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2007年~2014年全国卷分类汇编3.数列



3.数列 一.选择题: (15 课标 2 文)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A.5 【答案】A 【解析】 试题解析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1, S5 ? 考点:等差数列 (15 新课标 2 理)等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a

7 =( (A)21 【答案】B (B)42 (C)63 ) (D)84 B.7 C.9 ) D.11

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 .故选 A. 2

(15 新课标 1 文)已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( B ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

(14 新课标 2 文)等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项 Sn =(A) (A) n ? n ? 1? (B) n ? n ?1?

(C)

n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

(13 新课标 2 理)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=(C) (A) 1 3 (B) 1 3 (C) 1 9 1 (D)-? 9

(13 新课标 1 理)设 △ An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , △ An BnCn 的面积为 Sn , n ? 1,2,3 ….若 b1 >

c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an?1 ? an , bn ?1 ?
(A) ?Sn ? 为递减数列

cn ? a n b ? an , cn ?1 ? n ,则( B ) 2 2
(B) ?Sn ? 为递增数列

1

(C) ?S2 n?1? 为递增数列, ?S 2 n ?为递减数列 (13 新课标 1 文)设首项为 1 ,公比为 (A) Sn ? 2an ?1

(D) ?S2 n?1? 为递减数列, ?S 2 n ? 为递增数列

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则( D ) 3
(C) Sn ? 4 ? 3an (D) Sn ? 3 ? 2an

(B) Sn ? 3an ? 2

(13 新课标 1 理)设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn 若 Sm?1 ? ?2 , S m ? 0 , Sm?1 ? 3 ,则 m ? ( C ) (A)3 (B)4
n

(C)5

(D)6

(12 新课标文)数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的前 60 项和为(D) (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

(12 新课标理)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (D)

?

( A) 7

(B) 5

(C ) ??

( D) ??

【解析】 a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4

a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
(09 新课标理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列.若 a1 =1,则 s 4 =(C) (A)7 (B)8 (C)15 (D)16

解析:? 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,

?4a1 ? a3 ? 4a2 ,即4a1 ? a1q2 ? 4a1q,?q2 ? 4q ? 4 ? 0,?q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
(08 新课标)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则
2

S4 ? (C) a2

A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2

(07 新课标理)已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ? (D) A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

(07 新课标理) 已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成等比数列,则 值是(D) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

( a ? b) 2 的最小 cd

(07 新课标文)已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于(B) A.3 二.填空题: (14 新课标 2 文)数列 ?an ? 满足 a n ?1 ? B.2 C.1 D. ?2

1 1 , a8 =2,则 a1 = . 2 1 ? an

(13 新课标 2 理)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为-49. (13 新课标 1 理)若数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ?

2 1 an ? ,则 ?an ?的通项公式是 an = 3 3

.

(12 新课标文)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=-2_ (12 新课标理)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 1830 【解析】可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ? 15 ?

15 ?14 ? 16 ? 1830 2

(09 新课标)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn .已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0, S2 m?1 =38,则 m=_______ 解析:由 am?1 + am?1 - a 2 m =0 得到
2 2am ? am ? 0, am ? 0, 2又S2 m?1 ?

? 2m ? 1?? a1 ? a2m?1 ? ?
2

? 2m ? 1? am ? 38? m ? 10 .

答案 10
3

(09 新课标文)等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和 S4 = (08 新课标文)已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则 a5= 15 (07 新课标文)已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差 d ? 三.解答题:
2 (15 新课标 1 理)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, an ? 2an ? 4S n ? 3 .

15 . 2

1 . 2

(Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. a n a n ?1

2 2 解:(I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3. 2 2 可得 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即 2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a)

由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2.
2 又 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3

所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). an a?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( )?( ) ? 2? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ? . 3(2n ? 3) ?
(14 新课标 2 理)已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

4

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

【解析】

( 1) .? a1 ? 1, an ?1 ? 3an ? 1.n ∈ N * . 1 1 1 ? 3an ? 1 ? ? 3(an ? ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an ? }是首项为a1 ? ? , 公比为3的等比数列。 2 2 2 ∴ a n ?1 ?

an ?

