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湖南省长沙市雅礼中学2015届高三5月一模 数学(理)



2015 年雅礼中学高三数学第一次模拟考试
时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 A. 1 B.

1 的值为( B ) z

r />2 1 C. D. 2 2 2 2. 命题“存在 x ? 2 ,使 x 2 ? 4 ”的否定是(A ) A. 对任意 x ? 2 ,都有 x 2 ? 4 B. 对 x ? 2 ,都有 x 2 ? 4 C. 存在 x ? 2 ,使 x 2 ? 4 D. 存在 x ? 2 ,使 x 2 ? 4 3. 设随机变量 ? ~ N ? ? , ? 2 ?,且P ?? ? ?1? =P ?? ? 2 ? =0.3 ,则 P ?? ? 2 ? ? 1? = ( D )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7

?y ? x ? 4.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是( B ) ?x ? a ?
A.

3 4

B.

1 4

C.

2 11

D.4 )

5. 双曲线 A.
2

a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个顶点到一条渐近线的距离为 , 则双曲线的离心率为 ( D 2 a b 2
B.
3

C.

3 2 2

D.

2 3 3

6. 五个人坐成一排,甲要和乙坐在一起,乙不和丙坐在一起, 则不同排法数为( C ) A.12 B.24 C.36 D.48

7. 如图所示的程序框图运行结束后,输出的集合中包含的元素个 数为( A ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a2013 ? a2015 ?

a2014 ? a2012 ? 2a2014 ? a2016 ? 的值为( C

?

2

0

4 ? x 2 dx ,则

)

A. ? B. 2? C. ? 2 D. 4? 2 9. 某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能 是( C) ...

正视图

第 1 页 共 7 页

A

B

C

D

? x ?1 ,x ? 0 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? e x ? a 的零点个数不可能是(D) ? ? f ( x ? 1), x ? 0
A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选做题:在 11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分. 11.如图,圆 A 与圆 B 交于 C、D 两点,圆心 B 在圆 A 上,DE 为圆 B 的直径。已知 CE ? 1, DE ? 4 ,则圆 A 的半径为 4 。 12.极坐标系下,P 为曲线 2r sin( q ?

p ) ? a( a ? 0) 上的动点, 4

Q 为曲线r ? 2sinq 上的动点,若线段 PQ 长度的最小值为 2 ? 1 ,则 a 的值为 3 。 13.关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? m ? 1 ? 0 的解集非空,则实数 m 的取值范围是 (?2,0) . (二)必做题(14~16 题) 14. 如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 4 ,

CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是 4 .
15.某商品一直打 7 折出售,利润率为 47% ,购物节期间,该商品恢复了原价,并参加了“买一件送 同样一件”的活动,则此时的利润率为 5% .(注:利润率=(销售价格-成本) ? 成本)

ABC 中, AB ? AC , D 为 AC 中点, BD ? 1 ,则 D ABC 面积的最大值为 16. 等腰 D
【解析】 cos A ?

2 。 3

5 1 1 5 1 1 5 1 20 256 2 ? 2 , S ? b 2 1 ? ( ? 2 ) 2 ? t 2 ? ( t ? 1) 2 ? ? 9(t ? ) 2 ? ? 4 b 2 4 b 2 4 8 9 9 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图像的一部分。 (1) 求出 A, ? , ? 的值; (2) 当 x ? (0, ) 时,求不等式 f ( x ? 【解析】 (1) A ? 2, ? ? 2, ? ?

?
2

)

π 2

?
3

π x π ) ? f 2 ( ? ) ? 2 的解集。 6 2 6

第 2 页 共 7 页

(2)由 2sin 2 x ? 4sin 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 0 ? sin(2 x ? 由 x ? (0, ) 得 2 x ? 18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人对弈棋局,甲胜、乙胜、和棋的概率都是

?
4

)?0

π 2

?

