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【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线



高考压轴大题突破练 (一)直线与圆锥曲线(1)

x2 y2 1.(2015·陕西)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0), a b
1 (0,b)的直线的距离为 c. 2 (1)求椭圆 E 的离心率; 5 2 2 (2)如图,AB 是圆 M:(x+2) +(y-1) = 的一条直径,若椭圆 E 经过

2

A,B 两点,求椭圆 E 的方程.

1

2.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边 → → 形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP=2PB. (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围.

2

3.已知抛物线 C:y =4x,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上,过点 M 的直线 l 与抛物线 C 相交于

2

A,B 两点,O 为坐标原点.
(1)若 m=1,且直线 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; 1 1 (2)是否存在定点 M,使得不论直线 l 绕点 M 如何转动, 2+ 2恒为定值? |AM| |BM|

4.(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 4

x2

M,N 两点,
(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

3

答案精析 高考压轴大题突破练 (一)直线与圆锥曲线(1) 1.解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0, 则原点 O 到该直线的距离 d=

bc bc = , 2 2 b +c a

1 c 3 2 2 由 d= c,得 a=2b=2 a -c ,解得离心率 = . 2 a 2 (2)方法一 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b .① 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10. 易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1, 代入①得(1+4k )x +8k(2k+1)x+4(2k+1) -4b =0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k?2k+1? 则 x1+x2=- , 2 1+4k
2 2 2 2 2 2 2

x1x2=

4?2k+1? -4b , 2 1+4k

2

2

8k?2k+1? 由 x1+x2=-4,得- =-4, 2 1+4k 1 解得 k= , 2 从而 x1x2=8-2b . 于是|AB|= =
2

?1?2 1+? ? |x1-x2| ?2?

5 2 2 ?x1+x2? -4x1x2= 10?b -2?, 2
2 2

由|AB|= 10,得 10?b -2?= 10,解得 b =3, 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3 方法二 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b ,② 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+ 4y1=4b ,x2+4y2=4b , 两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

4

易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1≠x2, 所以 AB 的斜率 kAB=

y1-y2 1 = , x1-x2 2

1 因此直线 AB 的方程为 y= (x+2)+1, 2 代入②得 x +4x+8-2b =0, 所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b , 于是|AB|= =
2 2 2

?1?2 1+? ? |x1-x2| ?2?

5 2 ?x1+x2? -4x1x2 2
2

= 10?b -2?. 由|AB|= 10,得 10?b -2?= 10,解得 b =3, 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3 2.解 (1)由题意知椭圆的焦点在 y 轴上,
2 2

x2

y2

y2 x2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
由题意知 a=2,b=c,又 a =b +c ,则 b= 2, 所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知,直线 l 的斜率存在,
? ?y +2x =4, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立即? ?y=kx+m, ?
2 2 2 2 2

y2 x2

则(2+k )x +2mkx+m -4=0, Δ =(2mk) -4(2+k )(m -4)>0, 2mk ? ?x +x =-2+k , 由根与系数的关系知? m -4 ?x x =2+k . ?
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

2

2

2

→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m). ∴-x1=2x2,∴?
?x1+x2=-x2, ? ? ?x1x2=-2x2.
2

5



m2-4 ? 2mk 2?2, ? 2=-2? 2+k ?2+k ?
2 2 2 2

整理得(9m -4)k =8-2m , 8-2m 2 2 又 9m -4=0 时不成立,∴k = 2 >0, 9m -4 4 2 得 <m <4,此时 Δ >0. 9 2? ?2 ? ? ∴m 的取值范围为?-2,- ?∪? ,2?. 3? ?3 ? ? 3.解 (1)当 m=1 时,M(1,0),此时点 M 为抛物线 C 的焦点.直线 l 的方程为 y=x-1,设
2 ?y =4x, ? A(x1,y1),B(x2,y2),联立? ? ?y=x-1,

消去 y,得 x -6x+1=0,所以 x1+x2=6,y1+y2

2

=x1+x2-2=4,所以圆心坐标为(3,2). 又|AB|=x1+x2+2=8,所以圆的半径为 4, 所以圆的方程为(x-3) +(y-2) =16. (2)由题意可设直线 l 的方程为 x=ky+m,则直线 l 的方程与抛物线 C:y =4x 联立,消去 x 得,y -4ky-4m=0, 则 y1y2=-4m,y1+y2=4k, 1 |AM| =
2 2 2 2 2


2

1 1 = 2 2+ 2 2 |BM| ?x1-m? +y1 ?x2-m? +y2
2 2 2

1

1 1 y1+y2 2+ 2 2= 2 2 2 ?k +1?y1 ?k +1?y2 ?k +1?y1y2
2 2 2

?y1+y2? -2y1y2 16k +8m 2k +m = = 2 , 2 2 2 2= 2 2 ?k +1?y1y2 ?k +1?·16m 2m ?k +1? 若 1 1 1 1 1 2+ 2对任意 k∈R 恒为定值,则 m=2,此时 2+ 2= . |AM| |BM| |AM| |BM| 4

所以存在定点 M(2,0),满足题意. 4.解 (1)由题设可得 M(2 a,a),

N(-2 a,a),
或 M(-2 a,a),N(2 a,a). 又 y′= ,故 y= 在 x=2 a处的导数值为 a,C 在点(2 a,a)处的切线方程为 y-a= a 2 4 (x-2 a), 即 ax-y-a=0.

x

x2

x2 y= 在 x=-2 a处的导数值为- a,C 在点(-2 a,a)处的切线方程为
4

6

y-a=- a(x+2 a),
即 ax+y+a=0. 故所求切线方程为 ax-y-a=0 和 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x -4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2= =
2

y1-b y2-b + x1 x2 x1x2 a

2kx1x2+?a-b??x1+x2? k?a+b? = .

当 b=-a 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意.

7



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