3n ? 1 2
1 3n 3n - 1 1 2 ? ,∴ an ? , ? n . 2 2 2 an 3 - 1

(2). 由(1)知,an ?

1 1 2 1 ? 1,当n ? 1时, ? n ? n -1 . a1 an 3 - 1 3 1 1- n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 ∴ ? ? ??? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n -1 ? 3 ? ( 1- n ) ? . 1 2 a1 a2 a3 an 3 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, ? ? ? ? ? ? ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2
(14 新课标 1 文)已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

解 : ( I ) 方 程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的 两 根 为 2,3, 由 题 意 得 a2 ? 2 , a4 ? 3 , 设 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d,, 则

3 1 a4 ? a2 ? 2d ,故 d= ,从而 a1 ? 2 , 2
所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

1 n ?1 2

a n?2 ? an ? 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n ? n ?1 , n n ? 2 2 ?2 ? 3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2
5

1 Sn 2

两式相减得

1 3 ?1 1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 S n ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? ? ?1 ? n ?1 ? ? n ? 2 2 4 ?2 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
n?4 2n ?1

所以 S n ? 2 ?

(14 新课标 1 理)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 解:(I)由题设, an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ? 1. 两式相减得 an?1 (an?2 ? a) ? ?an?1. 由于 an?1 ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?. (II)由题设, a1 ? 1 , a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ? ? 1. 由(I)知, a3 ? ? ? 1. 令 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 ? ? 4. 故 an? 2 ? an ? 4 ,由此可得

?a2n?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n?1 ? 4n ? 3 ; ?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 4n ?1 .
所以 an ? 2n ? 1, an?1 ? an ? 2 . 因此存在 ? ? 4 ,使得数列 ?an ? 为等差数列. (13 新课标 2 文)已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等比数列。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ? ??? ? a3n?2 ;

6

(13新课标1文)已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和。 a2 n?1a2 n?1
n(n ? 1) d。 2

解:(1)设{a n }的公差为d,则S n = na1 ?

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5,

故?an ?的通项公式为an =2-n.
(2)由(I)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

从而数列 ?

?

? 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ? )? . ?的前n项和为 ( - + - +? + 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

7

(11 新课标理)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式. (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?
2

2 3 2 解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

1 1 .有条件可知 a>0,故 q ? . 9 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? .故数列{an}的通项式为 an= n . 3 3

(Ⅱ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(11 新课标文)已知等比数列 {an} 中, a1 ?

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) Sn 为 {an} 的前 n 项和,证明: S n ? 2
(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.

1 1 1 (1 ? n ) 1 ? n 1 1 n ?1 1 3 ? 3 , 所以 S ? 1 ? an , ? n . Sn ? 3 解:(Ⅰ)因为 a n ? ? ( ) n 1 3 3 2 3 2 1? 3 n( n ? 1) (Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ? ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ? 2 n(n ? 1) . 所以 {bn } 的通项公式为 bn ? ? 2
(10 新课标理)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2 2n?1 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn
8

解:(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n ?1) ?1 .
而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 . (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1

① ② .

从而 22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ?? n ? 22n?1

①-②得 (1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1 即 Sn ?

1 [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

(10 新课标文)设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 . ⑴.求 ?an ? 的通项公式; ⑵.求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

解:(1)由 am =a1+(n-1)d 及 a1=5,aw=-9 得

{

a1 ? 2 d ?5 a1 ?9 d ??9

解得

{d ??2

a1 ?9

数列{am}的通项公式为 an=11-2n……6 分 (2)由(1)知 Sm=na1+ n(n ? 1) d=10n-n =-(n-5) +25. 2
2 2

所以 n=5 时,Sm 取得最大值……12 分 (08 新课标理)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.
?a ? d ? 1 解:⑴设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . ⑵ Sn ? na1 ?

n(n ? 1) 2 d ? ?n 2 ? 4n = ? ?n ? 2? ? 4 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .

9



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