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贵州省遵义市航天高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)



贵州省遵义市航天高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案填写在答题卡上. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣3≤x<4},B={x|﹣2≤x≤5},则 A∩B=() A.{x|﹣3≤x≤5} B.{x|﹣2≤x<

4} C.{x|﹣2≤x≤5} D.{x|﹣3≤x<4} 2. (5 分)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,那么可得这个 几何体的体积是()

A. cm

3

B. cm

3

C. cm

3

D. cm

3

3. (5 分)函数



的值为()

A.

B.
2

C.

D.18

4. (5 分)如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 取值范围 是() A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C . a≤ 5 D.a≥5 5. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 和为() A. B. C. D. 的前 100 项

6. (5 分)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x +y =1 相切于第一象限的直线方程是() A. B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.

2

2

7. (5 分)已知两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线 m、n,则下列四个命题中,假命题 是() A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B. 若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C. m⊥α,m∥n,n?β 则 α⊥β D.m∥α,α∩β=n,则 m∥n 8. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为()

A.10

B.15

C.21

D.28

9. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数且 a4a7+a5a6=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 10. (5 分)函数 y=lgx﹣ 的零点所在的大致区间是() A.(6,7) B.(7,8)
0.7 0.9 0.48

C.(8,9)
﹣1.5

D.(9,10)

11. (5 分)设 a=log2 ,b=4 ,c=8 ,d=0.5 ,则有() A.a<b<c<d B.a<c<d<b C.b<a<c<d

D.b<d<a<c

12. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值

是最大值为 12,则 A.

的最小值为() B. C. D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

13. (5 分)函数

的定义域是.

14. (5 分)设向量



,且

,则 cos2θ=.

15. (5 分)如图的矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分 的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为.

16. (5 分)已知函数

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的

实根,则数 k 的取值范围是.

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.请将解答写在答题卡指定位置. 2 2 2 17. (10 分)在△ ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 b +c ﹣a =bc. (1)求角 A 的大小; (2)设函数 时,若 ,求 b 的值.

18. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1, D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

19. (12 分)为了了解初三学生女生身高情况,某中学对初三女生身高进行了一次测量,所得 数据整理后列出了频率分布表如下:

组别 频数 频率 145.5~149.5 1 0.02 149.5~153.5 4 0.08 153.5~157.5 20 0.40 157.5~161.5 15 0.30 161.5~165.5 8 0.16 165.5~169.5 m n 合计 M N (1)求出表中 m,n,M,N 所表示的数分别是多少?画出频率分布直方图; (2)全体初三女生的平均身高是多少?初三女生身高的中位数是多少? (3)从身高为 161.5 以上选取 2 人,求她们在同一身高段的概率. 20. (12 分) 已知等差数列{an}的公差大于 0, 且 a3, a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根, 数列{bn} 的前 n 项的和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 21. (12 分)函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 . .
2

(1)确定函数的解析式; (2)证明函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0. 22. (12 分)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.PA=1,AD=2. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B﹣PC﹣A 的正切值.

贵州省遵义市航天高中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案填写在答题卡上. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣3≤x<4},B={x|﹣2≤x≤5},则 A∩B=() A.{x|﹣3≤x≤5} B.{x|﹣2≤x<4} C.{x|﹣2≤x≤5} D.{x|﹣3≤x<4} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 题设中两个集合已经是最简,故由集合的交集的定义直接求出它们的公共部分,得 到交集 解答: 解:∵集合 A={x|﹣3≤x<4},集合 B={ x|﹣2≤x≤5}, ∴A∩B={|﹣2≤x<4} 故选 B. 点评: 本题考查交集及其运算,解答本题关键是理解交集的定义,由定义进行运算求出交 集. 2. (5 分)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,那么可得这个 几何体的体积是()

A. cm

3

B. cm

3

C. cm

3

D. cm

3

考点: 专题: 分析: 计算. . 解答: 2.

