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2015高考数学二轮复习热点题型-填空题的解法


填空题的解法
【题型特点概述】 1.填空题的特征 填空题是不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接写出的“求解题”.填空题与选择 题也有质的区别:第一,填空题没有备选项,因此,解答时有不受诱误干扰之好处,但也有 缺乏提示之不足;第二,填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中,抽出其中的一些 内容(既可以是条件,也可以是结论),留下空位,让考生独立填上,考查方法比较灵活. 从历年高考成绩看,填空题得分率一直不是很高,因为填空题的结果必须是数值准确、形式 规范、表达式最简,稍有毛病,便是零分.因此,解填空题要求在“快速、准确”上下功夫, 由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程,因此要想“快速”解答填空题,则千万不可 “小题大做”,而要达到“准确”,则必须合理灵活地运用恰当的方法,在“巧”字上下功 夫. 2.解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”,基本策略是“巧做”.解填空题的常用方法:直 接法、特例法、数形结合法、构造法、归纳推理法等. 方法一 直接法 直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、推理、 计算等,得出正确结论,使用此法时,要善于透过现象看本质,自觉地、有意识地采用灵活、 简捷的解法. x2 y2 例 1 已知椭圆 C: + =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 上点 A 满足 AF2⊥F1F2.若 4 3 → → 点 P 是椭圆 C 上的动点,则F1P· F2A的最大值为( )

解析 由椭圆方程知 c= 4-3=1,所以 F1(-1,0), 9 F2(1,0),因为椭圆 C 上点 A 满足 AF2⊥F1F2,则可设 A(1,y0),代入椭圆方程可得 y2 0= ,所 4 3 以 y0=± . 2 设 P(x1,y1), → → → → 则F1P=(x1+1,y1),F2A=(0,y0),所以F1P· F2A=y1y0,因为点 P 是椭圆 C 上的动点,所以- 3 3 → → 3≤y1≤ 3,F1P· F2A的最大值为 . 2 答案 3 3 2 直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算过程中,我们要根据题目的要

思维升华

求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化 从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键. 已知复数 z=a+(a-1)i(a∈R,i 为虚数单位)为实数,则复数 zi 在复平面上所对应 的点的坐标为________. 答案 (0,1) 解析 因为复数 z=a+(a-1)i(a∈R,i 为虚数单位)为实数, 所以 a-1=0, 解得 a=1. 所以复数 z=1,所以 zi=i. 所以复数 zi 在复平面上所对应的点的坐标为(0,1). 方法二 特例法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗 示答案是一个定值时, 可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数, 或特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出 待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程. 例 2 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 → → AP=3,则AP· AC=________. → → → → → → → → → 解析 方法一 ∵AP· AC=AP· (AB+BC)=AP· AB+AP· BC → → → → → → → → → =AP· AB+AP· (BD+DC)=AP· BD+2AP· AB, → → ∵AP⊥BD,∴AP· BD=0. → → → → → 又∵AP· AB=|AP||AB|cos∠BAP=|AP|2, → → → ∴AP· AC=2|AP|2=2×9=18. → → 方法二 把平行四边形 ABCD 看成正方形,则 P 点为对角线的交点,AC=6,则AP· AC=18. 答案 18 思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此种方法仅限于

求解结论只有一种的填空题,对于开放性的问题或者有多种答案的填空题,则不能使用该种 方法求解.本题中的方法二把平行四边形看作正方形,从而减少了计算量. → → → → → (1)如图, 在△ABC 中, AD⊥AB, BC= 3 BD, |AD|=1, 则AC· AD =________. (2)cos2α+cos2(α+120° )+cos2(α+240° )的值为________________. 3 答案 (1) 3 (2) 2

→ 解析 (1)不妨取|BD|=2, π → 则|BC|=2 3,∠ADB= , 3 → → → → → → → → → ∴AC· AD=(BC-BA)· AD=BC· AD-BA· AD π =2 3×1×cos +0= 3. 3 3 (2)令 α=0° ,则原式=cos20° +cos2120° +cos2240° = . 2 方法三 数形结合法(图解法) 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以借助图形的直观性, 迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果,Venn 图、三角函数线、函数的图象及方 程的曲线等,都是常用的图形. 例 3 已知函数 f(x)=x|x-2|,则不等式 f( 2-x)≤f(1)的解集为________. 解析 函数 y=f(x)的图象如图,由不等式 f( 2-x)≤f(1)知, 2-x≤ 2+1,从而得到不等式 f( 2-x)≤f(1)的解集为[-1,+∞).

