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高考数学总复习经典测试题解析版8.6 空间向量及其运算



8.6 空间向量及其运算
一、选择题 1.若{a ,b ,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是 ( ). B.{b,a+b,a-b} D .{a+b,a-b,a+2b}

A.{a,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b}

解析 若 c、 a +b 、 a-b 共面 , 则 c=λ (a+b)+m(a-

b)=(λ +m)a+(λ -m)b, 则 a、b、c 为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故 c,a+

b,a-b 可构成空间向量的一组基底.
答案 C 2.以下四个命题中正确 的是( ).

A.空间的任何一个向量 都可用其他三个向量表示 B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的 另一组基底 → → C.△ABC 为直角三角形的充要条件是AB·AC=0 D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析 若 a+b、b+c、c+a 为共面向量,则 a+b=λ (b+c)+μ (c+a),(1- λ -1 μ )a=(λ -1)b+(λ +μ )c,λ ,μ 不可能同时为 1,设 μ ≠1,则 a= b 1-μ λ +μ + c,则 a、b、c 为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾. 1-μ 答案 B 3.有下列命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; ②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb. → → → → 其中真命题的个数是( ). → → ③若MP=xMA+yMB,则 P,M,A、B 共面; ④若 P,M,A,B 共面,则MP=xMA+yMB.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 其中①③为正确命题. 答案 B 4. 如图,在底面 ABCD 为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AC 与 BD 的交点, 若 AB =a, A1 D1 =b, A1 A =c 则下列向量中与 B1 M 相等的向量是( 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2 )

1 1 解析 B1 M = B1 A + AM = B1 B + BA + AM =- a+ b+c. 2 2 答案 A → π 5. 如图所示, 已知空间四边形 OABC, OB=OC, 且∠AOB=∠AOC= , 则 cos 〈OA, 3 → BC〉的值为( ).

A.0 →

B.

1 2

C.

3 2

D.

2 2

→ → 解析 设OA=a,OB=b,OC=c π 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉= ,且|b|=|c|, 3 → → OA·BC=a·(c-b)=a·c-a·b → → 1 1 = |a||c|- |a||b|=0,∴cos〈OA,BC〉=0. 2 2 答案 A 6.如图,在大小为 45°的二面角 A-EF-D 中,四边形 ABFE,CDEF 都是边长为 1 的正方形,则 B,D 两点间的距离是( )

A. 3

解析 ∵BD

B. 2 C.1 D. 3- 2 →=→ BF+→ FE+→ ED,∴|→ BD|2=|→ BF|2+|→ FE|2+|→ ED|2+2→ BF·→ FE+2→ FE·→ ED+

→|= 3- 2. 2→ BF·→ ED=1+1+1- 2=3- 2,故|BD 答案 D 7.下列命题中 ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②不等式|a+b|<| a|+|b|的充要条件是 a 与 b 不共线; ③若非零向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b , d = λ a + μ b(λ 、 μ ∈R ,且 λ μ ≠0),则 c⊥d. 正确命题的个数是( A.0 B.1 ). C.2 D.3

解析 只有命题③是正确命题.[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 答案 B 二、填空 题 8.如图所示,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别为 OA 、BC → 值分别为________________. → → → → → 的中点,点 G 在线段 MN 上,且MG=2GN,若OG=xOA+yOB+zOC,则 x,y,z 的

→ → → → → → → → 1 2 1 2 1 2 2 解析 ∵OG=OM+MG= OA+ MN= OA+ (ON-OM)= OA+ ON- OM 2 3 2 3 2 3 3 → → → → → → → 1 2 1 2 1 1 1 1 = OA+ × (OB+OC)- × OA= OA+ OB+ OC 2 3 2 3 2 6 3 3 1 1 1 ∴x,y,z 的值分别为 , , . 6 3 3







答案

1 1 1 , , 6 3 3

9. 设 x, y ? R, 向量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? , 且 a ? c, b // c , 则 a?b ? _ _ _ _ _ _ _

?2 x ? 4 ? 0 ? x ? 2 a ? c, b / / c ? ? ?? ? a ? b ? (3, ?1) ? 10 解析 . ? 2 y ? ?4 ? y ? ?2
答案

10

10.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中, AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则 AC′的 长为________. → =→ → =→ → , 解析 如图,AC′ AB+→ BC+CC′ AB+→ AD+AA′ → |=|AB →+→ → | 所以|AC′|=|AC′ AD+AA′ = → → 2+ AB2+→ AD2+AA′ → → +→ → AB·→ AD+→ AB·AA′ AD·AA′ + = 23.

