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高中数学知识点总结


一、集合与常用逻辑 集合与常用逻辑 空集

φ?A
A ? B :任意 x ∈ A ? x ∈ B

子集

AI B = A ? A ? B
1.四种命题 原命题

AU B = B ? A ? B
? 逆命题
的必要条件: p 是 q 的必要条件: 的充要条件: p 是 q 的充要条件:

? 逆否命题

否命题

2.充分必要条件:p 是 q 的充分条件 充分必要条件: 3.复合命题的真值 ①q 真(假)?“

?q ”假(真)②p、q 同真?“p∧q”真 ③p、q 都假?“p∨q”假 同真? 都假?

4.全称命题、 4.全称命题、存在性命题的否定 全称命题 函数概念与性质 二、函数概念与性质 1.奇偶性 f(x)偶函数 f(x)偶函数

f(x)奇函数 f(x)奇函数

注:①f(x)有奇偶性 f(x)有奇偶性

②f(x)奇函数,在 x=0 有定义 f(x)奇函数, 奇函数

? f (? x) = f ( x) ? ? f (? x) = ? f ( x) ? ? ?
定义域关于原点对称 f(0)=0

f(x)图象关于 f(x)图象关于

y 轴对称

f(x)图象关于原点对称 f(x)图象关于原点对称 图象关于

(公共定义域内) ③“奇+奇=奇” 公共定义域内) 2.单调性 f(x)增函数: f(x)增函数:x1<x2 增函数

? f(x )<f(x )
1 2

或 x1>x2

? f(x ) >f(x )
1 2



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0 x1 ? x 2

f(x)减函数:? f(x)减函数:? 减函数 判断单调性必须考虑 单调性必须考虑定义域 注:①判断单调性必须考虑定义域 f(x)单调性 单调性判断 ②f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法 定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3.周期性

T 是 f (x) 周期 ? f (x +T) = f (x) 恒成立(常数 T ≠ 0 ) 恒成立(
4.二次函数 2 解析式: +bx+c,f(x)=a(x- 2 解析式: f(x)=ax +bx+c,f(x)=a(x-h) +k f(x)=a(x- )(xf(x)=a(x-x1)(x-x2)

?b x= 对称轴: 对称轴: 2a
单调性:a>0, 单调性:a>0, ( ?∞

b 4 ac ? b , 顶点: 顶点: ( ? 2a 4a
,?

2

)

b b , +∞ ) 递增 ] 递减, [ ? 递减, 2a 2 a

4 ac ? b 2 ?b 当x = ,f(x) = 4a 2a
min 2

奇偶性: 奇偶性:f(x)=ax +bx+c 是偶函数

? b=0

闭区间上最值: 闭区间上最值: 配方法、图象法、讨论法--配方法、图象法、讨论法--注意对称轴与区间的位置关系

注:一次函数 f(x)=ax+b 奇函数

?

b=0

三、基本初等函数

1.指数式

a = 1 ( a ≠ 0) a
0

?n

n 1 = n a m = m an a

2.对数式

log a N = b ? a b = N

(a>0,a≠1) a>0,a≠

log a MN = log a M + log a N
log a M = log a M ? log a N N

log a M n = n log a M
loga b = logm b lg b = logm a lg a
= 1 logb a

log a b = log a n b n
注:性质

log a a = 1 a log a N = N 常用对数 lg N = log10 N , lg 2 + lg 5 = 1
log a 1 = 0

自然对数

ln N = log e N , ln e = 1
x

3.指数与对数函数

y=a 与 y=logax

定义域、值域、过定点、单调性? 定义域、值域、过定点、单调性? x 注:y=a 与 y=logax 图象关于 y=x 对称 互为反函数) (互为反函数)

4.幂函数

y = x 2 , y = x3 , y = x , y = x ?1
α >1
0<α <1

1 2

y = xα 在第一象限图象如下: 在第一象限图象如下:
α <0

四、函数图像与方程 1.描点法 函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调) 函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调) 取特殊点如零点、 取特殊点如零点、最值点等 2.图象变换 平移: 左加右减,上正下负” 平移: 左加右减,上正下负” “

y = f ( x) → y = f ( x + h)
每一点的横坐标变为原 来的 ? 倍 ? 伸缩: y = f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? → y = f ( 伸缩:

1

?

x)

对称: 对称谁,谁不变,对称原点都要变 “ 对称: 对称谁,谁不变,对称原点都要变”

x轴 y = f ( x) ??→ y = ? f ( x) y轴 y = f ( x) ??→ y = f (?x)

y = f ( x) ?原点 y = ? f (?x) ?→ ?

注:

y = f (x )

直线



x = a

y = f (2a ? x)

翻折: 翻折:

y = f (x) → y =| f ( x) | 保留 x 轴上方部分, 轴上方部分,
并将下方部分沿

x
a

轴翻折到上方
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

o

b

c

x

a

o

b

c

x

y = f (x) → y = f (| x |) 保留 y 轴右边部分, 轴右边部分, 并将右边部分沿 y 轴翻折到左边
y

y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

3.零点定理


f ( a ) f (b) < 0 ,则 y = f (x ) 在 (a, b) 内有零点
f (x) 在 [ a , b ] 上图象连续不间断) 上图象连续不 续不间

(条件: 条件:

注:①

f (x) 零点: f ( x ) = 0 的实根 零点:

②在

[ a , b ] 上连续的单调函数 f (x) , f (a ) f (b) < 0 则 f (x ) 在 ( a , b ) 上有且仅有一个零点
f ( a ) f (b ) < 0 ?
五、导数及其应用

③二分法判断函数零点--二分法判断函数零点---

2.导数公式 导数公

(C ) ′ = 0 (C 为常数) ( x n )′ = n ? x n ?1
(sin x) ′ = cos x
(cos x ) ′ = ? sin x

( e x )′ = e x

(ln x)′ = 1 / x

(u ± v) ' = u ' ± v ' .
? u ? u ' v ? uv' ? ? = v2 ?v?
3.导数应用
单调性: 单调性:如果
如果
/

(uv) ' = u ' v + uv ' . (Cu ) ' = Cu ' .
' ' y x = y u . u x'

f ' ( x) > 0 ,则 f (x) 为增函数
f ' ( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数
f (x) “左增 右减 ↗ ↘ ”


极大值点:在 x 0 附近

极小值点:在 x 0 附近

f (x) “左减 右增 ↘ ↗ ”

f ' ( x0 ) = 0

求极值: 求极值:

f (x) 定义域 f ' ( x) → f ' ( x) 零点→ 列表: 定义域→ x 范围、 f ' ( x) 符号、 f ( x) 增减、 f ( x) 极值

求[a,b]上最值: [a,b]上最值: 上最值

f ( x) 在(a,b)内极值与?(a)、?(b)比较
f / ( x) = 3ax 2 + 2bx + c
a > 0, ? > 0 a < 0, ? > 0

4.三次函数(利用导数中图像的特征、单调性、极值) 三次函数(利用导数中图像的特征、单调性、极值)

f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
图象特征: “↗ ↘ ↗ ” “↘ ↗ ↘ ”

极值情况:

? > 0 ? f ( x ) 有 极值 ? ≤ 0 ? f ( x) 无极值

5.定积分

定理:



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a) 其中 F ' ( x) = f ( x)

性质: a



b

kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k 为常数)
a

b



b

a

f ( x) ± g ( x)dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a a

b

b

应用: ①由直线 x=a,x=b,x 轴及曲线 y=f(x)

(f(x)≥0)围成曲边梯形面积 S = ∫ f ( x ) dx

b

a

②如图, f2(x) 围


曲 线 y1 = 在[a, b]上 成图形的 梯形 AMNB-S 曲

f1(x),y2=

面积 S=S 曲
边梯形 DMNC

= a



b

f1 ( x) dx ? ∫ f 2 ( x) dx
a
六、三角函数

b

1.概念

( 2kπ + 第二象限角

π
2

,2kπ + π ) ( k ∈ Z 1 lr 2

)

2.弧长

l = α ?r
sin α =
其中

S= 扇形面积

3.定义

y x cos α = r r
终边上一点,

tan α =

y x

P ( x, y ) 是 α

PO = r

4.符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”

“ 5.诱导公式: 奇变偶不变,符号看象限” 诱导公式: 奇变偶不变,符号看象限”


Sin(2π ? α ) = ? sin α , cos(π / 2 + α ) = ? sin α

6.基本公式

同角

sin 2 α + cos 2 α = 1

sin α = tan α cos α

和差

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
tan α ± tan β 1 m tan α tan β

cos(α ± β ) = cosα cos β m sin α sin β
tan (α ± β ) =

倍角

sin 2α = 2 sin α cos α
2 tan α 1 ? tan 2 α
1 ? cos 2α sin2α sin2α= 2

2 2 2 2 cos α =cos α ?sin α = 2cos α ?1=1?2sin α 2

tan 2α =

1 + cos 2α cos2α 降幂 cos2α= 2

叠加

sin α + cos α = 2 sin(α + ) 4
3 sin α ? cos α = 2 sin(α ? ) 6

π

π

a a sin α + b cos α = a 2 + b2 sin(α + ? ) (tan ? = ) b
9.解三角形 . 基本关系:sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC

tan(A+B)=-tanC

sin

A+ B C = cos 2 2

a b c 正弦定理: = = 正弦定理: sin A sin B sin C

a = 2 R sin A a : b : c = sin A : sin B : sin C
余弦定理: 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA(求边)

b2 + c2 ? a2 cosA= 2bc
1 面积公式:S△= absinC 2
注:

(求角)

?ABC 中,A+B+C=?
π
2 2 2

A < B ? sin A < sin B

a >b +c ?∠A>

2

七、数列
1、等差数列 、 定义: 定义:

a n +1 ? a n = d

通项: 通项: a n

= a1 + (n ? 1)d

n(a1 + a n ) Sn = 求和: 求和: 2 1 = na1 + n(n ? 1)d 2
性质: 性质:若 2、等比数列 、

b= 中项: 中项:

a+c 2

m + n = p + q ,则 a m + a n = a p + a q
通项: 通项:

a n +1 = q (q ≠ 0) 定义: 定义: a n
? na1 (q = 1) ? S n = ? a1 (1 ? q n ) 求和: 求和: (q ≠ 1) ? 1? q ?

an = a1q n ?1

中项: 中项:

b 2 = ac

性质: 性质:若

m+n= p+q



am ? an = a p ? aq

3、数列通项与前 、

n 项和的关系

?s1 = a1 (n = 1) an = ? ?s n ? s n ?1 (n ≥ 2)
4、数列求和常用方法 、 公式法、裂项法、 错位相减法、 公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

八、不等式
1.一元二次不等式解法 若

a > 0 , ax 2 + bx + c = 0 有两实根 α , β (α < β ) ,则

ax 2 + bx + c < 0 解集 (α , β ) ax 2 + bx + c > 0 解集 (?∞, α ) U (β ,+∞)

注:若

a < 0 ,转化为 a > 0 情况

2.其它不等式解法—转化 其它不等式解法—

x < a ? ?a < x < a ? x 2 < a 2
x > a ? x > a 或 x < ?a ? x2 > a 2
f ( x) >0 g ( x)

?

f ( x) g ( x) > 0

a f ( x ) > a g ( x ) ? f ( x) > g ( x) ( a

> 1)
a < 1)

log a f ( x) > log a g ( x) ? ?
3.基本不等式 ①

? f ( x) > 0 ? (0 < ? f ( x) < g( x) ?

a 2 + b 2 ≥ 2ab
a+b ≥ ab 2

+ ②若 a, b ∈ R ,则

注:用均值不等式 a + b ≥ 2 ab 求最值条件是“一正二定三相等” 求最值条件是“一正二定三相等” 4.平面区域与线性规划 不等式表示的平面区域判断: 不等式表示的平面区域判断: ①在直线

ab ≤ ( 、

a+b 2 ) 2

Ax + By + C = 0 一侧取一个特殊点 ( x0 , y0 )

(通常是原点) 通常是原点)

②由

Ax0 + By0 + C 的正负,判断 Ax + By + C > 0 表示 的正负,
Ax + By + C ,得到实数的符号都相同

直线哪一侧的平面区域 注:直线同侧所有点的坐标代入

线性规划问题的一般步骤: 线性规划问题的一般步骤: 设所求未知数; 列约束条件(不等式组) ①设所求未知数;②列约束条件(不等式组) ; 建立目标函数; 作可行域; ③建立目标函数;④作可行域;⑤求最优解

例:设

x, y

? x ? 4 y ≤ ?3 ? 3 x + 5 y ≤ 25 满足 ? ?x ≥ 1 ?

y

x =1 C

A x ? 4y + 3 = 0
B
O

3x + 5y ? 25 = 0 x



z = 2 x + y 最值
最大, 最大,

当 过

l A(5, 2) 时, z l B (1,1) 时, z

当 过

最小

九、复数与推理证明 复数与推理证明
1.复数概念 复数: 复数:

z = a + bi (a,b ∈ R ) ,实部 a、虚部 b b = 0 ) 虚数( b ≠ 0 ) 复数集 C ,虚数 ,复数集 ,虚数( ,

分类:实数( 分类:实数(

注:

z 是纯虚数 ? a = 0 , b ≠ 0
模:

相等: 相等:实、虚部分别相等

共轭: 共轭:

z = a ? bi

z = a2 + b2

z?z = z

2

复平面:复数 z 对应的点 复平面:

( a, b)

2.复数运算 加减: a+bi) (c+di)=? (a+bi 加减: a+bi)±(c+di)=? ( 乘法: a+bi) +di) (a+bi ( (c 乘法: a+bi) c+di)=? (

除法: 除法:

a + bi (a + bi)(c ? di) c + di = (c + di)(c ? di) ==…

乘方: 乘方:

i 2 = ?1 , i n = i

4k +r

= ir

3.合情推理 类比: 归纳: 类比:特殊推出特殊 归纳:特殊推出一般 演绎: 般导出特殊(大前题→小前题→结论) 演绎:一般导出特殊(大前题→小前题→结论) 4.直接与间接证明 综合法: 综合法:由因导果 比较法:作差—变形—判断— 比较法:作差—变形—判断—结论 反证法:反设—推理—矛盾— 反证法:反设—推理—矛盾—结论 分析法: 分析法:执果索因

分析法书写格式: 分析法书写格式: 要证 A 为真,只要证 B 为真,即证……, 为真, 为真,即证……, …… 为真, 为真, 这只要证 C 为真,而已知 C 为真,故 A 必为真 常用分析法探索证明途径, 注:常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程 数学归纳法: 5.数学归纳法: (1)验证 (1) 验证 当 n=1 时 命题成立 ,

(2)假设 n=k(k∈ 1)时命 (2) 假设 当 n=k(k ∈ N* , k ≥ 1) 时命 题成立 , 证明 当 n=k+1 时命 题也成立 (1)(2)知这命题对所有正整数 由 (1)(2) 知这命题对所有正整数 n 都成立 数学归纳法证题时 两步缺一不可 证题时, 缺一不可, 注 : 用 数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用

三.算法案例 算法案例 1、求两个数的最大公约数 、 辗转相除法: 辗转相除法:到达余数为 0 更相减损术: 更相减损术:到达减数和差相等 2、多项式 、

f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 的求值

秦九韶算法: v1=anx+an-1 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 vn=vn-1x+a0 注:递推公式 v0=an vk=vk-1X+an-k(k=1,2,…n) 求 f(x)值,乘法、加法均最多 n 次 3、进位制间的转换 进制数转换为十进制数: k 进制数转换为十进制数:

a n a n ?1 .....a1 a 0 ( k ) = a n × k n + a n ?1 × k n ?1 + ......... + a1 × k + a 0
进制数: 取余法” 十进制数转换成 k 进制数: 除 k 取余法” “ 辗转相除法求得 例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 例 2 已知 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求 f(5) 6x+7,秦九韶算法求 123=2×48+27 v0=2 48=1×27+ =2× 48=1×27+21 v1=2×5-5=5 27=1×21+6 v2=5×5-4=21 21= ×6+ =21× 21=3×6+3 v3=21×5+3=108 =108× 2×3+0 6=2×3+0 v4=108×5-6=534 =534× v5=534×5+7=2677 十一、 十一、平面向量 向量加减 三角形法则,平行四边形法则 三角形法则, 1.向量加减

AB + BC = AC 首尾相接, OB ? OC = CB 共始点 首尾相接,
中点公式: 中点公式:

AB + AC = 2 AD ? D 是 BC 中点

2.

向量数量积 向量数量积

a ?b
0

=

a ? b ? cos θ
0

=

x1 x 2 + y1 y 2

注:①

a,b

夹角:00≤θ≤1800 夹角: ≤θ≤180



a, b 同向: a ? b = a ? b 同向:

3.基本定理

r r r r r a = λ1e1 + λ 2 e2 ( e1 , e2 不共线--基底) 不共线--基底) --基底

平行: 平行:

a // b ? a = λ b ? x1 y 2 = x 2 y1 ( b ≠ 0 )
a⊥b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y 2 = 0


垂直: 垂直:

模:

r a

x +y
2

2

a+b

2

= (a + b)2 = L

夹角: 夹角:

cosθ =


a ?b | a || b |

r 注:① 0 ∥ a


a ? b ? c ≠ a ? b ? c (结合律)不成立 结合律)

( ) ( )

a ?b = a ?c

? b = c (消去律)不成立 消去律)

1.三视图

十二、立体几何 十二、 正视图、侧视图、 正视图、侧视图、俯视图

2.直观图:斜二测画法 直观图:斜二测画法

∠X 'O 'Y ' =45

0

的线段, 平行 X 轴的线段,保平行和长度 的线段,保平行, 平行 Y 轴的线段,保平行,长度变原来一半 体积与侧面积 3.体积与侧面积

V 柱=S 底 h

1 V 锥 = S 底h 3

4 V 球= π R3 3

S 圆锥侧=

πrl

S 圆台侧=

π ( R + r )l

S 球表

4πR 2 =

确定一个平面的条件: 一个平面的条件 4.公理与推论 确定一个平面的条件: 一条直线和这直线外一点 ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线 公理: 公理:平行于同一条直线的两条直线平行 定理:如果两个角的两条边分别对应平行, 定理:如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。 那么这两个角相等或互补。 相交、平行、 5.两直线位置关系 相交、平行、异面 异面直线——不同在任何一个平面内 ——不同在 异面直线——不同在任何一个平面内 6.直线和平面位置关系

a ?α

a Iα = A

a // α

7.平行的判定与性质 .平行的判定与性质 线面平行: 线面平行:

a ∥ b , b ? α , a ? α ? a ∥α a ∥α , a ? β , β ∩α = b ? a ∥ b
面面平行: 面面平行:

β

a b

α

AB ∥ α , AC ∥ α ? 平面 ABC ∥ α

α ∥β ,a ?α ? a∥β
8.垂直的判定与性质 .垂直的判定与性质

线面垂直 线面垂直:

p ⊥ AB , p ⊥ AC ? p ⊥ 面ABC
a ⊥ α,a ? β ? β ⊥ α

面面垂直: 面面垂直:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直; 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直; 两个平面垂直, 若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

三垂线定理: 三垂线定理:

PO ⊥ α , AO ⊥ a ? PA ⊥ a PO ⊥ α , PA ⊥ a ? AO ⊥ a
在平面内的一条直线, 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直 逆定理? 逆定理?
A

P
O

α

a

9.空间角、距离的计算 空间角、 范围( 90° 异面直线所成的角 范围(0°,90°] 平移法:转化到一个三角形中, 平移法:转化到一个三角形中,用余弦定理 范围[0 [0° 90° 直线和平面所成的角 范围[0°,90°] 定义法: 直线在平面内射影, 定义法:找直线在平面内射影,转为解三角形 二面角 范围[0°,180°] 范围[0° 180° [0 定义法:作出二面角的平面角, 定义法:作出二面角的平面角,转为解三角形 点到平面的距离 体积法---用三棱锥体积公式 体积法--用三棱锥体积公式 计算过程, 一作二证三求” 注:计算过程, 一作二证三求” “ , 都要写出 10. 10.立体几何中的向量解法

r 法向量求法: x,y) 法向量求法:设平面 ABC 的法向量 n =(x,y) r r n ⊥ AB, n ⊥ AC r r n ? AB = 0, n ? AC = 0 r 解方程组,得一个法向量 解方程组,得一个法向量 n
ur uu r 线线角: 的方向向量, 线线角:设 n1 , n2 是异面直线 l1 , l2 的方向向量,
l1 , l2 所成的角为 θ ,则 cos θ =

A

B

α

C

cos < n1 , n2 >
r uu r

所成的角等于 即 l1 , l2 所成的角等于 < n1 , n2 > 或 π ? < n1 , n2 >

线面角: 线面角:

r 设 n 是平面 α
一条斜线, 一条斜线,

的法向量, 的法向量,

AB 是平面 α
所成的角为



AB 与平面 α

θ,

sin θ = cos < n, AB >=


AB ? n AB ? n

ur uu r 二 面 角 : 设 n1 , n2

是面

α,β

的法向量,二面角

α ?l ? β

的大小为

θ

,则

cosθ = cos < n1 , n2 > 或 ? cos < n1 , n2 > r uu r π ? < n1 , n2 > 即二面角大小等于 < n1 , n2 > 或
点到面距离: 点到面距离:

r 若 n 是平面 α

的法向量, 的法向量,

AB 是平面 α 的一条斜线段,且 B ∈ α , 的一条斜线段,

则点

A 到平面 α

uuu r r AB ? n d= r 的距离 n

十三、直线与圆

1、倾斜角 范围

[0, π )
y2 ? y1 x2 ? x1

k = tan α =
斜率 注:直线向上方向与 直线向上方向与 向上方向

x

轴正方向所成的最小正角 正方向所成的最小正角 所成的

倾斜角为 2、直线方程 点斜式

90° 时,斜率不存在
x y + =1 a b

y ? y 0 = k ( x ? x0 ) ,斜截式 y = kx + b
y ? y1 x ? x1 = , y 2 ? y1 x 2 ? x1
截距式 截距式

两点式

一般式

Ax + By + C = 0

注意适用范围: 注意适用范围:①不含直线

x = x0

②不含垂直

x 轴的直线

③不含垂直坐标轴和过原点的直线 位置关系(注意条件) 3、位置关系(注意条件)

? k1 = k2 b1 ≠ b2 垂直 ? k1k 2 = ?1 垂直 ? A A2 + B1 B2 = 0 1
平行 4、距离公式 两点间距离: 两点间距离:|AB|= 间距离

( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2
Ax0 + By0 + C A2 + B 2

d=
点到直线距离: 点到直线距离: 距离

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 标准方程: 5、圆标准方程:

圆心

(a ,b )

,半径

r
= D2 + E 2 ? 4F 2
相离

一般方程 圆一般方程:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (条件是?) 条件是?)
半径 r

? D E? ? ,? ? 圆心 ? 2? ? 2
直线与圆位置关系 6、直线与圆位置关系 位置关系 几何特征 相切

相交

d =r d <r
△= 0

d >r

代数特征

△> 0 △< 0

注:点与圆位置关系

( x0 ? a)2 + ( y0 ? b)2 > r 2 ?



P ( x0 , y0 ) 在圆外

7、直线截圆所得弦长 直线截圆所得弦长

AB = 2 r 2 ? d 2
十四、 十四、圆锥曲线
一、定义 椭圆: 2a(2a 2a>|F 椭圆: |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 双曲线: 双曲线:|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|) 抛物线: 抛物线:与定点和定直线距离相等的点轨迹 标准方程与几何性质 性质( 二、标准方程与几何性质(如焦点在 x 轴)

x2 y2 + 2 = 1 ( a>b>0) a>b>0) 椭圆 2 a b

x2 y2 ? 2 = 1 (a>0,b>0) a>0,b>0) 双曲线 2 a b

中心原点 对称轴? (c,0)、 中心原点 对称轴? 焦点 F1(c,0)、F2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b),双曲线(±a,0) 顶点: 椭圆( a,0), b),双曲线( 范围: 椭圆范围: 椭圆-a≤x≤a,-b≤y≤b 双曲线|x| 双曲线|x| ≥ a,y∈R 焦距: 2c( 焦距:椭圆 2c(c=

a2 ? b2
a2 + b2



2c( 双曲线 2c(c=



2a、2b:椭圆长轴、短轴长, 2a、2b:椭圆长轴、短轴长, 双曲线实轴、 双曲线实轴、虚轴长 离心率:e=c 0<e<1 e<1, 离心率:e=c/a 椭圆 0<e<1,双曲线 e>1

x2 y2 b ? 2 = 1 渐近线 y = ± x 注:双曲线 2 a a b
方程

mx 2 + ny 2 = 1 表示椭圆 ? m > 0, n > 0.m ≠ n

方程
2

mx 2 + ny 2 = 1 表示双曲线 ? mn < 0
顶点(原点) 顶点(原点) 对称轴( 对称轴(x 轴) 范围 x≥0

=2px( 抛物线 y =2px(p>0)

开口(向右) 开口(向右)

离心率 e=1

p F ( ,0 ) 焦点 2

准线 x

=?

p 2

十五、 十五、计数原理 加法分类, 1. 计数原理 加法分类,乘法分步 差异---排列有序而组合无序 ---排列 .. 差异---排列有序而组合无序 2.排列组合 ..

m 公式 An = n( n ? 1) L ( n ? m + 1) =
m C n = n(n ? 1) L (n ? m + 1) =

n! (n ? m)!

1× 2 × L × m

n! m!(n ? m)! ?

Anm = m!C n ? m 关系: 关系:
性质: 性质:

m Cn = Cn

n?m

0 1 2 n Cn + Cn + Cn +L+ Cn = 2n

3.排列组合应用题 原则:分类后分步 先选后排, 原则:分类后分步,先选后排,先特殊后一般 解法:相邻问题“捆绑法” 不相邻“插空法” 解法:相邻问题“捆绑法” 不相邻“插空法” , 复杂问题“排除法” 复杂问题“排除法”

4.二项式定理
0 1 2 r n (a +b)n = Cn an +Cnan?1b +Cn an?2b2 +L+Cnan?rbr +L+Cn bn

1 r (1 + x) n = 1 + Cn x + L + Cn x r + L + x n 特例

通项 Tr +1

r = C n a n ? r b r (r = 0,2 L,n) 1,



r C n --- 第 r + 1 项 二 项 式 系 数

性质:所有二项式系数和为

2n 中间项二项式系数最大

赋值法: 赋值法:取

x = 0,1,?1 等代入二项式

十六、概率与统计 十六、概率与统计
1.加法公式:若事件 加法公式:

A 和 B 互斥,则 互斥,

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A ) = 1 ? P A

( )

互斥事件: 互斥事件:不可能同时发生的事件 对立事件:不同时发生, 对立事件:不同时发生,但必有一个发生的事件 2 . 常用抽样 ( 不放回 ) 简单随机抽样:逐个抽取(个数少) 简单随机抽样:逐个抽取(个数少) 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多)分层抽样:总体分成几层, 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多)分层抽样:总体分成几层,各层按比例抽取 (总体差异明显) 总体差异明显) 3.用样本估计总体 众数: 众数:出现次数最多的数据 中位数:按从小到大, 中位数:按从小到大,处在中间的一个数据 或中间两个数的平均数) (或中间两个数的平均数)

1 n x = ∑ xi 平均数: 平均数: n i =1
4.频率分布直方图

1 n S = ∑ ( xi ? x) 标准差 s 方差 n i =1
2

频率 小长方形面积=组距× 小长方形面积=组距× 组距 =频率
各小长方形面积之和为 1 众数—最高矩形中点的横坐标 众数—最高矩形中点的横坐标 中位数— 中位数—垂直于

x 轴且平分直方图面积的直线与 x 轴交点的横坐标
十七、 十七、随机变量的概率分布

茎叶图: 茎叶图:由茎叶图可得到所有的数据信息如 众数、中位数、 众数、中位数、平均数等

条件概率 1.条件概率

P ( B A) = 发生条件下 发生: A 发生条件下 B 发生:
2.独立事件的概率 独立事件的概率 同时发生: A、B 同时发生:

P ( AB ) n( B ) P ( A) 或 n( A)

P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )

一般: 一般:

P ( AB ) = P ( A) P ( B A)
A 与 B 、 A 与 B 也相互独立

独立, 若 A 与 B 独立,则

3.独立重复试验的概率 独立重复试验的概率 一次试验中事件 A 发生的概率是

p , n 次独立

重复这试验, 重复这试验,事件 A 恰好发生 ....

k 次: ..

k P (k) = Cn Pk (1? P)n?k n

4.离散型随机变量的概率分布: 离散型随机变量的概率分布: 概率分布 性质

ξ
P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

pi ≥ 0
p1 + p 2 + L + p n = 1

离散型随机变量的期望与方差 5. 离散型随机变量的期望与方差 定义: 定义:

E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + L + xn pn (平均值) 平均值)

D( X ) = [x1 ? E( X )]2 p1 + [x2 ? E( X )]2 p2 + L+ [xn ? E( X )]2 pn
性质: 性质:

E (aξ + b) = aEξ + b
6.常用分布 两点分布 两点分布

D ( aξ + b ) = a 2 Dξ

B(1, P) : E ( Χ) = p , D ( Χ ) = p (1 ? P ) B(n, P) : E ( Χ) = np , D(Χ) = np(1? P)
P(Χ = k) = C nk p k q n ? k

二项分布 二项分布

超几何分布 超几何分布 H ( N , M , n) :

E ( Χ) = n ?

M N

D(Χ) = n ?

M M N ?n (1 ? ) ? N N N ?1
( x ? ? )2 2σ 2

P(Χ = k ) = ?

7.正态分布密度函数

? 1 f ( x) = e 2πσ

, x ∈ (?∞, +∞)

性质: 轴上方、 性质:曲线在 x 轴上方、关于
频频/组组

x = ? 对称,曲线与 x 轴围成面积为 1 对称,
内取值的概率等于 变量在区间 ( a, b ) 内取值的概率等于 密度曲线与 x 轴、直线 x = a 、 x = b 所围成曲边梯形的面积 所围成曲边梯形的面积

总总总总标标

单单
O

a

b

y 标标标标标标标标 f(x) =

( )
1 2?π

x2 ?e 2

( )

图中阴影部分面积 图中阴影部分面积 表示概率

P( x < x0 )

x

x

8.标准正态分布

N (0,1) :

E ( Χ ) = 0, D ( X ) = 1

P ( Χ < a ) = φ ( a ) 可查表
P ( a < Χ < b ) = φ (b ) ? φ ( a )

a < 0,φ ( a ) = 1 ? φ ( ? a )
正态分布

a = 0,φ (0) = 0.5

N ( ? ,σ 2 ) :
a??

E (Χ) = ? , D( X ) = σ 2
P ( Χ < a ) = F (a ) = φ (

σ

)

P ( a < Χ < b ) = F (b ) ? F ( a )
P( X ≥ a) = 1 ? P( X < a)

高中数学知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无 序性” 。
如:集合A = {x| y = lg x},B = {y| y = lg x},C = {(x, y)| y = lg x},A、B、C

中元素各表示什么?
2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:集合A = x| x 2 ? 2 x ? 3 = 0 ,B = {x| ax = 1}

{

}

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
1? ? (答: ??1, 0, ?) 3? ?

3. 注意下列性质:
(1)集合{a 1,a 2 ,……,a n }的所有子集的个数是 2 n ;

( 2 )若A ? B ? A I B = A,A U B = B;

(3)德摩根定律:

CU (A U B) = (CU A) I(CU B),CU (A I B) = (CU A) U(CU B)
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于x的不等式 ax ? 5 < 0的解集为M,若 3 ∈ M且 5 ? M,求实数a x2 ? a

的取值范围。
(∵ 3 ∈ M,∴ a· 3 ? 5 <0 32 ? a a·5 ? 5 ≥0 52 ? a

5? ? ? a ∈ ?1, ? U(9 , 25) ) 3? ?

∵5 ? M,∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (∨) ,“且” (∧ ) 和 “非”(?).

若p ∧ q为真,当且仅当 p、q均为真 若p ∨ q为真,当且仅当 p、q至少有一个为真 若?p为真,当且仅当 p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数 y = x(4 ? x) lg( x ? 3)
2

的定义域是

(答: (0, 2) U(2 , 3) U(3, 4))

10. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f ( x)的定义域是 a,b ,b > ? a > 0,则函数F(x) = f ( x) + f (? x)的定

[

]

义域是_____________。
(答: a, ? a )

[

]

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
如:f

(

x + 1 = e x + x,求f (x).

)

令t = x + 1,则t ≥ 0

∴x = t 2 ? 1
∴f ( t ) = e t
2

?1

+ t2 ?1
+ x 2 ? 1 ( x ≥ 0)

∴f ( x) = e x

2

?1

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

?1 + x ? 如:求函数 f ( x) = ? 2 ?? x ?

(x ≥ 0) 的反函数 (x < 0)

?x ? 1 (x > 1) ? (答:f ?1 (x) = ? ) ?? ? x ( x < 0) ?

13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y = f(x) 的定义域为A,值域为C,a ∈ A,b ∈ C,则f(a) = b ? f ?1 ( b) = a
∴ f ?1[ f (a )] = f ?1 ( b) = a,f f ?1 ( b) = f (a ) = b

[

]

14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?
(y = f ( u) ,u = ? ( x) ,则y = f [? ( x)] (外层) (内层)
当内、外层函数单调性相同时f [? ( x)]为增函数,否则f [? (x)]为减函数。) 如:求y = log 1 ? x 2 + 2 x 的单调区间
2

(

)

(设u = ? x 2 + 2 x,由u > 0则 0 < x < 2

且 log 1 u ↓ ,u = ?( x ? 1) + 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ∈ (0,1]时,u ↑ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↓
2

当x ∈[1, 2) 时,u ↓ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↑
2

∴……)

15. 如何利用导数判断函数的单调性?
在区间(a,b)内,若总有f '( x) ≥ 0则f ( x) 为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ≤ 0呢? 如:已知a > 0,函数f ( x) = x 3 ? ax在[1, + ∞)上是单调增函数,则a的最大

值是( A. 0

) B. 1 C. 2 D. 3

? a ?? a? (令f ' ( x) = 3x 2 ? a = 3? x + ??x ? ? ≥0 3?? 3? ?

则x ≤ ?

a 或x ≥ 3

a 3 a ≤ 1,即a ≤ 3 3

由已知f ( x) 在[1, + ∞) 上为增函数,则

∴a 的最大值为 3) 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)
若f ( ? x) = ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) = f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称

注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是 偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
( 2 )若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) = 0。
a· 2 x + a ? 2 如:若f ( x) = 为奇函数,则实数a = 2x + 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ∈ R,又 0 ∈ R,∴f (0) = 0
a· 2 0 + a ? 2 = 0,∴a = 1) 20 + 1



2x 又如:f ( x) 为定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,当x ∈ (0,1) 时,f ( x) = x , 4 +1

求f ( x) 在( ?1,1)上的解析式。
(令x ∈ (?1, 0),则 ? x ∈ (0,1),f ( ? x) = 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) = ? 2?x 4?x + 1

2 ?x 2x =? 4?x + 1 1 + 4x x ∈ ( ?1, 0) x=0 ) x ∈ (0,1)

? 2x ?? x ? 4 +1 又f (0) = 0,∴f ( x) = ? x ? 2 ?4x + 1 ?

17. 你熟悉周期函数的定义吗?
(若存在实数T(T ≠ 0),在定义域内总有f (x + T) = f ( x) ,则f ( x) 为周期

函数,T 是一个周期。 )
如:若f ( x + a ) = ? f ( x) ,则

(答:f ( x) 是周期函数,T = 2a为f ( x) 的一个周期)
又如:若f ( x) 图象有两条对称轴x = a,x = b (?)

即f (a + x) = f (a ? x) ,f ( b + x) = f ( b ? x)
则f ( x) 是周期函数, 2 a ? b 为一个周期

如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x) 与f ( ? x) 的图象关于 y轴 对称 f ( x) 与 ? f ( x) 的图象关于 x轴 对称 f ( x) 与 ? f ( ? x) 的图象关于 原点 对称
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y = x 对称

f ( x) 与f (2a ? x) 的图象关于 直线x = a 对称 f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图象关于 点 (a, 0) 对称
左移a (a>0) 个单位 y = f ( x + a ) 将y = f ( x) 图象 ? ??????? → ? 右移a (a>0) 个单位 y = f ( x ? a ) 上移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) + b ? ??????? → ? 下移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) ? b

注意如下“翻折”变换:
f ( x ) ? → f ( x) ? f ( x) ? → f (| x|) ? 如:f ( x) = log 2 ( x + 1)

作出y = log 2 (x + 1) 及y = log 2 x + 1 的图象
y y=log2x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(k<0) y

(k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y = kx + b ( k ≠ 0)
( 2 )反比例函数:y = k k (k ≠ 0)推广为y = b + (k ≠ 0)是中心O' (a,b) x x?a

的双曲线。
b? 4ac ? b 2 ? ( 3)二次函数y = ax + bx + c (a ≠ 0) = a? x + ? + 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2 2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x = ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a > 0,向上,函数y min = 4ac ? b 2 4a 4ac ? b 2 4a

a < 0,向下,y max =

应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二 次方程
ax 2 + bx + c = 0,? > 0时,两根x 1 、x 2 为二次函数y = ax 2 + bx + c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 + bx + c > 0 ( < 0) 解集的端点值。

②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?? ≥ 0 ? b ? 如:二次方程ax 2 + bx + c = 0的两根都大于k ? ?? >k 2a ? ?f ( k ) > 0 ?
y

(a>0)

O

k

x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k ) < 0
( 4 )指数函数:y = a x (a > 0,a ≠ 1) (5)对数函数y = log a x(a > 0,a ≠ 1)

由图象记性质!