? 5π ? ? 3? ? ( , ) ,? ? 2 x ? ? ? ? x ? (0, ) . 4 4 4 4 4 8
1 ,规定有一方累计 2 胜或者累计 2 和时, 3

棋局结束。棋局结束时,若是累计两和的情形,则宣布甲乙都获得冠军;若一方累计 2 胜,则宣布 该方获得冠军,另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为 X. (1)设事件 A: “X=3 且甲获得冠军” ,求 A 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望。 【解析】 (1)设 A1 :甲恰胜 2 局; A2 :和 2 局;

1 2 1 1 8 1 1 2 ? ) ? ? (C 2 ? ? ) ? ? 3 3 3 3 3 3 27 1 1 1 4 1 1 2 (2) P ( X ? 2) ? 3 ? ( ) 2 ? ; P ( X ? 3) ? 3 ? [(C 2 ? ? ) ? ] ? ; 3 3 3 3 3 9 1 2 3 P( X ? 4) ? A3 ? ( ) 3 ? 3 9
则 P ( A) ? P ( A1 ? A2 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? (C 2 ?
1

分布列为:

2 3 4 1 P 3 9 1 4 2 26 数学期望: EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 3 9 9 9

X

4 2 9

19.(本小题满分 12 分) ? A1 中, BB1 // CC1 // AA1 ,且 AB ? 3 ,且 BC ? 4 , AA1? 分别 如图 1,在边长为 12 的正方形 AA?A1 交 BB1 , CC1 于点 P, Q ,将该正方形沿 BB1 , 棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,在图 2 中: (1)求证: AB ? PQ ; (2)在底边 AC 上有一点 M ,使得 BM // 平面 B1 C1 B1

CC1 折叠,使得 A?A1? 与 AA1 重合,构成图 2 所示的三
A1 A1 ′ A1 C1 Q P B C A′ A B
M (图 2)

Q P A

APQ ,求点 M 到平面 PAQ 的距离.

C

(图 1)

【解析】 (1)由 BB1 ? 平面 ABC 得 BB1 ? AB ;由勾股定理得

AB ? BC ,从而证得 AB ? 平面 BCC1 B1 ,从而 AB ? PQ (2)如图建系,由条件得 BP ? 3, CQ ? 7 ,可求得平面 APQ 的
一个法向量为 n ? (1,?1,1) 。设 AM ? λ AC ,则
第 3 页 共 7 页

BM ? BA ? AM ? (3 ? 3 λ,4 λ,0) ,由题意有 BM ? n ? 0 ,
解得 λ ?

AM ? n 3 ? 3. ,则 d ? 7 n

第 4 页 共 7 页

20. (本小题满分 13 分) 如图, 抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 与椭圆 C 2 :
2

y2 x2 ? ? 1(a ? 2) 交于第一象限内一点 M ,F a2 4

为抛物线 C1 的焦点, F1 , F2 分别为椭圆 C 2 的上下 焦点,已知 MF ? OF ? 1, MF ? OF ? 10 。 (1)求抛物线 C1 和椭圆 C 2 的方程; (2)是否存在经过 M 的直线 l ,与抛物线和椭圆分别交于 非 M 的两点 P, Q ,使得 F1 P ? F2 Q ? 2OM ?若存在 请求出直线的斜率,若不存在,请说明理由。

?? p? p ?? x M ? 2 ? ? 2 ? 1 【解析】 ( 1 )由题意得 ?? ? x M ? 1, y M ? 3 ,分别代入抛物线和椭圆方程得: ? ? x 2 ? y 2 ? 10 M ? M

y2 x2 ? ?1. C1 : y ? 9 x , C 2 : 12 4
2

(2)斜率不存在时显然不合题意,由 M (1,3) 可设 l : y ? k ( x ? 1) ? 3 , 直线与抛物线联立得: k x ? (?2k ? 6k ? 9) x ? (3 ? k ) ? 0 ,
2 2 2 2

(3 ? k ) 2 ; k2 2 2 2 直线与椭圆联立得: (3 ? k ) x ? 2k (3 ? k ) x ? (k ? 6k ? 3) ? 0 ,
由韦达定理及 x M ? 1 可得 x P ?

k 2 ? 6k ? 3 。 3? k2 3 2 由 F1 P ? F2 Q ? 2OM 可得 x P ? xQ ? 2 x M ? 4k ? k ? 6k ? 9 ? 0
由韦达定理及 x M ? 1 可得 xQ ?

? (k ? 1)(4k 2 ? 3k ? 9) ? 0 ? k ? 1 ,经检验符合题意。
? 存在符合题意的直线,其斜率为 1。

第 5 页 共 7 页

21.数列 {a n } 满足 a1 ? (0,1) , a n ?1 ? ?a n ? a n ? c(n ? N )
*

2

(1)证明:“对任意 a1 ? (0,1) , a n ? (0,1) ”的充要条件是“ c ? [0, ) ” (2)若 a1 ?

