k 都有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x k ? 1 ) ? 16 g ( x k ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,
?

当 x 1 ? x 2 ? ? ? x k ? 1 ? 3 时不等式左边取得最大值, x k ? e 时不等式右边取得最小值.
8 3 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 .

? ( k ? 1) ?

(3)证明:当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1, ?? ) 时, f ( x ) ? g ( x ) , 即 ln x ?
1 2 (x ? 1 x ). 令x ? 2k ? 1 2k ? 1

,得 ln

2k ? 1 2k ? 1

?

1 2

(

2k ? 1 2k ? 1

?

2k ? 1 2k ? 1

),

-9-

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化简得 ln( 2 k ? 1 ) ? ln( 2 k ? 1 ) ?
4k
n

4k
2

?1


n

ln( 2 n ? 1 ) ?

?
i ?1

[ln( 2 i ? 1 ) ? ln( 2 i ? 1 )] ?

?
i ?1

4i 4i
2

?1



附加题答案 ?1? ? 3 3? ?1?=6?1?, 1.解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?可得,? ? ? ? ? ? ?1? ? c d ? ?1? ?1? ? 3 ? ? 3 3? ? 3 ?= 即 c+d=6;由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=? ?,可得? ? ? ? ? c d ? ?-2? ?-2? 2 1 - 3 2 3 ? 3 3? ?c=2, ? ? . ? ?,即 3c-2d=-2,解得?d=4.即 A=? ?, A 的逆矩阵是 ? 2 4? ? 1 1 ?-2? - 3 2

? ? ?

? ? ?

2.⑴ x 2

? y

2

? 4x ? 4y ? 6 ? 0



⑵圆的参数方程为 ?

?x ? 2 ? ? ?y ? 2 ? ?

2 cos ? , 2 s in ? ,

所以 x

? ? ? ? y ? 4 ? 2 s in ? ? ? ? 4 ? ?

,那么 x+y 最大值为 6,最小值为 2.
2

3.(1)设抛物线的标准方程为 y 所以抛物线方程为 y
2

? 2 px ( p ? 0 ) ,则

p 2

? 1, p ? 2 ,

? 4x

(2)抛物线 C 的准线方程为 x ? ? 1 ,设 M ( ? 1, y 1 ), N ( ? 1, y 2 ) ,其中 y 1 y 2 ? ? 4 , 直线 MO 的方程: y ? ? y 1 x ,将 y ? ? y 1 x 与 y
2

? 4 x 联立解得 A 点坐标 (

4 y1
2

,?

4 y1

)。

y ?

4 y1 ?

x ? 4 y1 4 y2
2

4 y1 ?
2

同理可得 B 点坐标 (

4 y2
2

,?

4 y2

) ,则直线 AB 的方程为:

?

4 y2

?

4 y1
2

整理得 ( y 1 ? y 2 ) y ? 4 x ? 4 ? 0 ,故直线 AB 恒过定点(1,0) 。 4. 解: (1)由 2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14, 得 l(P)=5 由 2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24, 得 l(Q)=6 (3)不妨设 a1<a2<a3<…<an,可得 a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an, 故 ai+aj (1≤i<j≤n)中至少有 2n-3 个不同的数,即 l(A)≥2n-3.
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事实上,设 a1,a2,a3,…,an 成等差数列,考虑 ai+aj (1≤i<j≤n),根据等差数列的性质,当 i+j≤n 时, ai+aj=a1+ai+j-1;当 i+j>n 时, ai+aj=ai+j-n+an; 因此每个和 ai+aj(1≤i<j≤n)等于 a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于 al+an(2≤l≤n-1)中的一 个.故对这样的集合 A,l(A)=2n-3,所以 l(A)的最小值为 2n-3.

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