由三视图求面积、体积. 计算题. 由三视图判断几何体为三棱锥,求出三棱锥的高与底面面积,代入棱锥的体积公式 解:由三视图判断几何体为三棱锥,且三棱锥的高为 2,底面三角形底边长和高都为

∴棱锥的体积 V= × ×2×2×2= (cm) . 故选 C. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所 对应的几何量.

3. (5 分)函数



的值为()

A.

B.

C.

D.18

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 值. 解答: 解:∵ ∴f(3)=3 ﹣3﹣3=3, ∴ =f( )=1﹣( ) = ,
2 2

,由 f(3)=3 ﹣3﹣3=3,能求出

2





故选 C. 点评: 本题考查分段函数的函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4. (5 分)如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 取值范围 是() A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C . a≤ 5 D.a≥5 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知对 称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果. 解答: 解:∵f(x)=x +2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1) +2﹣(a﹣1)2 其对称轴为:x=1﹣a 2 ∵函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数 ∴1﹣a≥4 ∴a≤﹣3 故选 A 点评: 本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向, 这是研究二次函数单调性和最值的关键. 5. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 和为() A. B. C. D. 的前 100 项
2 2 2

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求 a1,d,进而可求 an,代入可得 = = ,裂项可求和

解答: 解:设等差数列的公差为 d 由题意可得, 解方程可得,d=1,a1=1 由等差数列的通项公式可得,an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n ∴ = =

=1﹣

=

故选 A 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方 法的应用,属于基础试题 6. (5 分)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x +y =1 相切于第一象限的直线方程是() A. B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.
2 2

考点: 圆的切线方程;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设所求的直线为 l,根据直线 l 垂直于 y=x+1,设 l 方程为 y=﹣x+b,即 x+y+b=0.根 2 2 据直线 l 与圆 x +y =1 相切,得圆心 0 到直线 l 的距离等于 1,由点到直线的距离公式建立关 于 b 的方程,解之可得 b=± ,最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程. 解答: 解:设所求的直线为 l, ∵直线 l 垂直于直线 y=x+1,可得直线 l 的斜率为 k=﹣1 ∴设直线 l 方程为 y=﹣x+b,即 x+y﹣b=0 2 2 ∵直线 l 与圆 x +y =1 相切, ∴圆心到直线的距离 d= 当 b=﹣ 当 b= ,解之得 b=± ,﹣ ) ,切点在第三象限;

时,可得切点坐标(﹣ 时,可得切点坐标(
2 2



) ,切点在第一象限;

∵直线 l 与圆 x +y =1 的切点在第一象限, ∴b=﹣ 不符合题意,可得 b= ,直线方程为 x+y﹣ 故选:A

=0

点评: 本题给出直线 l 垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限,求直线 l 的方程.着重 考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题. 7. (5 分)已知两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线 m、n,则下列四个命题中,假命题 是() A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B. 若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C. m⊥α,m∥n,n?β 则 α⊥β D.m∥α,α∩β=n,则 m∥n 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 证明题. 分析: 根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义,得到 A 项正确;根据直线 与平面垂直的定义,结合平面与平面平行的判定定理,得到 B 项正确;根据直线与平面垂直 的性质定理和平面与平面垂直的判定定理,得到 C 项正确;根据直线与平面平行的性质定理 的大前提,可得 D 项是错误的.由此可得正确答案. 解答: 解:对于 A,∵m⊥α, ∴直线 m 与平面 α 所成角为 90°, ∵m∥n, ∴n 与平面 α 所成角,等于 m 与平面 α 所成角, ∴n 与平面 α 所成的角也是 90°, 即“n⊥α”成立,故 A 正确; 对于 B,若 m⊥α,m⊥β,则经过 m 作平面 γ, 设 γ∩α=a,γ∩β=b ∵a?α,b?β ∴在平面 γ 内,m⊥a 且 m⊥b 可得 a、b 是平行直线 ∵a?β,b?β,a∥b ∴a∥β 经过 m 再作平面 θ,设 θ∩α=c,θ∩β=d 用同样的方法可以证出 c∥β ∵a、c 是平面 α 内的相交直线 ∴α∥β,故 B 正确; 对于 C,∵m⊥α,m∥n, ∴n⊥α, 又∵n?β ∴α⊥β,故 C 正确; 对于 D,m∥α,α∩β=n, 当直线 m 在平面 β 内时,m∥n 成立 但题设中没有 m?β 这一条,故 D 不正确. 故选 D 点评: 本题以命题判断真假为例,着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定定理和性质 定理,以及平面与平面的平行、垂直的判定定理等知识点,属于基础题. 8. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为()