3 4

1 1 ,设 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , , c ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? 5 1 ? an

Rn ? b1 ? b2 ? ? bn ,若对任意的 n ? 10, n ? N * ,不等式 kn ? n 2 (5Rn ? Tn ) ? 2015 的解集非空,
求满足条件的实数 k 的最小值。 【解析】 (1)必要性: a 2 ? ?(a1 ? ) 2 ? c ?

1 2

1 1 ,由 a1 ? (0,1) 可得 a 2 ? (c, c ? ] ,由 4 4

1 3 (c, c ? ] ? (0,1) 得 c ? [0, ) 。 4 4
充分性:用数学归纳法证明。

1 1 3 n ? 1,已知;n ? 2 时, a 2 ? ?(a1 ? ) 2 ? c ? ,由 a1 ? (0,1) , c ? [0, ) ,得 a 2 ? (0,1) ; 2 4 4 设 n ? k 时, a k ? (0,1) 1 1 3 则当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? ?(a k ? ) 2 ? c ? ,由 a k ? (0,1) , c ? [0, ) ,得 a k ?1 ? (0,1) ; 2 4 4 * 从而,对任意 n ? N , a n ? (0,1) 。
综上,原题充要性得证。 (2)由(1)知 a n ? (0,1) ,所以:

bn ?
bn ?

an a a a 1 1 ? ? n ? Rn ? 1 ? ? ? n ? ; 2 1 ? an an ? an a n ?1 a2 a n ?1 5a n ?1
2

an a a a ? a n ?1 1 1 1 ? ? n ? n ? n ? ?( ? ) 2 1 ? an an ? an a n ?1 a n a n ?1 a n a n ?1 a n a n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ?[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ?5 a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 a n ?1 ? 5Rn ? Tn ? 5 , 2015 * 对任意 n ? 10, n ? N 有解, ? kn ? n 2 (5Rn ? Tn ) ? 2015 ? k ? 5n ? n 2015 3 2015 20 3 当 n ? 20 , 5n ? ? 200 ;当 n ? 21 , 5n ? ? 200 ? 200 n 4 n 21 4 ? k min ? 200.75

第 6 页 共 7 页

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ax ,其中 a ? R .
2

(1)当 a ? 1 时,求函数的单调增区间。 (2) l 为 f ( x) 在 x ? x 0 处的切线,且 f ( x) 图像上的点都不在 l 的上方,求 x 0 的取值范围。 【解析】 (1)定义域为 x x ? 0, x ? R ,当 x ? 0 ? f ?( x) ?

?

?

1 ? 2 x ? 1 ;当 x ? 0 ? x

f ?( x) ?

1 2x 2 ? x ?1 1 1 ? 0 ? x1 ? ? , x2 ? 1 , ? 2 x ? 1 。故 f ?( x) ? ? 2 x ? 1 ? ? x x 2 x
1 2

从而 f ( x) 的单调递增区间为 (??,? ), (0,1) . (2) f ?( x) ?

? 2 x 2 ? ax ? 1 , l : y ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ) ? f ( x 0 ) x

令 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ,由题意, g ( x) ? 0 恒成立。

2( x ? x0 )( x ? g ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? ? x

1 ) 2 x0
1 ) 2 x0

x0 ? 0 时:若 x ? 0 ,则 g ( x) max ? g ( x0 ) ,若 x ? 0 ,则 g ( x) max ? g (? x0 ? 0 时:若 x ? 0 ,则 g ( x) max ? g (?

1 ) ,若 x ? 0 ,则 g ( x) max ? g ( x0 ) 2 x0

综上,原条件等价于 g ( x 0 ) ? 0 且 g (?

1 ) ? 0 ,易得 g ( x0 ) ? 0 符合题意。 2 x0

故 g (?

1 1 1 2 2 ) ? 0 ? ln(2 x0 ) ? x0 ? ? 0 。令 t ? x0 2 ? ln(2t ) ? t ? ? 0 2 2 x0 4t 4 x0
1 (2t ? 1) 2 1 ? h?(t ) ? ? 0 ? h(t ) ? ,又 h( ) ? 0 2 4t 2 4t

设 h(t ) ? ln(2t ) ? t ?

1 1 2 2 ? h(t ) ? 0 ? g ( ) ? t ? ? x0 ? (??,? ]?[ ,??) 2 2 2 2
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