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平面向量的应用——三角形四心的性质



平面向量的应用——三角形四心的性质
一 知识点精讲
三角形四“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 ( 1 ) O 为 ?ABC 的 外 心 ? O A ? O B ? O C .

? ? ?? 2

? 2? ??

>2

? ? ??

??? ? ??? ? ??? ? ? ? OA ? OB ? OC ? 0 .

( 2 ) O 为 ?ABC 的 重 心

证明:

证明:

(3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . 证明:

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . 证明:

??? ?

??? ?

??? ?

?

二 典例解析
一、重心 1. 已知 O 是平面上一定点, A ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) , ? ? (0, ? ?) ,则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的(
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 2. 已知 O 是平面上一定点, A ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

) .

OP ? OA ? ? (

AB | AB | sin B
) .

?

AC | AC | sin C

) , ? ? (0, ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过

△ABC 的(
A.外心 二、垂心

B.内心

C.重心

D.垂心

3. O 是 △ABC 所在平面上一点, | OA | ? | BC | ?| OB | ? | CA | ?| OC | ? | AB | ,O
2 2 2 2 2 2

是 △ABC ___ A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

4. 已知 O 是平面上一定点, A ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (

AB | AB | cos B
) .

?

AC | AC | cos C

) , ? ? (0, ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过

△ABC 的(

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 三、内心 4.(2003 江苏) 已知 O 是平面上一定点, A ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满

? ??? ? ??? ? 足 OP ? OA ? ? ? ? ?
A.外心 四、外心

??? ? ???? AB AC ? . ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( ) ??? ? ? ???? ? ,? ? (0, AB AC ? ?
B.内心 C.重心 D.垂心

5. 已知 O 是平面上的一定点, A ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

??? ? ???? ??? ? ???? ? ? ??? ? OB ? OC AB AC ? , ? ? (0, OP ? ? ? ? ??? ? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 ? ???? ? AB cos B AC cos C ? 2 ? ?

△ABC 的.
A. 外心 心 6. (2005 湖南).设 P 是△ABC 内任意一点,S△ABC 表示△ABC 的面积,λ 1= B. 内心 C. 重心 D. 垂

S ?PBC , λ S ?ABc

2=

S ?PCA , S ?ABC S ?PAB 1 1 1 , 定义 f ( p) ? (?1 , ?2 , ?3 ) , 若 G 是△ABC 的重心,f (Q) ? ( , , ) , 则 ( S ?ABC 2 3 6


λ 3=

A.点 Q 在△GAB 内 B.点 Q 在△GBC 内 C.点 Q 在△GCA 内 D.点 Q 与点 G 重合 定 理 : 设 P 是 △ ABC 内 任 意 一 点 , S △ ABC 表 示 △ ABC 的 面 积 , 则 有

S ?PAB PC ? S ?PAC PB ? S ?PBC PA ? 0
五 判断三角形的形状及求最值 7.在△ABC 中,已知向量 AB与 AC满足( △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0且

AB

| AB | | AC |

?

AC

?

1 ,则 2

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.等边三

角形
A

8. 在Δ ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值
O



.
B M C

三课堂检测:
1 若 O 为 ?ABC 的内心,且满足 (OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则 ?ABC 的形状为 ( ) A.等腰三角形 钝角三角形

??? ? ????

??? ? ????

??? ?

B.正三角形

C.直角三角形

D.

2. 已知 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 及平面内一点 P ,且 PA ? PB ? PC ? AB,则点 P 与

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

?ABC 的位置关系是( A. P 在 ?ABC 内部 在 AC 边上

) B. P 在 ?ABC 外部

C. P 在 AB 边上或其延长线上

D. P

3.平面直角坐标坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点 A(3, 1), B (-1, 3) , 若点 C 满足 OC = α OA +β OB ,若中α 、β ∈R,且α +β =1,则点 C 的轨迹方程为( A、 (x-1) +(y-2) =5
2 2

????

??? ?

??? ?

) D、x+2y-5=0

B、3x+2y-11=0

C、2x-y=0

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 4.已积 OB =(2,0) , OC =(2,2) , CA = ( 2cosα , 2sinα ) ,则 OA 与 OB 夹角的
范围是( π A、[0, ] 4 [ 5π π , ] 12 2 ) π 5π B、[ , ] 4 12 π 5π C、[ , ] 12 12 D 、

5.平面向量 a =(x,y) , b =(x ,y ) , c =(1,1) , d =(2,2) ,若 a · c = b · d =1,则
2 2

? ?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

这样的向量 a 有 A、1 个

B、2 个

C、多于 2 个

D、不存在 6. 设 O 为 ?ABC 所 在 平 面 上 一 定 点 ,

P 为平面上的动点,且满足 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? (O P ? O )A ? ( A?B A )? C 0P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的 , 则 心.

7. 已 知 ?ABC 的 重 心 为 G , 点 O 为 ?ABC 所 在 平 面 上 任 意 一 点 , 求 证 :

???? 1 ??? ? ??? ? ???? OG ? (OA ? OB ? OC ) . 3

8. a, b, c 为△ ABC 的内角 A、B、C 的对边, m ? (cos 且 m 与 n 的夹角为

??

??

?

? ,求 C; 3

? C C C C ,sin ) , n ? (cos , ? sin ) , 2 2 2 2

9.已知 A、B、C 是直线 l 上的不同的三点,O 是外一点,向量 OA, OB, OC 满足

??? ? ??? ? ????

??? ? 3 ??? ? ???? ? OA ? ( x 2 ? 1) ? OB ? [ln(2 ? 3x) ? y] ? OC ? 0 ,记 y ? f ( x) .求函数 y ? f ( x) 的解析式; 2



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