A.10

B.15

C.21

D.28

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由程序框图的流程依次计算运行的结果,直到满足 n>5,运行终止,计算输出 S 的 值. 解答: 解:由程序框图知,第一次运行 n=1,S=0+1; 第二次运行 n=2,S=0+1+2; 第三次运行 n=3,S=0+1+2+3; 第四次运行 n=4,S=0+1+2+3+4; 第五次运行 n=5,S=0+1+2+3+4+5; 第六次运行 n=6,S=0+1+2+3+4+5+6,满足 n>5,运行终止,输出 S=0+1+2+3+4+5+6=21. 故选 C. 点评: 本题是循环结构的程序框图,根据框图的运行流程判断程序框图的功能及终止程序 运行的 n 值是解答本题的关键. 9. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数且 a4a7+a5a6=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 考点: 等比数列的通项公式;对数的运算性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a4a7+a5a6=18,利用等比数列的性质可得:a4a7=a5a6=9=an?a11﹣n,再利用对数的运 算法则即可得出. 解答: 解:∵a4a7+a5a6=18,由等比数列的性质可得:a4a7=a5a6=9=an?a11﹣n(n∈N ,n≤10) , ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2?…a10)= =10.
*

故选:B. 点评: 本题考查了等比数列的性质、对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题.

10. (5 分)函数 y=lgx﹣ 的零点所在的大致区间是() A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 由于函数 y=f(x)=lgx﹣ 在(0,+∞)上是增函数,f(9)<0,f(10)>0,由此 得出结论. 解答: 解:由于函数 y=f(x)=lgx﹣ 在(0,+∞)上是增函数, f(9)=lg9﹣1<0,f(10)=1﹣ = >0,f(9)?f(10)<0,

故函数 y=lgx﹣ 的零点所在的大致区间是(9,10) , 故选 D. 点评: 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题. 11. (5 分)设 a=log2 ,b=4 ,c=8 ,d=0.5 ,则有() A.a<b<c<d B.a<c<d<b C.b<a<c<d
0.7 0.9 0.48
﹣1.5

D.b<d<a<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的图象和性质可得 a<0,但 b,c,c 均大于 0,结合指数的运算性质, 将三者都化为以 2 为底后,结合指数函数的单调性,可得答案. 解答: 解:∵a=log20.7∈(﹣∞,0) , 0.9 1.8 b=4 =2 , 0.48 1.44 c=8 =2 , ﹣1.5 1.5 d=0.5 =2 , x ∵y=2 为增函数,且 1.44<1.5<1.8, 故 a<c<d<b, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是数的大小比较,指数函数和对数函数的单调性,其中熟练掌握 指数函数和对数函数的图象和性质是解答的关键.

12. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值

是最大值为 12,则 A.

的最小值为() B. C. D.4

考点: 基本不等式;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 已知 2a+3b=6,求

的最小值,可以作出不等式的平面区域,先用乘积进而用基本

不等式解答. 解答: 解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 故选 A. = ,

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. (5 分)函数 的定义域是( ,1) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 根据题意列出方程组 解此不等式组求得 x 的范围,即为所求.

解答: 解:要使函数有意义,则

解得:﹣ <x<1 故函数的定义域为(﹣ ,1) , 故答案为 ( ,1) .

点评: 本题考查函数的定义域的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

14. (5 分)设向量



,且

,则 cos2θ= .