(注意底数的限定! )
y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=logax(a>1)

(0<a<1)

( 6)“对勾函数” y = x +

k (k > 0) x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
y

? k
O

k

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a 0 = 1 (a ≠ 0) ,a ? p =
m

1 (a ≠ 0) ap

a n = n a m (a ≥ 0) ,a

?

m n

=

1
n

am

(a > 0)

对数运算: log a M·N = log a M + log a N ( M > 0,N > 0)
log a M 1 = log a M ? log a N, log a n M = log a M N n

对数恒等式:a loga x = x
对数换底公式: log a b = log c b n ? log a m b n = log a b log c a m

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)
如:(1)x ∈ R,f ( x) 满足f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x = y = 0 ? f (0) = 0再令y = ? x,……) ( 2 )x ∈ R,f ( x) 满足f ( xy) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x = y = ? t ? f [( ? t )( ? t )] = f ( t·t )

∴f ( ? t ) + f ( ? t ) = f ( t ) + f ( t ) ∴f ( ? t ) = f ( t ) ……)
( 3)证明单调性:f ( x 2 ) = f ( x 2 ? x 1 ) + x 2 = ……

[

]

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法) ,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利 用函数单调性法,导数法等。 ) 如求下列函数的最值:
(1)y = 2 x ? 3 + 13 ? 4 x ( 2 )y = 2 x ?4 x +3

2x 2 ( 3)x > 3,y = x?3 ( 4 )y = x + 4 + 9 ? x 2 设x = 3 cosθ,θ ∈[0,π ]
(5)y = 4 x + 9 ,x ∈(0,1] x

(

)

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α, 半径为 R 的弧长公式和扇形面 积公式吗?
(l = α ·R,S 扇 = 1 1 l ·R = α ·R 2 ) 2 2

R 1 弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义
sin α = MP, cos α = OM, tan α = AT
y B P α O M A x S T

如:若 ?

π < θ < 0,则 sin θ, cos θ, tan θ的大小顺序是 8

?π ? 又如:求函数y = 1 ? 2 cos? ? x? 的定义域和值域。 ?2 ?
?π ? (∵1 ? 2 cos? ? x? ) = 1 ? 2 sin x ≥ 0 ?2 ? ∴ sin x ≤ 2 ,如图: 2

∴ 2 kπ ?

5π π ≤ x ≤ 2 k π + ( k ∈ Z) , 0 ≤ y ≤ 1 + 2 4 4

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、 对称点、对称轴吗?

sin x ≤ 1, cos x ≤ 1
y

y = tgx

?

π
2

O

π
2

π

x

? π ? 对称点为 ? k , 0? ,k ∈ Z ? 2 ? π ? y = sin x的增区间为 ?2 kπ ? , 2 kπ + 2 ? π? ( k ∈ Z) 2? ?

π 3π ? ? 减区间为 ?2 kπ + , 2 kπ + ? ( k ∈ Z) 2 2? ?

图象的对称点为( kπ, 0),对称轴为 x = kπ +
y = cos x的增区间为[2 kπ, 2 kπ + π ] ( k ∈ Z)

π (k ∈ Z) 2

减区间为[2 kπ + π, 2 kπ + 2 π ] (k ∈ Z) π ? ? 图象的对称点为 ? kπ + , 0? ,对称轴为 x = kπ ( k ∈ Z) ? ? 2

π ? y = tan x的增区间为 ? kπ ? ,kπ + ? 2

π? ? k ∈Z 2?

26. 正弦型函数y = Asin(ωx + ? )的图象和性质要熟记。[ 或y = A cos(ωx + ? )]
(1)振幅| A| ,周期T = 2π | ω|

若f ( x 0 ) = ± A,则x = x 0 为对称轴。

若f ( x 0 ) = 0,则( x 0 , 0)为对称点,反之也对。
( 2 )五点作图:令 ωx + ? 依次为 0, π 3π ,π, , 2 π ,求出x与y,依点 2 2

(x,y)作图象。
( 3)根据图象求解析式。(求A、ω、?值)

?ω ( x 1 ) + ? = 0 ? 如图列出 ? π ?ω ( x 2 ) + ? = 2 ?

解条件组求ω、?值
?正切型函数 y = A tan(ωx + ? ),T = π | ω|

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,

再判定角的范围。
? 如: cos? x + ?
(∵π < x <

π? 2 3π ? ? ,x ∈ ?π, ? ,求x值。 ?=? 6? 2 2? ?
3π 7π π 5π π 5π 13 ,∴ < x+ < ,∴x + = ,∴x = π) 2 6 6 3 6 4 12

28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
如:函数y = sin x + sin| x| 的值域是 (x ≥ 0时,y = 2 sin x ∈[ ?2 , 2],x < 0时,y = 0,∴y ∈[ ?2 , 2])

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换) 平移公式:
→ ?x' = x + h a = ( h, k ) (1)点P(x,y) ? ????→ P' (x' ,y' ),则 ? ? 平移至 ?y' = y + k

( 2 )曲线f ( x,y) = 0沿向量 a = ( h,k ) 平移后的方程为f ( x ? h,y ? k ) = 0
π? ? 如:函数 y = 2 sin? 2 x ? ? ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y = sin x 的 ? 4?



图象?
? (y = 2 sin? 2 x ? ? π? ? ? 1 ? π? 横坐标伸长到原来的 2 倍 ? ? 1 ? ?????????→ y = 2 sin ?2? x? ? ? ? 1 4? ? ?2 ? 4?

? = 2 sin? x ? ?

π 左平移 个单位 π? 上平移1个单位 4 ? ? ? ? 1 ? ????? → y = 2 sin x ? 1 ? ????? → y = 2 sin x ? 4

1 2 ? ?????????→ y = sin x)
纵坐标缩短到原来的 倍

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
如:1 = sin 2 α + cos 2 α = sec 2 α ? tan 2 α = tan α· cot α = cos α· sec α = tan = sin π = cos 0 = ……称为1的代换。 2 π “ k· ± α”化为 α 的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”, 2 π 4

“奇”“偶”指 k 取奇、偶数。 、
如: cos 9π ? 7π ? + tan? ? ? + sin(21π ) = ? 6? 4
sin α + tan α ,则y的值为 cos α + cot α

又如:函数y =

A. 正值或负值
sin α +

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

sin α 2 cos α = sin α(cos α + 1) > 0,∵α ≠ 0) (y = cos α cos 2 α(sin α + 1) cos α + sin α

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式 降幂公式及其逆向应用了吗? 降幂公式 理解公式之间的联系:
令α =β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β ? ?? → sin 2α = 2 sin α cos α ? 令α =β cos(α ± β) = cos α cos β m sin α sin β ? ?? → cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α ?

tan(α ± β) =

tan α ± tan β 1 m tan α· tan β

= 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α ?

tan 2α =

2 tan α 1 ? tan 2 α

1 + cos 2α 2 1 ? cos 2α sin 2 α = 2 cos2 α =
b a

a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ?), tan ? = ? sin α + cos α = 2 sin? α + ? π? ? 4?

π? ? sin α + 3 cos α = 2 sin? α + ? ? 3?

应用以上公式对三角函数式化简。 (化简要求:项数最少、函数种类最少, 分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。 ) 具体方法:
(1)角的变换:如β = (α + β) ? α,
α +β ? β? ? α ? = ? α ? ? ? ? ? β? …… ? ? 2 2? ? 2

(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。
sin α cos α 2 = 1, tan(α ? β) = ? ,求 tan(β ? 2α )的值。 1 ? cos 2α 3 sin α cos α cos α 1 (由已知得: = = 1,∴ tan α = 2 2 sin α 2 2 sin α 2 又 tan(β ? α ) = 3 2 1 ? tan(β ? α ) ? tan α 3 2 = 1) ∴ tan(β ? 2α ) = tan[(β ? α ) ? α] = = 1 + tan(β ? α )· tan α 1 + 2 · 1 8 3 2 如:已知

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜 三角形?
b2 + c2 ? a 2 余弦定理:a = b + c ? 2 bc cos A ? cos A = 2 bc
2 2 2

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。 )
?a = 2 R sin A a b c ? 正弦定理: = = = 2 R ? ?b = 2 R sin B sin A sin B sin C ?c = 2 R sin C ? 1 S ? = a·b sin C 2

∵A + B + C = π,∴A + B = π ? C
∴ sin(A + B) = sin C, sin 如?ABC中, 2 sin 2 A+B C = cos 2 2

A+B + cos 2C = 1 2

(1)求角C;
c2 ( 2 )若a = b + ,求 cos 2A ? cos 2 B的值。 2
2 2

((1)由已知式得:1 ? cos(A + B) + 2 cos 2 C ? 1 = 1

又A + B = π ? C,∴ 2 cos 2 C + cos C ? 1 = 0

1 或 cos C = ?1(舍) 2 π 又 0 < C < π,∴C = 3 1 ( 2 )由正弦定理及a 2 = b 2 + c 2 得: 2 π 3 2 sin 2 A ? 2 sin 2 B = sin 2 C = sin 2 = 3 4 3 1 ? cos 2A ? 1 + cos 2 B = 4 3 ∴ cos 2A ? cos 2 B = ? ) 4 ∴ cos C =

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
π? ? π 反正弦: arcsin x ∈ ?? , ? ,x ∈[ ?1,1] 2? ? 2

反余弦: arccos x ∈[0,π ],x ∈[ ?1,1]
π? ? π 反正切: arctan x ∈ ? ? , ? ,( x ∈ R ) ? 2 2?

