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内蒙古鄂尔多斯市一中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题



市一中 2015~2016 学年度第一学期期中考试试题

高二数学(理科)
注意事项: 1. 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位 置上. 3. 选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案

标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 4. 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写,字体工整,笔迹清 楚 5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答. 超出答题区域或在 其它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效. 6. 考试结束,将答题卡交回即可.

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1. 如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( ) A.

1 1 ? a b

B. ab ? b

2

C. ?ab ? ?a

2

D. ? )

1 1 ?? a b

2.设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则(

??? ?

??? ?

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ????? ? ???? 4 ??? ? 1 C. AD ? AB ? AC 3 3
A. AD ? ?

????

B. AD ?

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ??????? ? ???? 4 ??? ? 1 D. AD ? AB ? AC 3 3

????

3.在 ?ABC 中,若 b cos C ? c cos B ? a sin A ,则 ?ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 4.目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x, y 满足 ?3x ? 5 y ? 25 ,则有( ?x ? 1 ?
A. z max ? 12, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值 B. z max ? 12, z 无最小值



D. z 既无最大值,也无最小值 )

5.等差数列 {an } 中, 则此数列的前 20 项和为 ( a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 , A.160 B.180 C.200 D.220

6. 已知等比数列 {an } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,设 P ? 与 Q 的大小关系是( A. P ? Q ) B. P ? Q C. P ? Q

a3 ? a9 , Q ? a5 ? a7 ,则 P 2

D.无法确定

7. 一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 ( ) A. i ? 4 B. i ? 4 C. i ? 5 D. i ? 5 8. 下列有关命题的说法正确的是(
2

1 ,则判断框内应填入的条件是 63


2

2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2

C.在 ?ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件 D. “ x ? 2 或 y ? 1 ”是“ x ? y ? 3 ”既不充分也不必要条件 ,设 a ? 21?sin x , b ? 2cos x , c ? 2tan x ,则( ) 4 2 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a 2 2 x y ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 10.若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 3 ??? ? ??? ? ) OP ? FP 的最大值为( 9.已知

?

?x?

?

A.2

B.3

C.6

D.8

11.已知数列满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

an 1 , (n ? N * ) ,若 bn ?1 ? (n ? ? )( ? 1), b1 ? ?? ,且 an ? 2 an
) D. ? ? 3

数列 {bn } 是单调递增数列,则实数 ? 的取值范围是( A. ? ? 2 B. ? ? 2 C. ? ? 3

12.若 F (c, 0) 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,过 F 作双曲线一条渐近线的垂线 a 2 b2

与两条渐近线交于 A, B 两点, O 为坐标原点, ?OAB 的面积为

12 a 2 ,则该双曲线的离心率 7

e ?(
A.



5 4

B.

4 3

C.

5 3

D.

8 5

第 Ⅱ卷
二、填空题(共 4 题,每题 20 分)

13.若钝角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于________ 14.已知点 P( x, y ) 到 A(0, 4) 和到 B(?2, 0) 的距离相等,则 2 ? 4 的最小值为________
x y

15.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 ,2 S 2 ,3S3 成等差数列,则 {an } 的公比为_____ 16.已知 B(?2, 0), C (2, 0), ?ABC 的内切圆切 BC 于 D 点,且 | BD | ? | CD |? 2 2 ,则顶 点 A 的轨迹方程为_____________________

??? ?

??? ?

三、解答题(共 6 题,共 70 分)
2 2 17. (本题满分 10 分)设命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实

数 x 满足 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,且 ?p是?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
2

18. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? log 3

1 2 n 3 ? ? ? ? ? (32 n ? 1) , n ? N * . a1 a2 an 8

an 1 1 1 ,求 . ? ?? ? n b1b2 b2b3 bnbn ?1

19 . (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,点 ( a , b ) 在直线

x(sin A ? sinB )? y sinB ? c sin C上.
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 2cos 2

c A B 3 ,且 A ? B ,求 ? 2sin 2 ? a 2 2 2

20. (本题满分 12 分) 为了竖立一块广告牌, 要制造三角形支架, 如图所示, o 要求 ?ACB ? 60 ,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 BA 长 0.5 米,为了稳 固广告牌, 要求 AC 越短越好, 求 AC 最短为多少?此时 BC 的长度为多少? 21. (本题满分 12 分) (Ⅰ)下面图形由单位正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此 规律,在横线上方处画出适当的图形;

图1

图2

图3

图4

(Ⅱ)下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形,在下图四个三角形中,着色三角形的个

数依次构成数列的前四项,依此着色方案继续对三角形着色,写出着色三角形的个数的通项 公式 bn ;

(Ⅲ)依照(Ⅰ)中规律,继续用单位正方形绘图,记每个图形中单位正方形的个数为

an (n ? 1, 2,3,?) ,定义 cn ?