考点: 二倍角的余弦;平行向量与共线向量. 专题: 计算题. 2 分析: 由两向量的坐标,及两向量平行时满足的关系列出关系式,求出 sin θ 的值,将所求 2 式子利用二倍角的余弦函数公式化简后,把 sin θ 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵ =(1,sinθ) , =(3sinθ,1) ,且 ∥ , ∴3sin θ=1,即 sin θ= , 则 cos2θ=1﹣2sin θ=1﹣2× = . 故答案为: 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及平面向量的数量积运算法则,熟练掌握公 式及法则是解本题的关键. 15. (5 分)如图的矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分 的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为 .
2 2 2

考点: 几何概型. 专题: 应用题. 分析: 先由黄豆试验估计,黄豆落在阴影部分的概率,再转化为几何概型的面积类型求解. 解答: 解:根据题意:黄豆落在阴影部分的概率是 矩形的面积为 10,设阴影部分的面积为 s 则有 ∴s= 故答案为: 点评: 本题主要考查实验法求概率以及几何概型中面积类型,将两者建立关系,引入方程 思想.

16. (5 分)已知函数

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的

实根,则数 k 的取值范围是(0,1) . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要求程 f(x)=k 有两个不同的实根是数 k 的取值范围,根据方程的根与对应函数零 点的关系,我们可以转化为求函数 y=f(x)与函数 y=k 交点的个数,我们画出函数

的图象,数形结合即可求出答案.

解答: 解:函数

的图象如下图所示:

由函数图象可得当 k∈(0,1)时 方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 故答案为: (0,1)

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中根据方程的根与对应函数零 点的关系,将方程问题转化为函数问题是解答的关键. 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.请将解答写在答题卡指定位置. 2 2 2 17. (10 分)在△ ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 b +c ﹣a =bc. (1)求角 A 的大小; (2)设函数 时,若 ,求 b 的值.

考点: 余弦定理的应用;正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (I)利用三角形的余弦定理求出 cosA,根据 A 的范围,求得 A 的值.

(Ⅱ) 利用二倍角公式及两角和的正弦公式,化简 f(x) 为 求得 ,

,由

再根据 B 的范围,求得 B 的值,再由正弦定理求得 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由余弦定理知 注意到在△ ABC 中,0<A<π,所以 (Ⅱ) 由 注意到 ,得 ,所以 , ,由正弦定理, , 为所求. , ,

所以 为所求. 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的应用,二倍角公式,已知三角函数值求角的大小, 化简 f(x) 为 ,是解题的关键.

18. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1, D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ) 由题意易证 DC1⊥平面 BDC, 再由面面垂直的判定定理即可证得平面 BDC1⊥ 平面 BDC; (Ⅱ) 设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1, AC=1, 易求 V1= × 的体积 V=1,于是可得(V﹣V1) :V1=1:1,从而可得答案. ×1×1= , 三棱柱 ABC﹣A1B1C1

解答: 证明: (1)由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面 ACC1A1,又 DC1?平面 ACC1A1, ∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, ∴∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC,又 DC∩BC=C, ∴DC1⊥平面 BDC,又 DC1?平面 BDC1, ∴平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 V1= × ×1×1= ,

又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1, ∴(V﹣V1) :V1=1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1:1. 点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱 锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题. 19. (12 分)为了了解初三学生女生身高情况,某中学对初三女生身高进行了一次测量,所得 数据整理后列出了频率分布表如下: 组别 频数 频率 145.5~149.5 1 0.02 149.5~153.5 4 0.08 153.5~157.5 20 0.40 157.5~161.5 15 0.30 161.5~165.5 8 0.16 165.5~169.5 m n 合计 M N (1)求出表中 m,n,M,N 所表示的数分别是多少?画出频率分布直方图; (2)全体初三女生的平均身高是多少?初三女生身高的中位数是多少? (3)从身高为 161.5 以上选取 2 人,求她们在同一身高段的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布表;频率分布直方图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)由第一组中频率与频数的关系 出每组的纵坐标= ,完成频率分布直方图. 求出 M,进一步得出 m,n,N 即可.计算

(2)根据频率分布直方图,中位数,平均数公式求解. (3)根据表可得在 161.5~165.5 有 8 人,165.5~169.5 有 2 人,利用排列组合求出个数,再 运用概率公式求解. 解答: 解: (1)∵M= =50,m=50﹣(1+4+20+15+8)=2,N=1,n= = =0.04.