= 1+4+9+

答案

23

11 .已知 ABCD - A1B1C1D1 为正方体,① ( A1 A1 + A1 D1 + A1 B1 )2 = 3 A1 B1 2 ;② ③向量 AD1 与向量 A1 B 的夹角是 60°; ④正方体 ABCD A1C ·( A1 B1 - A1 A1 )=0; -A1B1C1D1 的体积为| AB · AA1 · AD |.其中正确命题的序号是________. 解析 由 AA1 ⊥ A1 D1 , AA1 ⊥ A1 B1 , A1 D1 ⊥ A1 B1 ⊥ A1 B1 ,得( A1 A + A1 D1 +
2 2 A1 B1 ) =3( A1 B1 ) ,故①正确;②中 A1 B1 - A1 A = AB1 ,由于 AB1⊥A1C,故②

正确;③中 A1B 与 AD1 两异面直线所成角为 60°,但 AD1 与 A1 B 的夹角为 120°, 故③不正确;④中| AB · AA1 · AD |=0.故④也不正确. 答案 ①② 12.如图,空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°, ∠OAB=60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于________.

X → → 解析 设OA=a,OB=b,OC=c. → OA 与 BC 所成的角为 θ ,OA·BC=a(c-b)=a·c-a·b=a·(a+AC)-a·(a → → → 2 2 +AB)=a +a·AC-a -a·AB=24-16 2. → ∴cos θ = → |OA·BC| 24-16 2 3-2 2 = = . → → 8×5 5 |OA|·|BC| → → →

答案

3-2 2 5

三、解答题 13.已知非零向量 e1,e2 不共线,如果 AB =e1+e2, AC =2e1+8e2, AD =3e1 -3 e2,求证:A、B、C、D 共面. 证明 令 λ (e1+e2)+μ (2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 则(λ +2μ +3v)e1+(λ +8μ -3v)e2=0. ?λ +2μ +3v=0, ∵e1,e2 不共线,∴? ?λ +8μ -3v=0.

?λ =-5, 易知?μ =1, ?v=1,

是其中一组解,

则-5 AB + AC + AD =0.∴A、B、C、D 共面. 14.如右图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心, (1)试证 A1、G、C 三点共线; (2)试证 A1C⊥平面 BC1D; (3)求点 C 到平面 BC1D 的距离. → 解析 (1)证明 → → → → → →

CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,

→ → → → → → → 1 1 可以证明:CG= (CB+CD+CC1)= CA1,∴CG∥CA1即 A1、G、C 三点共线. 3 3 (2)证明 → → 设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a, →

且 a·b=b·c=c·a=0, → → → → → 因此|CG|= →
2





→ → → →

∵CA1=a+b+c,BC1=c-a,∴CA1·BC1=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0, ∴CA1⊥BC1,即 CA1⊥BC1,同理可证:CA1⊥BD,因此 A1C⊥平面 BC1D. (3) ∵CA1=a+b+c,∴CA1 =a +b +c =3a ,即|CA1|= 3a, 3 3 a.即 C 到平面 BC1D 的距离为 a. 3 3
2 2 2 2

15. 把边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角, 点 E、 F 分别是 AD、 BC 的中点,点 O 是原正方形的中心,求: (1)EF 的长; (2)折起后∠EOF 的大小. 2 解析 如图,以 O 点为原点建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,- a,0) , 2

B( F(

2 2 2 2 2 a,0,0) ,C(0, a,0) ,D(0,0, a) ,E(0,- a, a) , 2 2 2 4 4 2 2 a, a,0). 4 4

? 2 ? ? 2 3 2 ? ? 2 ? 3 (1)|→ EF|2=? a-0?2+? a+ a?2+?0- a?2= a 2,∴|EF|= a. 2 4 ? ? 4 ? 4 ?4 ? ?4 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 (2)→ OE=?0,- a, a?,→ OF=? a, a,0?, 4 4 ? 4 ? ?4 ? ? 2 2 a2 2 ? ? 2 ? → OE·→ OF=0× a+?- a?×? a?+ a×0=- , 4 8 ? 4 ? ?4 ? 4 → a → a OE·→ OF 1 → → → |OE|= ,|OF|= , cos〈OE,OF〉= =- , 2 2 2 |→ OE||→ OF| ∴∠EOF=120°. 16.如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,F,G

分别是 AB、AD、CD 的中点,计算:

→ → (1)EF·BA; (3)EG 的长; →





(2)EF·DC; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值.

→ → 解析 设AB=a,AC=b,AD=c.则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉 =〈c,a〉=60°, → → → → 1 1 1 (1)EF= BD= c- a,BA=-a,DC=b-c, 2 2 2 → → 1 ? ?1 (2)EF·BA=? c- a?·(-a) 2 ? ?2 1 1 1 = a2- a·c= , 2 2 4

→ → 1 1 1 EF·DC= (c-a)·(b-c)= (b·c-a·b-c2+a·c)=- ; 2 2 4 → → → → 1 1 1 (3)EG=EB+BC+CG= a+b-a+ c- b 2 2 2 1 1 1 =- a+ b+ c, 2 2 2

→ → 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 |EG| = a + b + c - a·b+ b·c- c·a= ,则|EG|= . 4 4 4 2 2 2 2 2 → → → → → → → → 1 1 1 AG·CE 2 (4)AG= b+ c,CE=CA+AE= -b+ a,cos〈AG,CE〉= =- , 2 2 2 → → 3 |AG||CE| 由于异面直线所成角的范围是(0°,90°], 2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 . 3



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