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22章--一元二次方程复习



新河镇中学148班

1.下列方程中,关于x的一元二次方程是 ( A ) A. 3?x ? 1? ? 2?x ? 1?
2

1 1 ? ?2?0 B. 2 x x
D.

C.

ax2 ? bx ? c ? 0

x ? 2x ? x ? 1
2 2

(1)三个特征:只含有一个未知数; 方程的两边都是整式; 未知数的最高次数为2次. (2)形如ax2 + bx + c=0(a≠0)叫做一元二次方程. 2.关于x的方程(a-1)x2 - 2x + 3=0是一元二次方程,则 ( D )

A. a>1

B. a<1

C.a=1

D.a≠1

3.方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程? (2)在什么条件下此方程为一元一次方程?
解: 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程; 当a=2,b≠0时是一元一次方程;

4、把方程(1-x)(2-x)=3-x2 化为一 2-3x-1=0 2 x 般形式是:___________, 其二次项 系数是____, -3 常数 2 一次项系数是____, 项是____. -1

5、方程(m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程,则 ( C )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
若关于X的一元二次方程 (a - 1) x + x + a - 1 = 0 的一个根为0,则 a 的值为( B )
2 2

A、1

B、-1

C、 1或 -1

1 D、 2

解一元二次方程的方法有几种?

你能说出每一种解法的特点吗?
/

? 1、用直接开平方法:(x+2)2=9

例:解下列方程
∴ x=-2±3

解:两边开平方,得: x+2= ±3 ∴ x1=1, x2=-5

右边开平方 后,根号前 取“±”。

例:解下列方程
2、用配方法解方程4x2-8x-5=0

两边加上相等项“1”。

/

3、用公式法解方程

3x2=4x+7

解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100>0

先变为一般 形式,代入 时注意符号。

∴ x = 4± 6100 = ∴x1= -1

2± 5 3

x2 =

用公式法解一元二次方程的前提是:

4、用因式分解法解方程:(y+2)2=3(y+2)

解:原方程化为 (y+2) 2﹣ 3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1

选择你认为适当的方法解下列方程:
4 (1) 5(x ? 1) ? 5 (3)x2 + 6x - 39=0
2

(2)9(x-1)2 = 4(x+1)2
(4)2x(x-3)= 5(x-3) (6)2y2 + 5 = 6y

(5)4x2 + 5=12x

/

△=b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况: (1)Δ>0 方程有两个不相等的实数根; (2)Δ=0 方程有两个相等的实数根; (3)Δ<0 方程无实数根.

利用根的判别式解题的几种常见题型 题型一:不解方程直接判别根的情况
例:不解方程直接判别下列方程根的情况:
① ② ③

2x ? x ?1 ? 0
2
2

1 3x ? ? 6 x 2 y(2 y ? 5) ? 2( y ? 1)

解:①△>0,此方程有两不等实根; ②△=0,此方程有两相等实根; ③△<0,此方程无实数根。

利用根的判别式解题的几种常见题型

题型二:根据△证明方程根的情况
1 2 x ? (m ? 1) x ? m 2 ? m ? 1 ? 0 没有实数根。 例:求证:方程 2
证明:

1 ? ? (m ? 1) ? 4 ? ? (m 2 ? m ? 1) 2
2

? ?m 2 ? 1

? m2 ? 0
? ?m 2 ? 0 ? ?m2 ? 1 <0,即△<0

? 原方程有没有实数根。

题型三:已知根的情况求字母的值(范围)
2 kx ? (2k ?1) x ? k ? 1 ? 0 例:当为何值时,关于x 的方程

①有两不等实数根;②没有实数根;③有实根。 解:①∵方程有两不等实数根 ∴原方程是关于 x 的一元二次方程 ③⑴当 k ? 0 时,方程 ? k ? 0且? >0 有一实根;

? ? ? (2k ?1)2 ? 4 ?1? (k ? 1) ? ?8k ? 1 1 ? k< 8 1 ∴当 k < 且 k ? 0 时原方程有两 8 不等实根。

⑵当 k ? 0且? ? 0 时, 1 k ? 且k ? 0 时, 即 8 方程有两实数根 ∴当 k ?
1 时,? 8

思考
中考直击

1. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
求a2+b2 的值。

2.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边可写成 一个完全平方式,则m的值是( ) A.-6或-2 B.-2 C. 6或-2 D.2或-6

一元二次方程 根与系数的关系:

方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的求根公式是
2

?b ? b ? 4ac (b 2 ? 4ac ? 0) x? 2a
2

一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理)

若方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的两根为x1 , x2 ,
2

b c 则x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

特别地: 若方程x ? px ? q ? 0的两根为x1 , x2,
2

则:x1 ? x2 ? ? p, x1 ? x2 ? q

基 础 练 习

设 X1、X2是方程X2-4X+1=0的两个根,则
X1+X2 = ___ X12+X22 = X1X2 = ____, ;

1 1 ? ? x1 x2

( X1-X2)2 =



x2 x1 ? ? x1 x2

1、若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数,则 p=______;若两根互为倒数,则q=_____. 2、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ,则 b= ,c= .
.

