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必修3概率部分典型例题解析必修4知识点总结



必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析

?

事件包括随机事件和确定性事件。 确定性事件即必然事件 和不可能事件

P ? A? ?

d的 侧 度 D的 侧 度

( 这里要求 D 的侧度不为 0, 其中侧度

A ? 随机事件的概率(统计定义):一般的

,如果随机事件 在 n 次实验中发生了 m 次,当实验的次数 n 很大时,我们称事件
A 发生的概率为 P ? A? ?

m n

? 概率的性质: 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1

的意义由 D 确定,一般地,线段的侧度为该线段的长度;平 面多变形的侧度为该图形的面积;立体图像的侧度为其体 积 ) 几何概型的基本特点: 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 ① 几何概型与古典概型的区别? ?互斥事件:不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件: 两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ,事件 A 的对立事件 记为: A ,总有 P? A? ? 1 ? P A

A和B互斥,则有 : P? A ? B? ? P? A? ? P?B?
? 古典概率:必须满足两个条件① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性相等, 这样的概率模型称为古典概型 古典概型的概率公式:如果一次试验的等可能的基本事件的个数

??
1

即对立事件的概率之和一定是 1 而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1 若事件 A, B 是互斥事件,则有 P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

1 为个 n ,则每一个基本事件发生的概率都是 ,如果事件 A 包含 n 了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为 m P ? A? ? n ? 几何概型:一般地,一个几何区域 D 中随机地取一点,记事件 “改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的
概率为

?例题选讲: 例 1. 袋中有标号为 1、2、3、4、5 的 5 个球,从中随机取出两个 球. (1)写出所有的基本事件;(2)求所取出的两个球的标号之和 大于 5 的概率. 【解析】 (1) 随机取两个球的基本事件为 (1,2) (1,3) (1,4) , , , (1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).

(2)两球标号之和大于 5 的有(1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5),(4,5),共有 6 个,所以所求概率为

3 . 5

?

80 ? 50 ? 2 ? 80 ? 10 ? 2 ? 50 ? 10 ? 4 ? 1000? 1000

? ?10?2
4

例 2. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物 品,在该区域内有一个 长宽分别为 80 米和 50 米的水池,当急救物品 落在水池及距离水池 10 米的范围内时,物品 会失效,假设急救物品 落在正方形区域内的任 意一点是随机的(不考 虑落在正方形区域范围 之外的),求发放急救 物品无效的概率? 【分析】为题属于几何 概型,是平面图形,其测度用面积来衡量 解:如图,设急救物品投放的所有可能的区域,即边长为 1 千米 的正方形为区域 D ,事件“发放急救物品无效”为 A ,距离水 池 10 米 范 围 为 区 域 d , 即 为 图 中 的 阴 影 部 分 , 则 有

答:略 会面问题:甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面,并约定先到 者等候另一人一刻钟, 过时即可离去, 求两人能会面的概率? 解:设“两人能会面”为事件 A ,以 x 和 y 分别表示 甲、乙两人到达约会地 点的时间,则两人能够会 面的充 要条件为: x ? y ? 15 在平面上建立如图所示的 坐标系, ? x, y ? 的所有 则 可能的结果是边长为 60 的 正方形,而可能会面的时 间由图中阴影部分所表示, 由几何概型知, P? A? ?
2

P? A? ?

d 测度 D测度
答:两人能会面的概率

S A 602 ? 452 7 ? ? 2 S? 16 60

7 . 16

◆ 课本上一道例题的变式训练:

如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M ,求 AM ? AC 的概率? 【分析】点 M 随机的落在线段 AB 上,故线段 AB 为区域

D ,当点 M 位于如图的 AC ' 内时 AM ? AC ,故线段

AC ' 即为区域 d
解: 在 AB 上截取 AC ? AC ,于是
'

高一数学必修 4 知识要点 1、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?

?
3

AC ' AC 2 P( AM ? AC) ? P AM ? AC ? ? ? AB AB 2
'

?

?

答: AM ? AC 的概率为

2 2

? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ??
终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?
? ? ? ?

2、 1 弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.所 以半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的 绝对值是 ? ?

l . r

3、扇形的弧长公式、面积公式 若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长

为 C ,面积为 S ,则弧长 l ? r ? ,周长 C ? 2r ? l ,

面积 S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

4、三角函数定义:设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意 一点 ? 的坐标是 ? x, y ? , 它与原点的距离是 r r ? 则 sin ? ?

?

x2 ? y 2 ? 0 ,

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

5、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为 正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 6、同角三角函数的基本关系: ?1? sin
2

? ? cos2 ? ? 1


? sin
? 2?

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?
sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? tan ? ? ?

10、正弦、余弦和正切函数的图象与性质:(查课本) 11、向量有关概念 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量. 零向量与任一向量平行. 相等向量: 长度相等且方向相同的 向量. 12、向量加减的几何运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相 连. 即共起点, 连终点, y 方 向指向被减向 P T 量. v O M A x ⑵平行四边形法 则 的特 点: 共起
4

sin ? ? tan ? cos ?

点.

7、三角函数的诱导公式: 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 8、图像变换 9、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅:? ;②周期:? ? 13、共线向量定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一 个实数 ? ,使 b ? ? a .

? ?

?

?

?

?

2?

? x ? ? ;⑤初相: ? .

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? 2?

?

?

共线向量定理的坐标形式:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中

?

?

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 17、平面向量的夹角:设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? ,

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线.

?

?

?

?

?

14、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、

??

?? ?

?

?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 .(不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内
所有向量的一组基底) 15、平面向量的数量积:

? ? ? b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b c o ?s ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y 12x ? y2 2
范围是 ?0,? ? 18、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴定义: a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量

?

?

⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ); ⑹( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ). 19、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

5

与 tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ⑵

任一向量的数量积为 0 . 向量垂直的充要条件:

? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 .

tan ? ? tan ? 16、平面向量的数量积的坐标 1 ? tan ? tan ? 算 : 设 两 个 非 零 向 量 运 ? ? ? ? a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . tan ?? ? ? ? ?
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

?

?2

?

x2 ? y 2 .

⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

20、合角公式(两角和与差的正弦、余弦和正切公式的变形)

? . ? cos 2? ? 1 2 21、 降幂公式 (二倍角的余弦公式的变形):cos ? ? , 2 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

6



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