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第一章三角函数复习课(二)



汕头市聿怀中学

2012/2/12

第一章三角函数复习课

任意角与 弧度制: 弧度制: 单位圆

任意角 的三角 函数

三角函数 线;三角 函数的图 象和性质

三角函 数模型 的简单 应用

同角三角 函数的基 本关系式

诱导 公式

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第一章三角函数复习课 1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y

y=cosx
y
1

图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性

1
?

π
2 -1

o

π
2

π

3π 2

2π x

?π ? π

o R

π
2

2 -1

π

3π 2

2π x

R [-1,1] T=2π 奇函数

T=2π

[-1,1]

,2kπ + ]增函数 质 单调性 2 2 π 3π [2kπ + ,2kπ + ]减函数 2 2

[2kπ ?

π

π

偶函数

[2kπ ? π ,2kπ ]增函数 [2kπ ,2kπ + π ]减函数
2012/2/12

第一章三角函数复习课

π? ? 1、当x ∈ R时,函数y = 3 sin ? 2 x + ?的最大值是 3 , 3? ? π ? ? x | x = + kπ, k ∈Z? 使得函数取得最大值的x的集合是 ? 12 ? ? ;
函数的最小值是 -3 ,使得函数取得最小值的x的集合
5π ? ? x | x = ? + kπ, k ∈Z? 是? 12 ? ?

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第一章三角函数复习课 1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y

?π 4π ? 其 , ∈? , ? 中 x ?6 3 ?

y=cosx
y
1

图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性

1
?

π
2 -1

o

π
2

π

3π 2

2π x

?π ? π

o R

π
2

2 -1

π

3π 2

2π x

R [-1,1] T=2π 奇函数

T=2π

[-1,1]

,2kπ + ]增函数 质 单调性 2 2 π 3π [2kπ + ,2kπ + ]减函数 2 2

[2kπ ?

π

π

偶函数

[2kπ ? π ,2kπ ]增函数 [2kπ ,2kπ + π ]减函数
2012/2/12

第一章三角函数复习课

π? ? π? ? 2、当x ∈ ?0, ?时,函数y = 3 sin ? 2 x + ?的最大值 3? ? 2? ? π π 3 3 是 3 ,此时,x = 12 ; 最小值是 ? 2 , 此时,x = 2 。
y
1-

o

π
3

π
2

π

4π 3



z

-1 -

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第一章三角函数复习课 1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y

y=cosx
y
1

图 象
对称轴 性 对称 质 中心

1
?

π
2 -1

o

π
2

π

3π 2

2π x

?π ? π

o

π
2

2 -1

π

3π 2

2π x

x=

π
2

+ kπ , k ∈ Z

x = kπ , k ∈ Z

(kπ ,0), k ∈ Z

?π ? ? + kπ ,0 ?, k ∈ Z ?2 ?

y = Asin(ωx +?)( A > 0 y = Asin(ωx +?)( A > 0))
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第一章三角函数复习课
?π ? 3、如果函数y = 3 sin (2 x + ? )的图象关于点? ,?对称, 0 ?3 ? 那么? 的最小值为( C ) A. B. C. D. 6 3 2 ? π ?4 解 ∵点 , 是 数 对 中 , : ? 0? 函 的 称 心 ?3 ?

π

π

π

π

? π ? ? 2π ? ∴ sin?2× +?? = 0 即 ? +?? = 0 3 sin ? 3 ? ? 3 ? 2π ∴ +? = kπ, k ∈Z 3 2π π ∴? = ? + kπ,∴? 的 小 是 最 值 3 3

2012/2/12

第一章三角函数复习课

4、已知函数f ( x ) = sin (ωx + ? ), (0 < ω < 1,0 ≤ ? ≤ π ) ? 3π ? 是R上的偶函数,其图象关于点M ? ,0 ?对称, ? 4 ? 求函数解析式。 x = 0是函数f ( x )的

一条对称轴!!

2012/2/12

第一章三角函数复习课

2、函数 函数
第一种变换: 第一种变换

y = A sin(ωx + ? )的图象 的图象(A>0,
图象向左( 图象向左 ? 向右( 向右 ?