34. 不等式的性质有哪些?
(1)a > b, c > 0 ? ac > bc c < 0 ? ac < bc

( 2 )a > b,c > d ? a + c > b + d ( 3)a > b > 0,c > d > 0 ? ac > bd
( 4 )a > b > 0 ? 1 1 1 1 < ,a < b < 0 ? > a b a b

(5)a > b > 0 ? a n > b n , n a > n b

( 6)| x| < a (a > 0) ? ? a < x < a,| x| > a ? x < ? a或x > a 如:若 1 1 < < 0,则下列结论不正确的是( a b B. ab < b 2 D. a b + >2 b a )

A. a 2 < b 2 C. | a|+| b| >| a + b|

答案:C 35. 利用均值不等式:

? a + b? a + b ≥ 2ab a,b ∈ R ;a + b ≥ 2 ab ;ab ≤ ? ? 求最值时,你是否注 ? 2 ?
2 2

(

+

)

2

意到“a,b ∈ R + ”且“等号成立”时的条件,积 (ab) 或和 (a + b) 其中之一为定

值?(一正、二定、三相等) 注意如下结论:
a 2 + b2 a + b 2ab ≥ ≥ ab ≥ a,b ∈ R + 2 2 a+b

(

)

当且仅当a = b时等号成立。
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (a,b ∈ R ) 当且仅当a = b = c时取等号。 a > b > 0,m > 0,n > 0,则
b b+m a+n a <1< < < a a+m b+n b 4 如:若x > 0, 2 ? 3x ? 的最大值为 x

4? ? (设y = 2 ? ? 3x + ? ≤ 2 ? 2 12 = 2 ? 4 3 ? x? 当且仅当 3x = 4 2 3 ,又x > 0,∴x = 时,y max = 2 ? 4 3) x 3

又如:x + 2 y = 1,则 2 x + 4 y 的最小值为 (∵ 2 x + 2 2 y ≥ 2 2 x + 2 y = 2 2 1 ,∴最小值为 2 2 )

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。
如:证明1 + 1 1 1 + 2 +…+ 2 <2 2 2 3 n

(1 +

1 1 1 1 1 1 + 2 + …… + 2 < 1 + + + …… + 2 1× 2 2 × 3 2 3 n (n ? 1)n

= 1+1? =2?

1 1 1 1 1 + ? + …… + ? 2 2 3 n ?1 n

1 < 2) n f ( x) > a (a ≠ 0)的一般步骤是什么? g( x)

37. 解分式不等式

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 ) 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开始

如: ( x + 1)( x ? 1) (x ? 2) < 0
2 3

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如:对数或指数的底分a > 1或 0 < a < 1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。 )
例如:解不等式| x ? 3|? x + 1 < 1
? (解集为 ?x| x > ? 1? ?) 2?

41. 会用不等式| a|?| b| ≤| a ± b| ≤| a|+| b| 证明较简单的不等问题
如:设f ( x) = x 2 ? x + 13,实数a满足| x ? a| < 1 求证: f ( x) ? f (a ) < 2(| a|+1)

证明: 证明: | f ( x) ? f (a )| =|( x 2 ? x + 13) ? (a 2 ? a + 13)|
=|( x ? a )( x + a ? 1)| (Q| x ? a| < 1) =| x ? a|| x + a ? 1| <| x + a ? 1| ≤| x|+| a|+1

又| x|?| a| ≤| x ? a| < 1,∴| x| <| a|+1

∴ f ( x) ? f (a ) < 2| a|+2 = 2(| a|+1)

(按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题, 常用的处理方式是什么? (可转化为最值问题, “△” 或 问题)
如:a < f ( x) 恒成立 ? a < f ( x) 的最小值 a > f ( x) 恒成立 ? a > f ( x) 的最大值 a > f ( x) 能成立 ? a > f ( x) 的最小值
例如:对于一切实数x,若 x ? 3 + x + 2 > a恒成立,则a的取值范围是
(设u = x ? 3 + x + 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2 和 3距离之和 u min = 3 ? (?2) = 5,∴5 > a,即a < 5

或者: x ? 3 + x + 2 ≥ ( x ? 3) ? ( x + 2) = 5,∴a < 5)

43. 等差数列的定义与性质
定义:a n +1 ? a n = d (d为常数 ) ,a n = a 1 + ( n ? 1)d 等差中项:x,A,y成等差数列 ? 2A = x + y

前n项和S n =

(a 1 + a n )n = na
2

1

+

n( n ? 1) 2

d

性质: {a n }是等差数列

(1)若m + n = p + q,则a m + a n = a p + a q ;
( 2 )数列{a 2 n ?1 },{a 2 n },{ka n + b}仍为等差数列; S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ……仍为等差数列;

( 3)若三个数成等差数列,可设为a ? d,a,a + d;
( 4 )若a n ,b n 是等差数列S n ,Tn 为前n项和,则 a m S 2 m ?1 = ; b m T2 m?1

(5){a n }为等差数列 ? S n = an 2 + bn(a,b为常数,是关于n的常数项为

0 的二次函数)
S n 的最值可求二次函数S n = an 2 + bn的最值;或者求出{a n }中的正、负分界

项,即:
?a n ≥ 0 当a 1 > 0,d < 0,解不等式组 ? 可得S n 达到最大值时的n值。 ?a n +1 ≤ 0 ?a n ≤ 0 当a 1 < 0,d > 0,由 ? 可得S n 达到最小值时的n值。 a n +1 ≥ 0 ?

如:等差数列 {a n },S n = 18,a n + a n ?1 + a n ? 2 = 3,S 3 = 1,则n = (由a n + a n ?1 + a n ? 2 = 3 ? 3a n ?1 = 3,∴a n ?1 = 1 又S 3 =

(a1 + a 3 ) · 3 = 3a
2

2

= 1,∴a 2 =

1 3

∴S n =

(a 1 + a n )n
2

=

(a 2 + a n?1 )·n
2

?1 ? ? + 1? n ?3 ? = = 18 2

∴ n = 27)

44. 等比数列的定义与性质
定义: a n +1 = q(q为常数,q ≠ 0),a n = a 1q n ?1 an

等比中项:x、G、y成等比数列 ? G 2 = xy,或G = ± xy
?na 1 (q = 1) ? 前n项和:S n = ? a 1 1 ? q n (要注意 ! ) (q ≠ 1) ? ? 1? q

(

)

性质: {a n }是等比数列

(1)若m + n = p + q,则a m ·a n = a p ·a q
( 2 )S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ……仍为等比数列 45. 由S n 求a n 时应注意什么? (n = 1时,a 1 = S1 ,n ≥ 2 时,a n = S n ? S n ?1 )

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如: (1)求差(商)法
1 1 1 如:{a n }满足 a 1 + 2 a 2 + …… + n a n = 2 n + 5 2 2 2 1 解: n = 1时, a 1 = 2 × 1 + 5,∴a 1 = 14 2 1 1 1 n ≥ 2 时, a 1 + 2 a 2 + …… + n ?1 a n ?1 = 2 n ? 1 + 5 2 2 2 1 < 1 > ? < 2 > 得: n a n = 2 2 <1>

<2>

∴a n = 2 n +1

?14 ( n = 1) ∴a n = ? n +1 ( n ≥ 2) ?2

[练习]
数列{a n }满足S n + S n +1 = 5 a n +1 ,a 1 = 4 ,求a n 3
S n +1 =4 Sn

(注意到a n +1 = S n +1 ? S n 代入得:

又S1 = 4 ,∴{S n }是等比数列,S n = 4 n n ≥ 2 时,a n = S n ? S n ?1 = …… = 3· 4 n ?1

(2)叠乘法
例如:数列 {a n }中,a 1 = 3, a n +1 n = ,求a n an n +1

解:

a2 a a a 1 2 1 n ?1 · 3 …… n = · …… ,∴ n = a1 a2 a n ?1 2 3 n a1 n 3 n

又a 1 = 3,∴a n =

(3)等差型递推公式
由a n ? a n ?1 = f ( n) ,a 1 = a 0 ,求a n ,用迭加法

n ≥ 2 时,a 2 ? a 1 = f (2) ? ? a 3 ? a 2 = f (3) ? ?两边相加,得: …… …… ? a n ? a n ?1 = f ( n ) ? ?

a n ? a 1 = f (2) + f (3) + …… + f ( n) ∴a n = a 0 + f (2) + f (3) + …… + f ( n)

[练习]
数列{a n },a 1 = 1,a n = 3 n ?1 + a n ?1 ( n ≥ 2),求a n

(a n =

1 n 3 ?1 ) 2

(

)

(4)等比型递推公式
a n = ca n ?1 + d c、d为常数,c ≠ 0,c ≠ 1,d ≠ 0 可转化为等比数列,设a n + x = c(a n ?1 + x)

(

)

