1.5 函数y ? Asin(?x ? ? )的图象
例1 作函数y ? sin (x ? )及y ? sin (x ? ) 在一个周期 4 3 内的图象。
?
?
x
x?
?
?
3
?
3 ?
3
0
? 6
? 2
1 y
? 6
2? 3
?
0
?
7? 6
3? 2
-1
5? 3
2?
0
sin (x ?
)
0 1
?
3
y ? si n (x ? ) 3 5? 7?
? 2? 2 3
?6
?
O
?1
3? 2
3
2?
x
例1 作函数y ? sin (x ? )及y ? sin (x ? ) 在一个周期 4 3 内的图象。
?
?
x
x?
?
4 ?
4 )
? 4
0
0
3? 4
? 2
1
5? 4
?
0
?
3
7? 4
9? 4
3? 2
-1
2?
0
sin (x ?
1 O ?1
y
y ? si n (x ?
? ? 3? 4 2 4
)
?
2?
5? 3? 7? 4 2 4
9? 4 y ? si n (x ? ? )
x
4
(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R图象的影响.
结论 : y ? sin( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左 (当? ? 0时)或向右(当? ? 0时)平行移 ? 个 单位长度而得到 .
1 ? 例2 作函数 y ? si n ( 2 x ? ) 及 y ? si n ( x ? ) 在 2 3 一个周期内的图象。 3 ? ? ? 7? 5? ? x 12 6 3 12 6 ? ? 3? ? 0 2? 2x ? 2 2 3
?
sin 2 x
0
2 y 1
1
y ? si n (x ?
5? 6
0
?
3 )
5? 3
?1
0
?
?
2?
3 ?O 6 12 3
?
? ?
7? 12
?
3? x
?1 ?2
? y ? sin( 2x ? ) 3
1 ? 例2 作函数 y ? si n ( 2 x ? ) 及 y ? si n ( x ? ) 在 2 3 一个周期内的图象。 3 ? 2? 4? 7? 10? ? x 3 3 3 3 3 1 ? ? 3? ? 0 2? x? 2 2 2 3
?
sin 2 x
0
2 y 1
1
y ? si n (x ?
0
?
3 )
?1
0
1 ? y ? sin( x ? ) 2 3
2?
2? ? 3
O ?1 ?2
? 3
?
4? 3
7? 3
3?
10? 3
x
? y ? sin( 2x ? ) 3
图象的影响. (二)探索?对y ? sin(?x ? ? ) 结论 : 函数y ? sin(?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin( x ? ? )的函数图象 上所有点的横坐标缩短 (当? ? 1时)或
伸长(当0 ? ? ? 1时)到原来的 倍(纵坐
1
?
标不变)而得到的.
思 考
函数y ? f ( x)与函数y ? f (a x )的图象 有何关系?
伸缩变换-1
y ? f ( x)
?
y ? f (?x)
1
1 )当? ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 , 2)当0 ? ? ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 1
?
? 即得函数y ? f (?x)的图象;
倍,
1 ? 2x ? ) 2 x ? )及 y ? si n ( 例3 作函数 y ? 2 sin ( 2 3 3 在一个周期内的图象。
?
2 y
1
? ?O ? 6 12
y ? 2 sin ( 2x ?
?
3
)
y ? si n ( 2x ?
?
3
)
? 7? 5? 3 12 6
2?
1 ? si n ( 2x ? ) 2 3
?
y?
3?
x
?1
?2
(三)探索A对y ? A sin(?x ? ? )
图象的影响.
结论 : 函数y ? A sin(?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin(?x ? ? )上所有点 的纵坐标伸长 (当A ? 1时)或缩短(当0 ? A ? 1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. 从而, 函数y ? A sin(?x ? ? )的值域是 ?? A, A?, 最大值是A, 最小值是 ? A.
思 考
函数y ? f ( x )与函数y ? Af ( x )的图象 有何关系?
伸缩变换-2
y ? f ( x)( A ? 0且A ? 1) ? y ? Af ( x)
1 )当A ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍, 2)当0 ? A ? 1时,将y ? f ( x)图象上每一个点的 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A倍,
即得函数y ? Af ( x)的图象;
思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2 sin( 2 x ? 的图象?
?
3
)
函数y ? sin x
(1)向左平移
?
3
y ? sin( x ?
?
3
)的图象
纵坐标不变 (3)纵坐标伸长到原来的2倍
横坐标不变
1 (2)横坐标缩短到原来的 倍 ? 2 y ? sin( 2 x ? )的图象
3
? y ? 2 sin( 2 x ? )的图象 3
函数y ? A sin(?x ? ? )的图象与函数 y ? sin x图象的关系:
(1)先画出函数 y ? sin x的图象;
( 2)再把正弦曲线向左 ( 右 )平移 ? 个单位长度, 得到函数y ? sin( x ? ? )的图象;
1 ( 3)然后使曲线上各点的横 坐标变为原来的 倍,
?
(纵坐标不变)得到函数y ? sin(?x ? ? )的图象;
(4)最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A 倍, (横坐标不变)这时的曲线就是函数 y ? A sin(?x ? ? )的图象.
1
y
步骤1
o
-1
?
?
2
3? 2
2?
x
(沿x轴 y
1
平行移动)
3? 2
步骤2
-1
2?
o
?
2
?
x
(横坐标 伸长或缩短) y 1 步骤3
-1
o
?
2
?
3? 2
2?
x
(纵坐标 伸长或缩短) y
1
?
步骤4
-1
2
o
?
3? 2
2?
x
1 ? 例 画出函数y ? 2 sin( x ? )的简图. 3 6
解 : (画法一)先把正弦曲线上所有点 向右平 移
?
6 6 后者所有点的横坐标伸 长到原来的3倍(纵坐标 1 ? 不变), 得到y ? sin( x ? )的图象; 再把所得图象 3 6 上所有的纵坐标伸长到 原来的2倍(横坐标不变) 1 ? 而得到函数y ? 2 sin( x ? )的图象. 3 6
个单位长度, 得到y ? sin( x ?
?
)的图象; 再把
y
3
2 y=sin(x1
?
6
1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
)①
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2
o
?
-1
?
2
6
?
y=sin x
13? 2
x
-2
-3
1 ? ? 令X ? x ? , 则y ? 2 sin X , x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y的 2 2 值, 得到"五点" , 再描点作图.
X
1 ? (画法二)利用"五点法"画函数y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期(T ? 1 ? 6? )内的图象. 3
0
?
2
? 2
?
7? 2
3? 2
2?
13? 2
x y
2?
5?
0
2
0
?2
0
(1)列表 :
X x y
0
?
2
? 2
?
7? 2
3? 2
2?
13? 2
0
2?
5?
0
y
2
0
?2
(2)描点 :
(3)连线 :
13? 2
x
2
O
-2
?
2
2? 7?
2
5?
用两种方法画出函数y ? 2 sin( 2 x ? 为一个周期的闭区间上的简图.
?
4
)在长度
五点法
3? ? ? ? 8 8
y
2
O
? 8
3? 8
5? 8
x
-2
y
2
??
3? ? ? ? 8 8
O
? 8
3? 8
5? 8
?
x
-2