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函数y=Asin(wx+Φ)的图象和性质(第1课时)课件3



1.5 函数y ? Asin(?x ? ? )的图象

例1 作函数y ? sin (x ? )及y ? sin (x ? ) 在一个周期 4 3 内的图象。

?

?

x
x?

?

?
3

?
3

?
3
0

? 6
? 2
1 y
? 6

2? 3
?
0
?

7? 6
3? 2
-1

5? 3
2?
0

sin (x ?

)

0 1
?
3

y ? si n (x ? ) 3 5? 7?
? 2? 2 3

?6

?

O

?1

3? 2

3

2?

x

例1 作函数y ? sin (x ? )及y ? sin (x ? ) 在一个周期 4 3 内的图象。

?

?

x
x?

?
4 ?
4 )

? 4
0
0

3? 4
? 2
1

5? 4
?
0
?
3

7? 4

9? 4

3? 2
-1

2?
0

sin (x ?

1 O ?1

y

y ? si n (x ?
? ? 3? 4 2 4

)

?

2?

5? 3? 7? 4 2 4

9? 4 y ? si n (x ? ? )

x

4

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R图象的影响.
结论 : y ? sin( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左 (当? ? 0时)或向右(当? ? 0时)平行移 ? 个 单位长度而得到 .

1 ? 例2 作函数 y ? si n ( 2 x ? ) 及 y ? si n ( x ? ) 在 2 3 一个周期内的图象。 3 ? ? ? 7? 5? ? x 12 6 3 12 6 ? ? 3? ? 0 2? 2x ? 2 2 3

?

sin 2 x

0
2 y 1

1
y ? si n (x ?
5? 6

0
?
3 )
5? 3

?1

0

?

?

2?

3 ?O 6 12 3

?

? ?

7? 12

?

3? x

?1 ?2

? y ? sin( 2x ? ) 3

1 ? 例2 作函数 y ? si n ( 2 x ? ) 及 y ? si n ( x ? ) 在 2 3 一个周期内的图象。 3 ? 2? 4? 7? 10? ? x 3 3 3 3 3 1 ? ? 3? ? 0 2? x? 2 2 2 3

?

sin 2 x

0
2 y 1

1
y ? si n (x ?

0
?
3 )

?1

0

1 ? y ? sin( x ? ) 2 3

2?
2? ? 3

O ?1 ?2

? 3

?

4? 3

7? 3

3?

10? 3

x

? y ? sin( 2x ? ) 3

图象的影响. (二)探索?对y ? sin(?x ? ? ) 结论 : 函数y ? sin(?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin( x ? ? )的函数图象 上所有点的横坐标缩短 (当? ? 1时)或

伸长(当0 ? ? ? 1时)到原来的 倍(纵坐

1

?

标不变)而得到的.
思 考
函数y ? f ( x)与函数y ? f (a x )的图象 有何关系?

伸缩变换-1

y ? f ( x)

?

y ? f (?x)
1

1 )当? ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 , 2)当0 ? ? ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 1

?

? 即得函数y ? f (?x)的图象;

倍,

1 ? 2x ? ) 2 x ? )及 y ? si n ( 例3 作函数 y ? 2 sin ( 2 3 3 在一个周期内的图象。

?

2 y
1
? ?O ? 6 12

y ? 2 sin ( 2x ?

?
3

)

y ? si n ( 2x ?

?
3

)

? 7? 5? 3 12 6

2?
1 ? si n ( 2x ? ) 2 3

?
y?

3?

x

?1

?2

(三)探索A对y ? A sin(?x ? ? )

图象的影响.

结论 : 函数y ? A sin(?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin(?x ? ? )上所有点 的纵坐标伸长 (当A ? 1时)或缩短(当0 ? A ? 1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. 从而, 函数y ? A sin(?x ? ? )的值域是 ?? A, A?, 最大值是A, 最小值是 ? A.
思 考
函数y ? f ( x )与函数y ? Af ( x )的图象 有何关系?

伸缩变换-2

y ? f ( x)( A ? 0且A ? 1) ? y ? Af ( x)

1 )当A ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍, 2)当0 ? A ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A倍,

即得函数y ? Af ( x)的图象;

思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2 sin( 2 x ? 的图象?

?
3

)

函数y ? sin x

(1)向左平移

?
3

y ? sin( x ?

?
3

)的图象

纵坐标不变 (3)纵坐标伸长到原来的2倍
横坐标不变

1 (2)横坐标缩短到原来的 倍 ? 2 y ? sin( 2 x ? )的图象
3

? y ? 2 sin( 2 x ? )的图象 3

函数y ? A sin(?x ? ? )的图象与函数 y ? sin x图象的关系:

(1)先画出函数 y ? sin x的图象;
( 2)再把正弦曲线向左 ( 右 )平移 ? 个单位长度, 得到函数y ? sin( x ? ? )的图象;

1 ( 3)然后使曲线上各点的横 坐标变为原来的 倍,

?

(纵坐标不变)得到函数y ? sin(?x ? ? )的图象;

(4)最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A 倍, (横坐标不变)这时的曲线就是函数 y ? A sin(?x ? ? )的图象.

1

y

步骤1

o
-1

?
?
2

3? 2

2?

x

(沿x轴 y
1

平行移动)
3? 2

步骤2
-1

2?

o

?
2

?

x

(横坐标 伸长或缩短) y 1 步骤3
-1

o

?
2

?

3? 2

2?

x

(纵坐标 伸长或缩短) y
1
?

步骤4
-1

2

o

?

3? 2

2?

x

1 ? 例 画出函数y ? 2 sin( x ? )的简图. 3 6
解 : (画法一)先把正弦曲线上所有点 向右平 移

?

6 6 后者所有点的横坐标伸 长到原来的3倍(纵坐标 1 ? 不变), 得到y ? sin( x ? )的图象; 再把所得图象 3 6 上所有的纵坐标伸长到 原来的2倍(横坐标不变) 1 ? 而得到函数y ? 2 sin( x ? )的图象. 3 6

个单位长度, 得到y ? sin( x ?

?

)的图象; 再把

y
3

2 y=sin(x1

?
6

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
)①
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

?
2

6

?
y=sin x

13? 2

x

-2
-3

1 ? ? 令X ? x ? , 则y ? 2 sin X , x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y的 2 2 值, 得到"五点" , 再描点作图.
X

1 ? (画法二)利用"五点法"画函数y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期(T ? 1 ? 6? )内的图象. 3

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

x y

2?

5?

0

2

0

?2

0

(1)列表 :

X x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2
0

2?

5?

0
y

2

0

?2

(2)描点 :

(3)连线 :
13? 2
x

2
O

-2

?
2

2? 7?
2

5?

用两种方法画出函数y ? 2 sin( 2 x ? 为一个周期的闭区间上的简图.

?
4

)在长度

五点法
3? ? ? ? 8 8

y
2

O

? 8

3? 8

5? 8

x

-2

y
2

??

3? ? ? ? 8 8
O

? 8

3? 8

5? 8

?

x

-2



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