2an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . n ?1
1 x2 y2 ? 2 =1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,以原点为圆点, 2 2 a b

22. (本题满分 12 分)已知椭圆 C:

椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于 另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q.

市一中 2015~2016 学年度第一学期期中考试试题

高二数学(理科)参考答案
题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C 11 B 12 A

13.

129

14. 4 2

15.
2

1 3

16.

x2 y 2 ? ? 1( x ? 2) 2 2

17.解:设 A ? x x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0) ? x 3a ? x ? a(a ? 0)
2

?

? ?

?

B ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ? {x | x ? ?1 或 x ? 3}
? ? p 是 ? q 的必要不充分条件,? q是p 必要不充分条件,

? A ? B , 所以 3a ? 3 或 a ? ?1 ,又 a ? 0 ,
?

所以实数 a 的取值范围是 a ? ?1 . n-1 1 3 n 1 2 n 1 2 18.解:(1) = (32-1)=3,当 n≥2 时, =( + +?+ )-( + +?+ ) a1 8 an a1 a2 an a1 a2 an-1 3 3 - - = (32n-1)- (32n 2-1)=32n 1, 8 8 n n - 当 n=1, =32n 1 也成立,所以 an= 2n-1 an 3 an 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)bn=log3 =-(2n-1), = = ( - ), ∴ + +?+ n b1b2 b2b3 bnbn+1 ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 bnbn+1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = [(1- )+( - )+?+( - )]= (1- )= 2 3 3 5 2 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 19.解:由题得 a ? sin A ? sin B ? ? b sin B ? c sin C , 由正弦定理
2 2 a b c 2 2 2 ? ? 得 a ? a ? b ? ? b ? c ,即 a ? b ? c ? ab . sin A sin B sin C

由余弦定理得 cos C ? (2)因为 2 cos
2

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,结合 0 ? C ? ? ,得 C ? . 3 2ab 2
? cos A ? cos( 2? ? A) 3

A B ? 2sin 2 ? cos A ? cos B 2 2

1 3 ? 3 ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) ? 2 2 6 2
因为 A ? B ?

2? ? ? ? ? ? ? ? A? ? ,且 A ? B 所以 0 ? A ? , ? ? A ? ? 3 3 6 6 2 6 3

所以, A ?

?
6

,B ?

?
2

,C ?

?
3

, ?

c ? 3. a

20.解:设 BC= a, (a ? 1) ,AB= c ,AC=b,则 b ? c ? 代入 c ? a ? b ? 2ab cos60 中消去 c 得
2 2 2 o

1 1 ,即 c ? b ? , 2 2

1 3 (a ? 1) 2 ? 2(a ? 1) ? 3 4 ? 4 ? (a ? 1) ? b? ?2? 3?2, a ?1 a ?1 4(a ? 1) a2 ?
当且仅当 a ? 1 ?

3 3 时取等号,所以 AC 最短为 2 ? 3 米,此时 BC 的长为 a ? 1 ? 米 2 2

21.解: (Ⅰ)答案如图所示:

(Ⅱ)易知,后一个图形中的着色三角形个数是前一个的 3 倍, 所以,着色三角形的个数的通项公式为: bn ? 3n?1 .

2? n(n ? 1) (Ⅲ)由题意知 an ? , cn ? 2
所以

n(n ? 1) n?1 ?3 2 =n ? 3n?1 , n ?1
① ②

0 Sn ? 1? 3 ? 2 ? 1 3 ? ? ? n ? n? 31

3Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? ?? (n ?1) ? 3n?1 ? n ? 3n
①-②得 ?2Sn ? (30 ? 31 ? ?? 3n?1 ) ? n ? 3n

?2Sn =
Sn ?

1 ? 3n ? n ? 3n . 1? 3 1 (n ? N+ )




(2 n ? 1 )n 3 ? 4

22.解: (Ⅰ)由题意知 e=

2 c 1 a 2 - b2 1 2 c 2 3 2 = ,所以 e = 2 = = .即 a = b . 2 a 2 4 4 a c

又因为 b=

x2 y2 6 2 2 ? = 3 ,所以 a =4,b =3.故椭圆的方程为 =1. 4 3 1?1

(Ⅱ)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y=k(x-4).

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 y2 ,得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. ① ?1 ? ? 3 ?4
设点 B(x1,y1),E(x2,y2),则 A(x1,-y1).直线 AE 的方程为 y-y2=

y2 ? y 1 x2 ? x1

(x-x2).令 y=0,得

x=x2-

y2 ( x2 ? x1 ) .将 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入, y2 ? y1

整理,得 x=

2 x1 x 2 ? 4( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 8





由①得 x1+x2=

32k 2 64k 2 ? 12 , x 1x2= 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

代入②整理,得 x=1.

所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0).



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