答案 [-1,+∞) 思维升华 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用,利用图形的直观

性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的 关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论 求出结果. x≥0, ? ? (2013· 北京)设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0 (1,0)之间的距离的最小值为________. 答案 2 5 5

表示的平面区域.区域 D 上的点与点

解析 作不等式组表示的平面区域, 如图所示(△OAB 及其内部), 易观察知, 所求最小值为点 P(1,0)到 2x-y=0 的距离 d= 方法四 构造法 构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推 |2×1-0| 2 5 = . 5 22+?-1?2

理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的积 累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经遇到过的类似问 题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题快速解决. 例 4 (1)如图,已知球 O 的球面上有四点 A,B,C,D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB =BC= 2,则球 O 的体积等于________.

e4 e5 e6 (2) , , (其中 e 为自然对数的底数)的大小关系是________. 16 25 36 解析 (1)如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接球球 O 的半径为 R ,则正方体的体对角线长即为球 O 的直径,所以 |CD|= ? 2?2+? 2?2+? 2?2=2R,所以 R= 6 4πR3 ,故球 O 的体积 V= = 6π. 2 3

e4 e4 e5 e5 e6 e6 ex e4 e5 e6 (2)由于 = 2, = 2, = 2,故可构造函数 f(x)= 2,于是 f(4)= ,f(5)= ,f(6)= . 16 4 25 5 36 6 x 16 25 36 ex· x2-ex· 2x ex?x2-2x? ex 而 f′(x)=( 2)′= = ,令 f′(x)>0 得 x<0 或 x>2,即函数 f(x)在(2,+∞) 4 x x x4 e4 e5 e6 上单调递增,因此有 f(4)<f(5)<f(6),即 < < . 16 25 36 e4 e5 e6 答案 (1) 6π (2) < < 16 25 36 思维升华 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决

的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟 悉的问题.第(1)题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为正方体的体对角线,问题很容易 得到解决. (1)已知 a=ln 的大小关系为________. (2)已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的投影有可能是:①两条平 行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点. 在上面的结论中,正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号). 答案 (1)a>b>c (2)①②④ 1-x 1 解析 (1)令 f(x)=ln x-x,则 f′(x)= -1= . x x 当 0<x<1 时,f′(x)>0, 1 1 1 1 1 1 - ,b=ln - ,c=ln - ,则 a,b,c 2 013 2 013 2 014 2 014 2 015 2 015

即函数 f(x)在(0,1)上是增函数. ∵1> 1 1 1 > > >0,∴a>b>c. 2 013 2 014 2 015

(2)用正方体 ABCD—A1B1C1D1 实例说明 A1D1 与 BC1 在平面 ABCD 上的投影 互相平行,AB1 与 BC1 在平面 ABCD 上的投影互相垂直,BC1 与 DD1 在平面 ABCD 上的投影是一条直线及其外一点.故①②④正确. 方法五 归纳推理法 做关于归纳推理的填空题的时候,一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个 结论),然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论,再利用这个一般性的结论来解 决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程,这里可以大胆地猜想. 例 5 观察下列算式:13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,?,若某数 m3 按上 述规律展开后,发现等式右边含有“2 015”这个数,则 m=________. 解析 由题意可得第 n 个算式的左边是 n3,右边是 n 个连续奇数的和,设第 n 个算式的第一 个数为 an,则有 a2-a1=3-1=2,a3-a2=7-3=4,?,an-an-1=2(n-1),以上 n-1 个式 ?n-1?[2+2?n-1?] 子相加可得 an-a1= ,故 an=n2-n+1,可得 a45=1 981,a46=2 071,故可 2 知 2 015 在 453 的展开式中,故 m=45. 答案 45 思维升华 归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中,一般在数列的推理中

常涉及.即通过前几个等式或不等式出发,找出其规律,即找出一般的项与项数之间的对应 关系,一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘基本关 系,需要对相应的数字的规律进行观察、归纳,一般对等式或不等式中的项的结构保持一致. (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数, 如三角形数 1,3,6,10, ?, n?n+1? 1 2 1 第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 2 2 2 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 1 1 N(n,3)= n2+ n, 2 2 N(n,4)=n2, 3 1 N(n,5)= n2- n, 2 2 N(n,6)=2n2-n

??????????????? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=____________. (2)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________. 答案 (1)1 000 (2)6n+2

k-2 2 4-k 解析 (1)由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k)= n+ n, 2 2 24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10 2 2 =1 100-100=1 000. (2)观察题图①,共有 8 根火柴,以后依次增加 6 根火柴,即构成首项为 8,公差为 6 的等差数 列,所以,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 6n+2.

1.解填空题的一般方法是直接法,除此以外,对于带有一般性命题的填空题可采用特例法, 和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时,常常需要几种方法综合使用,才能 迅速得到正确的结果. 2.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断是否正确的唯一标准,因此解填空题时要注意 如下几个方面: (1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有据、准确; (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; (3)要重视对所求结果的检验及书写的规范性.



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