? a n = ca n ?1 + (c ? 1)x
令 (c ? 1) x = d,∴x = d c ?1

d ? d ? ∴ ?a n + ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 + c ? 1? c ?1 ? ∴a n + d d ? ? n ?1 = ? a1 + ? ·c ? ? c ?1 c ?1

d ? n ?1 d ? ∴a n = ? a 1 + ?c ? ? c ? 1? c ?1

[练习]
数列{a n }满足a 1 = 9 , 3a n +1 + a n = 4 ,求a n ? 4? (a n = 8? ? ? ? 3?
n ?1

+ 1)

(5)倒数法
例如:a 1 = 1,a n +1 = 2a n ,求a n an + 2

1 由已知得: a n +1 1 ∴ a n +1 ? 1 1 = an 2

=

an + 2 1 1 = + 2a n 2 an

?1? 1 1 ∴ ? ?为等差数列, = 1,公差为 a1 2 ?a n ?
∴ 1 1 1 = 1 + ( n ? 1)· = ( n + 1) an 2 2
2 n +1

∴a n =

47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如: (1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为 相反数的项。
如:{a n }是公差为d的等差数列,求 ∑ 1 k =1 a k a k +1
n

解: 由
∴∑
n

1 1 1? 1 1 ? = = ? ? ? (d ≠ 0) a k ·a k +1 a k (a k + d ) d ? a k a k +1 ?

n 1 1? 1 1 ? =∑ ? ? ? a k +1 ? k =1 a k a k +1 k =1 d ? a k

= =

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? + ? ? ? + …… + ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n +1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n +1 ?

[练习]
求和:1 + 1 1 1 + + …… + 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + …… + n 1 ) n +1

(a n = …… = ……,S n = 2 ?

(2)错位相减法:
若 {a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列 {a n b n }(差比数列)前n项

和,可由S n ? qS n 求S n ,其中q为{b n }的公比。

如:S n = 1 + 2 x + 3x 2 + 4 x 3 + …… + nx n ?1

<1> <2>

x·S n = x + 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 + …… + ( n ? 1)x n ?1 + nx n < 1 > ? < 2 > :(1 ? x)S n = 1 + x + x 2 + …… + x n ?1 ? nx n

x ≠ 1时,S n

(1 ? x ) ? nx =
n

n

(1 ? x)2

1? x
n(n + 1) 2

x = 1时,S n = 1 + 2 + 3 + …… + n =

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
S n = a 1 + a 2 + …… + a n ?1 + a n ? ? ?相加 S n = a n + a n ?1 + …… + a 2 + a 1 ? ? 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n ?1 ) + …… + (a 1 + a n )……

[练习]
已知f ( x) = x2 ? 1? ? 1? ? 1? ,则f (1) + f (2) + f ? ? + f (3) + f ? ? + f (4) + f ? ? = 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1+ x
? 1? ? ? ? x?
2

x ? 1? (由f ( x) + f ? ? = + ? x? 1 + x2

2

x2 1 = + =1 2 2 1+ x 1 + x2 ? 1? 1+ ? ? ? x?

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 = f (1) + ? f (2) + f ? ? ? + ? f (3) + f ? ? ? + ? f (4) + f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
= 1 1 +1+1+1 = 3 ) 2 2

48. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:
n( n + 1) ? ? S n = p(1 + r ) + p(1 + 2 r ) + …… + p(1 + nr ) = p ?n + r ? ……等差问题 2 ? ?

△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款—

—分期等额归还本息的借款种类) 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期 (如一年)后为第一次还款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按 复利) ,那么每期应还 x 元,满足
p(1 + r ) n = x(1 + r )
n ?1

+ x(1 + r )

n?2

+ …… + x(1 + r ) + x

?1 ? (1 + r ) n ? (1 + r ) n ? 1 = x? ?=x r ? 1 ? (1 + r ) ? ? ?

∴x =

(1 + r ) n ? 1

pr (1 + r )

n

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
(1)分类计数原理:N = m1 + m 2 + …… + m n (m i 为各类办法中的方法数) 分步计数原理:N = m1 ·m 2 ……m n (m i 为各步骤中的方法数)

(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序 顺序 排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m . n
A m = n( n ? 1)( n ? 2)……( n ? m + 1) = n n! ( m ≤ n) (n ? m)!

规定:0! = 1

(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不 同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m . n
Cm = n A m n( n ? 1)……( n ? m + 1) n! n = = m m! m!( n ? m)! Am

规定:C 0 = 1 n

( 4 )组合数性质:
C m = C n ? m ,C m + C m?1 = C m+1 ,C 0 + C1 + …… + C n = 2 n n n n n n n n n

50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法; 至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出 结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩
x i ∈ 89 , 90, 91, 92 , 93 , (i = 1, 2 , 3, 4) 且满足x 1 < x 2 ≤ x 3 < x 4 ,

{

}

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 C. 12 D. 10



解析:可分成两类:
(1)中间两个分数不相等,

4 有C 5 = 5(种)

(2)中间两个分数相等
x1 < x 2 = x 3 < x 4

相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种, ∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 51. 二项式定理
(a + b) n = C 0 a n + C1 a n ?1 b + C 2 a n ? 2 b 2 + … + C rn a n ? r b r + … + C n b n n n n n

二项展开式的通项公式:Tr +1 = C rn a n ? r b r ( r = 0,1……n)
C rn 为二项式系数(区别于该项的系数)

性质:
(1)对称性:C rn = C n ? r r = 0,1, 2 ,……,n n

(

)

( 2 )系数和:C 0 + C1 + … + C n = 2 n n n n C1 + C 3 + C 5 + … = C 0 + C 2 + C 4 + … = 2 n ?1 n n n n n n

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
?n ? 2 ? + 1? 项,二项式系数为C n ;n为奇数时, ( n + 1) 为偶数,中间两项的二项式 ?2 ?
n +1 n +1 项及第 + 1项,其二项式系数为C n 2 = C n 2 2 2
11
n ?1 n +1

n

系数最大即第

如:在二项式( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项系数为

(用数字

表示)
(∵n=11
∴共有12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第 12 = 6或第 7 项 2

r 由C11 x 11? r ( ?1) r ,∴取r = 5即第 6项系数为负值为最小: 6 5 ? C11 = ? C 11 = ?426

又如:(1 ? 2 x)

2004

= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …… + a 2004 x 2004 ( x ∈ R ),则 (用数字作答)

(a 0 + a 1 ) + (a 0 + a 2 ) + (a 0 + a 3 ) + …… + (a 0 + a 2004 ) =
(令x = 0,得:a 0 = 1 令x = 1,得:a 0 + a 2 + …… + a 2004 = 1

∴原式 = 2003a 0 + a 0 + a 1 + …… + a 2004 = 2003 × 1 + 1 = 2004 )

(

)

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?
(1)必然事件?,P(?) = 1,不可能事件φ,P(φ) = 0

( 2 )包含关系:A ? B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

( 3)事件的和(并):A + B或A U B“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和(并) 。

( 4 )事件的积(交):A·B或A I B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件)“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。 :
A·B = φ

(6)对立事件(互逆事件) :
“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A
A U A = ?,A I A = φ

(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件。
A与B独立,A与B ,A与B,A与 B 也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是: (1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
P (A ) = A包含的等可能结果 m = 一次试验的等可能结果的总数 n

( 2 )若A、B互斥,则P(A + B) = P(A ) + P( B)

( 3)若A、B相互独立,则P A·B = P(A )·P( B)

(

)

( 4 )P ( A ) = 1 ? P ( A )

(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k次的概率:Pn ( k ) = C k p k (1 ? p) n
n?k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;
? C2 2? ? P1 = 24 = ? C10 15? ?

(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;
? C 2 C 3 10 ? P2 = 4 5 6 = ? ? 21? C10 ?

(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析: ,∴n=103 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件) 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
∴ m = C 2 · 4 2 61 + 4 3 3 C 2 ·4 2 ·6 + 4 3 44 ∴P3 = 3 = 3 125 10

(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析: 解析:∵一件一件抽取(有顺序)

5 2 ∴n = A 10 ,m = C 2 A 5 A 3 4 6 2 C 2 A 5 A 3 10 4 6 = 5 21 A 10

∴P4 =

分清(1)(2)是组合问题, 、 (3)是可重复排列问题, (4)是无重复排列 问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个 数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时, 它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分 层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽 到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平 均值)和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:
(1)算数据极差( x max ? x min );

(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。
其中,频率 = 小长方形的面积 = 组距×
样本平均值:x =

频率 组距

1 x 1 + x 2 + …… + x n n 1 2 2 2 样本方差:S 2 = ( x 1 ? x ) + (x 2 ? x ) + …… + ( x n ? x ) n

(

)

[

]

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机 抽样,则组成此参赛队的概率为____________。



4 2 C10 C 5 ) 6 C 15

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。



( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a |
( 3)单位向量| a 0 | = 1, a 0 =
→ → →

a


| a|

( 4 )零向量 0 ,| 0| = 0
?长度相等 → → (5)相等的向量 ? ? a=b 方向相同 ?