ω

>0 )

y = sin x

>0

)或

<

0 ) 平移|

?

| 个单位

y = sin( x + ? )
1


横坐标伸长( 0 < ω < 1 )或缩短 ω 或缩短( 横坐标伸长 或缩短 纵坐标不变

到原来的 > 1 )到原来的 ω

y = sin(ωx + ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短 0<A<1 )到原来的 倍 或缩短( 到原来的A倍 纵坐标伸长 或缩短 到原来的 横坐标不变

y = A sin(ωx + ? )

2012/2/12

第一章三角函数复习课

2、函数 函数
第二种变换: 第二种变换

y = A sin(ωx + ? )的图象 的图象(A>0,
横坐标伸长( 横坐标伸长 0 < ω 图象向左( 图象向左 ? 向右( 向右 ?

ω
1

>0 )

y = sin x

< 1 )或缩短 ω > 1 )到原来的 ω 倍 y = sin ωx 或缩短( 或缩短 到原来的

纵坐标不变 >0 )或

< 0 ) 平移 | ? | 个单位
ω

y = sin(ωx + ? )
y = A sin(ωx + ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短 0<A<1 )到原来的 倍 或缩短( 到原来的A倍 纵坐标伸长 或缩短 到原来的 横坐标不变

2012/2/12

第一章三角函数复习课

π? ? 5、要得到函数y = sin ? 2 x ? ?的图象,只要将 4? π ? 函数y = sin 2 x的图象向 右 平移 8 个单位。

π? ? 6、要得到函数y = cos? 2 x ? ?的图象,只要将 4? ? π π? ? 函数y = sin ? 2 x ? ?的图象向 左 平移 4 个单位。 4? ?
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第一章三角函数复习课

π? ? 7、将y = sin ? x + ?的图象上每一个点的横坐标 3? ? 1 缩短为原来 倍,得到哪个函数的图象? 2 π? ?
y = sin?2x + ? 3? ?

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第一章三角函数复习课
π? ? 8、已知函数f (x ) = A sin (ωx + ? )? A > 0, ω > 0, ? < ?,在同 2? ? 7π π 一个周期中,当x = 时,y最大 = 3,当x = 时,y最小 = ?3, 12 12 (1)求函数f (x )的解析式。

1 7π π π 3+ (?3) 解 依 意 A= : 题 , = 3, 2 T = 12 ?12 = 2 , 2 ∴ =π ∴ω = 2π = 2 T
?π ? ? π ? 又∵函 经 点 , ∴3 = 3sin?2× +?? 数 过 ? 3? ?12 ? ? 12 ?

T ∴ 数 解 式 f ( x) = 3sin(2x +?) 函 的 析 为
π π

∴ +? = + 2kπ, k ∈Z ∴? = + 2kπ, k ∈Z 6 2 3 ? π π ∴ 数 解 式 f ( x) = 3sin?2x + π ? 函 的 析 为 ? ∵? < ,∴? = 3? 2 3 ?

π

?π ? ∴sin? +?? =1 ?6 ?

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第一章三角函数复习课

(2)用五点法做出这个函数的图象
π? ? 解:由( )可知,函数的解析式是y = 3 sin ? 2 x + ? 1 3? ? (1)列表 π π π ? 6 12 3

x

2x +

π

π? ? 3 sin ? 2 x + ? 3? ?

3

0
0

π

2

π

7π 12 3π 2

5π 6



3
5π ,( ,0) 6

0
y 3

?3

0
y=3sin(2x+ 3 )
π

(2) 描点:
(? ,0) , 6

π

7π ( ,3) , ( ,0 ) , ( ,?3) 12 12 3

π

π

(3)连线: (4)根据周期性将作出的简图左右 扩展。

?

π
6

o

π
12

π
3

7π 12

5π 6

x

-3

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第一章三角函数复习课

小结
? 正余弦函数的图象与性质(值域、 周期性、单调性、对称性等); ? 图象的变换; ? 五点法画三角函数的图象。

2012/2/12

作业: 作业:
好好复习,严肃对待,考出精彩,活得自在~ 好好复习,严肃对待,考出精彩,活得自在~

2012/2/12



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