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15届成都七中高三文科数学二诊模拟考试试题



成都七中高 2015 届二诊模拟考试数学试题(文科)
命题人 何毅章 审题人 江海兵 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.集合 A ? ? x ? Z | ? 2 ? x ? 1? ,集合 B ? ? i , i , ? i ? ,其中 i 是虚数单位,则集合 A ? B 中的元素个数有( )

2

? ?

1 i

? ?

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 2.一个频率分布表(样本容量为 50)不小心被损坏了一部分,只记得样本 中数据在 [ 2 0 , 6 0 ) 上的频率为 0.6,则估计样本在 [ 4 0 , 5 0 ) , [ 5 0 , 6 0 ) 内的数 据个数可能是( ) A.8 和 9 B.9 或 10 C.15 D. 9 和 12 3.已知向量 a ? ? 1 , 2 ? , ? a ? b ? //b ,则 b 可以为( A. ? 1 , ? 2 ? B. ? 1 , 2 ? C. ? 2 , 1 ? )

D. ? 2 , ? 1 ?

4.如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用) ,则四面体 ABCD 的三视 图是(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )

A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤ 5.某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的 程序框图执行(其中 a 为座位号) ,并以输出的值作为下一个输入的值.若第一次输 入的值为 8,则第三次输出的值为( ) A.8 B.15 C.29 D.36 6. 下列命题正确的是( ) A.异面直线 a , b 不垂直,则不存在互相垂直的平面 ? , ? 分别过 a , b ; B.直线 l 不垂直平面 ? ,则 ? 内不存在与 l 垂直的直线; C.直线 l 与平面 ? 平行,则过 ? 内一点有且只有一条直线与 l 平行; D.平面 ? , ? 垂直,则过 ? 内一点有无数条直线与 ? 垂直. 7.已知函数 y ? A s in ( ? x ? ? ) ? k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 则下面各式中符合条件的解析式为( ) A. y ? 2 s in ( 4 x ? C. y ? 2 s in ( 4 x ?
?
6 )? 2 )? 2

?
2

,直线 x ?

?
3

是其图象的一条对称轴,

B. y ? 2 s in ( 2 x ? D. y ? 4 s in ( 4 x ?
? ?ab, a ? 0 , ? ?2
a?b

?
3

)? 2 )

?
3

?
6

8.定 义 运 算 “ ? ”为 : a ? b ? ?

,a ≥ 0

.若 函 数

则该函数的图象大致是(



y 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 x –3 –2 –1

y 5 4 3 2 1 O 1 x

A.

B.

C.

D.

2 2 2 9. 直线 A x ? B y ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 M , N 两点,若满足 A ? B ? C , O 为坐标原点,则 O M ? O N ?



) A. ? 2 B. ? 1 C. 2
f (x)

D. 1
f (2 x ) ? cf ( x)

10.定义在 [1, ? ? ) 上的函数

满足:①

(c 为正常数);②当 2≤x≤4 时,
f ( x2 ))

f (x) ? 1 ? x ? 3

.若函数图象

上所有取极大值时对应的点分别为 A1 ( x 1 ,
? ①当 2 n ? 1 ≤x≤ 2 n ( n ? N )时,

f ( x1 ) )
n?2

, A2 ( x 2 ,
x 2
n?2

, A3 ( x 3 ,
? 3?2
n?2

f ( x3 )),

, An ( x n , f ( x n ))
n?2

? ( n ? N ),有下列命题:

f (x) ? c

(1 ?

?3)

;② x n

, yn

? c



③若 A1 , A 2 , A 3 , ④若 A1 , A 2 ,
A. 4
, An

, An

在同一条直线上,则 c

? 2

或c

?1;

在同一条以原点为顶点、坐标轴为对称轴的的抛物线上,则 c
C. 2 D. 1

?

2

或c

? 4

.其中真命题的个数为( )

B. 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.双曲线
x
2

4

? y

2

?1

的顶点到渐进线的距离等于



12.已知关于 x, y 的不等式组

则其所表示的平面区域的面积为



13.已知一组数据: a 1 , a 2 , a 3 ,

, a 7 构成公差为 d 的等差数列,且这组数据的方差等于 1,则公差 d 等于
1 x ? a )( x ? 0 ) 的值域为 R 的概率等于

. .