二、选择 2 1、若方程x ? m x ? n ? 0 中有一个根为零,另一个根非零,则 m, n 的值为 ( ) A m ? 0, n ? 0 B m ? 0, n ? 0 C m ? 0, n ? 0 D mn ? 0 2、已知方程 x ? kx ? 6 ? 0 的两个根都是整数,则k的值可以是( (A)-1 (B) 1 (C) 5 (D)以上三个中的任何一个
2



3、两根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0

补充规律:
两根均为负的条件: X1+X2 两根均为正的条件: X1+X2 两根一正一负的条件: X1+X2 且X1X2 且X1X2 且X1X2


。 。

当然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件:b2-4ac≥0

例2:已知关于x的方程 x2+(2k+1)x+k2-2=0 满足:两根的 平方和比两根之积的3倍少10,求k的值.

三、解答题:

在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根 为1与-3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2。这个 方程的根应该是什么?

增长率与方程
1. 为响应国家“退耕还林”的号召,某地2000年退耕还 林1600公顷,计划到2002年退耕还林1936公顷.,那么这两 年退耕还林的增长率是多少? 解 : 设每年平均增长率为x, 根据题意, 得

1600(1 ? x) ? 1936.
2

解这个方程 :

(1 ? x) 2 ? 1.21,
? (1 ? x) ? ?1.1, ? x ? ?1 ? 1.1,
? x1 ? ?1 ? 1.1 ? 10%; x2 ? ?1 ?1.1 ? 0(不合题意, 舍去).

答 : 每年的平均增长率为 10%.

2. 剪一块面积是150cm2的长方形铁片,使它的 长比宽多5cm,设这块铁片的宽为xcm,根据 x(x+5)=150 题意所列方程是 .
3. 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,则这个 6,8,10 直角三角形的三边长分别为 . 4. 有一间长18米,宽7米的会议室,在它的中间铺一块地毯 ,
地毯的面积是会议室面积的三分之一,四周未铺地毯处的宽度 相同,求所留宽度是多少米?若设所留宽度为x米, 则可列方程 ( 18-2x ) (7- 2x ) = 42 .

5. 某超市一月份的营业额为100万元,第一季度的营业 额共800 万元,如果平均每月增长率为x,则所列方程 应为( D )
A、100(1+x)2=800 C、100+100×3x=800 B、100+100×2x=800 D、100+100(1+x)+100(1+x)2 = 800

销售问题

我是商场精英

1.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采 取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降 低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈 利1200元,每件衬衫应降价多少元? 解 : 设每件衬衫应降价x元, 根据题意, 得
x (40 ? x)( 20 ? 2 ? ) ? 1200. 1 整理得 : x 2 ? 30 x ? 200 ? 0.

解这个方程, 得 x1 ? 20, x2 ? 10. ? 20 ? 2 x ? 60, 或20 ? 2 x ? 40. 答 : 为了尽快减少库存, 应降价20元.

销售问题
某种商品,按标价销售每件可盈利50元,平 均每天销售24件.根据市场信息,若每件降价2元, 则每天可多销售6件.如果经销商想保证每天盈 利2160元,同时考虑不过分增加营业员的工作量, 每件商品应降低多少元? 拓展:每件商品应降低多少时, 商店每天盈利最多?最多盈利是多少?

1、如图,已知A、B、C、D为矩形的 A 四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、 P Q分别从点A、C同时出发,点P以3 ㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为 B 止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动. 问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形 PBCQ的面积是33c㎡

D

Q C

1、如图,已知A、B、C、D为矩形的 A 四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、 P Q分别从点A、C同时出发,点P以3 ㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为 B 止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
问P、Q两点从出发开始几秒时,四 边形PBCQ的面积是33c㎡? 分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高 各是多少?

D

Q C

1、 某军舰以20海里的速度由 西向东航行,一艘电子侦察船 以30海里的速度由南向北航 行,它能侦察出周围50海里 (包括50海里)范围内的目标. 如图,当该军舰行至A处时,电 子侦察船正位于A处的正南方 向的B处,且AB=90海里.如果 军舰和侦察船仍按原来速度 沿原方向继续航行,那么航行 途中侦察船能否侦察到这艘 军舰 ?如果能,最早何时能侦 察到?如果不能,请说明理由.

运动与方程
北 A


东 B



B

运动与方程
解 : 设电子侦察船最早需要x小时能侦察到军舰, 根据题意, 得
(90-30x)2+(20x)2=502 北 A


整理得 : 13x 2 ? 54 x ? 56 ? 0. 解得 :
28 ? x1 ? 2; x2 ? . 13

东 B



B

答 :电子侦察船最早能在2h时能侦察到军舰.

1、试证明关于x的方程 (a2-8a+20)x2+2ax+1=0,不论a为何值, 此方程都是一元二次方程。
2.已知a, b, c是?ABC的三条边的长 , 若关于x的一元二次方程    (c ? b) x ? 2(b ? a) x ? (a ? b) ? 0有两个相等的实数根 ,则  ?ABC是等腰三角形 .
2

复习
一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 直接开平方法 解法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式、根与系数的关系
一元二次方程的应用 思想方法 转化思想; 配方法、换元法

知识结构 一元二次方程



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