在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。


b ∥ a ( b ≠ 0 ) ? 存在唯一实数λ,使 b = λ a











(7)向量的加、减法如图:

→ → → OA + OB = OC → → → OA ? OB = BA

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
→ → →

e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一

实数对λ 1 、λ 2 ,使得 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量











的一组基底。 (9)向量的坐标表示





i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得


a = x i + y j ,称 ( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a = ( x,y),即为向量的坐标









表示。
设 a = ( x 1 ,y 1 ), b = ( x 2 ,y 2 ) 则 a ± b = ( x 1 ,y 1 ) ± ( y 1 ,y 2 ) = ( x 1 ± y 1 ,x 2 ± y 2 ) λ a = λ ( x 1 ,y 1 ) = ( λx 1 ,λy 1 )
→ → → → →

若A( x 1 ,y 1 ),B( x 2 ,y 2 )
→ 则 AB = ( x 2 ? x 1 ,y 2 ? y 1 ) → | AB| =

(x 2 ? x1 ) 2 + (y 2 ? y1 )2 ,A、B两点间距离公式
→ → → → → →

57. 平面向量的数量积
(1) a · b =| a | ·| b|cosθ叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。
θ为向量 a 与 b 的夹角,θ ∈[0,π ]
→ →

v b
O

B

θ
D

v a
A

数量积的几何意义:











a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cosθ的乘积。

(2)数量积的运算法则
①a·b = b·a
→ → → → → → → →

②( a + b) c = a · c + b · c
→ →







③ a · b = ( x 1 ,y 1 ) · ( x 2 ,y 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2

注意:数量积不满足结合律 ( a · b ) · c ≠ a · ( b · c )
( 3)重要性质:设 a = ( x 1 ,y 1 ), b = ( x 2 ,y 2 )
→ →













① a ⊥ b ? a · b = 0 ? x 1 ·x 2 + y 1 ·y 2 = 0 ② a ∥ b ? a · b =| a | · | b | 或 a · b = ?| a | · | b | ? a = λ b ( b ≠ 0,λ惟一确定)
? x1 y 2 ? x 2 y1 = 0
2 2 ③ a =| a |2 = x 1 + y 1 ,| a · b| ≤| a | ·| b|
→ → →
→ → → → → → → → → → → → →









→2











④ cos θ =

a·b


=

x1x 2 + y1 y 2
2 x + y1 · x 2 + y 2 2 2 2 1

| a | ·| b|

[练习]
→ → → → → → (1)已知正方形ABCD,边长为1, AB = a , BC = b , AC = c ,则

| a + b+ c|=







答案: 2 2
( 2 )若向量 a = ( x,1), b = (4 ,x),当x =
→ → → →

时 a 与 b 共线且方向相同

答案:2
( 3)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60 o ,那么| a + 3 b| =
→ → → →

答案: 13 58. 线段的定比分点
设P1 ( x 1 ,y 1 ),P2 ( x 2 ,y 2 ),分点P( x,y),设P1 、P2 是直线 l 上两点,P点在

→ → l 上且不同于P1 、P2 ,若存在一实数 λ,使 P1 P = λ PP2 ,则 λ 叫做P分有向线段 → P1 P2 所成的比(λ > 0,P在线段P1 P2 内,λ < 0,P在P1 P2 外),且 x 1 + λx 2 x1 + x 2 ? ? ?x = 1 + λ ?x = ? ? 2 ,P为P1 P2 中点时, ? ? ? y = y 1 + λy 2 ?y = y 1 + y 2 ? ? 1+ λ 2 ? ?

如:?ABC,A( x 1 ,y 1 ),B( x 2 ,y 2 ),C( x 3 ,y 3 )
y + y2 + y3 ? ? x + x2 + x3 则?ABC重心G的坐标是 ? 1 , 1 ? ? ? 3 3

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线∥线 ← → 线∥面 ← → 面∥面 ? ? 判定 性质 ? ??→ 线⊥线 ← → 线⊥面 ← → 面⊥面 ←??? ? ? 线∥线 ← → 线⊥面 ← → 面∥面 ? ?

线面平行的判定:
a∥b,b ? 面α,a ? α ? a∥面α
a b

α

线面平行的性质:
α∥面α,α ? 面β,α I β = b ? a∥b

三垂线定理(及逆定理) :
PA⊥面α,AO为PO在α内射影,a ? 面α,则 a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO

P

α
O a

线面垂直:
a⊥b,a⊥c,b,c ? α,b I c = O ? a⊥α
a

α

b

O c

面面垂直:
a⊥面α,a ? 面β ? β⊥α 面α⊥面β,α I β = l,a ? α,a⊥l ? a⊥β

α

a

l
β

a⊥面α,b⊥面α ? a∥b
面α⊥a,面β⊥a ? α∥β a b

α

60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
θ= 0 o 时,b∥α或b ? α

( 3)二面角:二面角α ? l ? β的平面角θ, 0 o < θ ≤ 180 o

(三垂线定理法:A∈α作或证 AB⊥β于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所求。 ) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理) 。 [练习] (1)如图,OA 为α的斜线 OB 为其在α内射影,OC 为α内过 O 点任一

直线。
证明: cos γ = cos θ· cos β
A

α O γ θ β C D B

(θ为线面成角,∠AOC = γ,∠BOC = β)

(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。
D1 A1 B1 H G D A B C C1

3 6 (① arcsin ;② 60 o ;③ arcsin ) 4 3

(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD, 求面 PAB 与面 PCD 所成的锐二面角的大小。

P

F

D

C

A

E

B

(∵AB∥DC,P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点,作 PF∥AB,则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线……) 61. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如: 三垂线定理法,或者用等积转化法) 。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
D A B C

D1 A1 B1

C1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素?
S 正棱锥侧 = V锥 = 1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

1 底面积×高 3

63. 球有哪些性质?
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r = R 2 ? d 2

(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

( 4 )S 球 = 4 πR 2 ,V球 =

4 πR 3 3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切 球半径 r 之比为 R:r=3:1。
如:一正四面体的棱长均为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面

积为(
A. 3π


B. 4 π C. 3 3π D. 6π

答案:A

64. 熟记下列公式了吗?
(1)l 直线的倾斜角α ∈[0,π ),k = tan α = y 2 ? y1 ? π ? ? α ≠ ,x 1 ≠ x 2 ? ? x 2 ? x1 ? 2


P1 ( x 1 ,y 1 ),P2 ( x 2 ,y 2 )是l 上两点,直线l 的方向向量 a = (1,k )

(2)直线方程:
点斜式:y ? y 0 = k( x ? x 0 ) (k存在)

斜截式:y = kx + b
截距式: x y + =1 a b

一般式:Ax + By + C = 0 (A、B不同时为零)
( 3)点P( x 0 ,y 0 )到直线l :Ax + By + C = 0的距离 d =
( 4 )l1 到l2 的到角公式: tan θ = k 2 ? k1 1 ? k1k 2

Ax 0 + By 0 + C A 2 + B2

l1 与l2 的夹角公式: tan θ =

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

65. 如何判断两直线平行、垂直?
A 1 B 2 = A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1C 2 ≠ A 2 C1 ?

k 1 = k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立) A 1A 2 + B1 B 2 = 0 ? l1 ⊥l2
k 1 ·k 2 = ?1 ? l1 ⊥l2

66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理” 。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组 ? 关于x(或y)的一元二次方程 ? “?” ? > 0 ? 相交;? = 0 ? 相切;? < 0 ? 相离

68. 分清圆锥曲线的定义
?椭圆 ? PF1 + PF2 = 2a, 2a > 2c = F1 F2 ? ? 第一定义 ?双曲线 ? PF1 ? PF2 = 2a, 2a < 2c = F1 F2 ? ?抛物线 ? PF = PK ?
第二定义:e = PF PK = c a

0 < e < 1 ? 椭圆;e > 1 ? 双曲线;e = 1 ? 抛物线
y b O F1 F2 a x

x=

a2 c

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) a 2 b2

(a

2

= b2 + c2

)

x2 y2 ? = 1 (a > 0,b > 0) a2 b2

(c

2

= a 2 + b2

)

e>1 P

e=1 0<e<1 F

k

69. 与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1有相同焦点的双曲线系为 2 ? 2 = λ (λ ≠ 0) a2 b a b

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数 是否为零?△≥0 的限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在 △≥0 下进行。 )
弦长公式 P1 P2 =

(1 + k )[(x
2

1

+ x 2 ) ? 4x1 x 2
2

]
]

1? 2 ? = ?1 + 2 ? (y1 + y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? k ?

[

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如:
y P(x0,y0) K

F1

O

F2

x

l x2 y2 ? =1 a2 b2

PF2

? a2 ? = e, PF2 = e? x 0 ? ? = ex 0 ? a PK c? ?

PF1 = ex 0 + a

y A P2

O P1

F

x

B

y 2 = 2 px( p > 0)

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法” 。
如:椭圆mx 2 + ny 2 = 1 与直线 y = 1 ? x 交于M、N两点,原点与MN中点连
2 m ,则 的值为 2 n 2 m = n 2

线的斜率为

答案:

73. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x, y)为曲线 C 上任意一点,设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。
(由a = x + x' y + y' ,b = ? x ' = 2 a ? x, y ' = 2 b ? y) 2 2

只要证明A ' (2a ? x, 2 b ? y)也在曲线C上,即f ( x') = y'
?AA ' ⊥l ( 2 )点A、A ' 关于直线l 对称 ? ? ?AA ' 中点在 l 上 ?k AA ' ·k l = ?1 ?? ?AA ' 中点坐标满足 l 方程
?x = r cos θ 74. 圆x 2 + y 2 = r 2 的参数方程为 ? (θ为参数) y = r sin θ ? ?x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1的参数方程为 ? (θ为参数) 2 a b ?y = b sin θ

椭圆

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。

参数

(直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域 内平移直线,求出目标函数的最值。


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