14.设实数 a 为区间 ? 0 , 4 ? 内的随机数,则函数 f ( x ) ? lo g 3 ( x ? 15.下列命题:①设 a , b ?
R

,则|“ a

? b

”是“ a

a ? b b
x
2

”的充要条件;
?1

②若实数 4 , m , 9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 ③设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 2 ④椭圆 C:
x
2 2
3 x ?1

m

? y

2

的离心率为

35 6



7



的四个零点分别为 x1、 x 2、 x 3、 x 4 , f ( x1 + x 2 + x 3 + x 4 ) ? 4 ;

a

?

y b

2

2

?1 (a ?b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ? F1 F2 P 为等
?1 ? ,1 ? ; ?3 ? CA ? AB 1

腰三角形,则椭圆 C 的离心率取值范围是 ?
AB ? BC 3 BC ?CA 2

⑤在 ? A B C 中,若

?

?

,则 ta n A : ta n B : ta n C ? 6 : 2 : 3 .

其中所有真命题的序号为



三、解答题:本大题共6小题,共75分.

16. (本小题满分 12 分) 已知 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b s in ( (Ⅰ)求 s in ( B ? C ) 的值;(Ⅱ)若 a ?
?
4 ? C ) ? c s in (

?
4

? B) ? a .

2 ,求 ? A B C 的面积.

17. (本小题满分 12 分) 已知递增等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a 1 ? 1 ,且 S 3 ? 2 S 2 ? 1 . (Ⅰ) 求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 ? b n ? 满足 b n ? 2 n ? 1 ? a n ( n ? N ) , 且 ? b n ? 的前 n 项和 T n , 求满足 T n ? 1 7
*

的所有 n .

18. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 A B C D 中, A B ? 3 , B C ? 4 , E 、 F 分别在线段 B C 和 A D 上, E F ∥ A B ,将矩形 A B E F 沿 E F
N C ∥平面 M F D ; 折起, 记折起后的矩形为 M N E F , 且平面 M N E F ? 平面 E C D F . (Ⅰ) 求证: (Ⅱ) 求四面体 C D F N

体积的最大值.

M

A

F

D
N

B

E

C
B

A E

F C

D

19. (本小题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合 条件的志愿者中随机抽取 100 名, 按年龄所在的区间分组: 第 1 组: [20, 25) ; 0 .0 7 第 2 组:[25,30) ;第 3 组:[30,35) ;第 4 组:[35,40) ;第 5 组:[40, 0 .0 6 45].得到的频率分布直方图如下图所示. 0 .0 4 (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的 0 .0 2 宣传 0 .0 1 活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? 0 (Ⅱ)在满足条件(Ⅰ)时,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者 介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

频率 组距

20

25

30

35

40

45 年 龄

A3
20.(本小题满分 13 分) 如图, O 矩形 A1 A 2 A3 A 4 的中心, B 1 , B 2 , C 1 , C 2 分别是矩形四条边的中点,
A1 A 2 ? 4 , A 2 A 3 ? 2
3 ,若以 B 1 B 2 所在直线为 x 轴, O 为坐标原点建立平面直

A4 B1 A1

C2 O

M D C1

N B2 A2

角坐标系. 记以 O 为对称中心,同时经过点 C 2 , B 2 的椭圆为 W . (Ⅰ)求椭圆为 W 的标准方程; (Ⅱ)若 O D ?
1 3 O B 2 , A3 N ? 1 3 A3 B 2 , C 1 D C 2 N ? M ,证明:点 M 在椭圆 W 上;

(Ⅲ) 已知过点 G ( 4 , 0 ) 的直线 l 与曲线 W 相交于 Q , R 两点, 点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q 1 , 直线 Q 1 R 交 x 轴于点 T , 试问 ? T R Q 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值和对应直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x 2 ? b x ? 1 ( a , b 为实数, a ? 0 , x ? R ) , (Ⅰ)若 f ( ? 1) ? 0 ,且函数 f ( x ) 的值域为 [ 0 , ? ? ) ,求 F ( x ) 的表达式; (Ⅱ)设 m n ? 0 , m ? n ? 0 , a ? 0 ,且 f ( x ) 为偶函数,判断 F ( m ) ? F ( n ) 是否大于 0 ?(Ⅲ)设 g ( x ) ? 当 a ? b ? 1 时,证明:对任意实数 x ? 0 , [ F ( x ) ? 1] g '( x ) ? 1 ? e ? 2 (其中 g ' ( x ) 是 g ( x ) 的导函数) .
ln x ? 1 e
x





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