∴M=50,m=2,N=1,n=0.04. 作出直角坐标系,组距为 4,纵轴表示频率/组距,横轴表示身高,画出直方图如下图.

(2) 根据频率分布直方图, 知由图知: 前两个矩形的面积为 (0.005+0.02) ×4=0.1, 0.5﹣0.1=0.4, ×4≈3.6, ∴中位数为 153.5+3.6=157.1. 平均数=147.5×0.02+151.5×0.08+155.5×0.44+159.5×0.26+163.5×0.16+167.5×0.04=157.98. (3)在 161.5~165.5 有 8 人,165.5~169.5 有 2 人 设从身高为 161.5 以上选取 2 人,她们在同一身高段的事件为 D. P(D)= =

从身高为 161.5 以上选取 2 人,她们在同一身高段的概率为



点评: 本题主要考查频率分布直方图和表,还考查同学们通过已知数据作出频数直方图、 表的能力.属于基础题. 20. (12 分) 已知等差数列{an}的公差大于 0, 且 a3, a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根, 数列{bn} 的前 n 项的和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;转化思想. .
2

分析: (Ⅰ)由已知可得,

且 a5>a3,联立方程解得 a5,a3,进一步求出数

列{an}通项,数列{bn}中,利用递推公式 (Ⅱ)用错位相减求数列{cn}的前 n 和 2 解答: 解: (Ⅰ)∵a3,a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根,且数列{an}的公差 d>0, ∴a3=5,a5=9,公差 .

∴an=a5+(n﹣5)d=2n﹣1. (3 分) 又当 n=1 时,有 ∴



,∴



∴数列{bn}是首项 ∴

,公比 . (6 分)

等比数列,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,则

(1)



=

(2) (10 分)

(1)﹣(2)得:

=

化简得:

(12 分)

点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式的求解,利用递推公式求通项,体现了数学中 的转化思想;一般的,若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求数列{an?bn}的前 n 和可采 用错位相减法. 21. (12 分)函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 .

(1)确定函数的解析式; (2)证明函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数;

(3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据奇函数性质有 f(0)=0,可求出 b,由 可求得 a 值.

(2)根据函数单调性的定义即可证明; (3) 根据函数的奇偶性、 单调性可去掉不等式中的符号“f”, 再考虑到定义域可得一不等式组, 解出即可. 解答: 解: (1)因为 f(x)为(﹣1,1)上的奇函数,所以 f(0)=0,即 b=0.

又 f( )= ,所以

= ,解得 a=1.

所以 f(x)=



(2)设﹣1<x1<x2<1, 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = ,

因为﹣1<x1<x2<1,所以 x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0, 所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . 所以函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)f(t﹣1)+f(t)<0 可化为 f(t﹣1)<﹣f(t) . 又 f(x)为奇函数,所以 f(t﹣1)<f(﹣t) , f(x)为(﹣1,1)上的增函数,所以 t﹣1<﹣t①,且﹣1<t﹣1<1②,﹣1<t<1③; 联立①②③解得,0<t< . 所以不等式 f(t﹣1)+f(t)<0 的解集为 .

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇 偶性常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理. 22. (12 分)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.PA=1,AD=2. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B﹣PC﹣A 的正切值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (1)由 PC⊥平面 BDE,得到 PC⊥BD,再由 PA⊥平面 ABCD 得到 PA⊥BD,然后 由线面垂直的判断得答案; (2)设 AC 与 BD 交于点 O,连接 OE,可得∠OEB 就是二面角 B﹣PC﹣A 的平面角,然后 利用△ OEB∽△PAC 及解直角三角形求得二面角 B﹣PC﹣A 的正切值. 解答: 解: (1)证明:如图,

∵PC⊥平面 BDE,BD?平面 BDE, ∴PC⊥BD, 又∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴PA⊥BD, 而 PC∩PA=P,PC?平面 PAC,PA?平面 PAC, ∴BD⊥平面 PAC; (2)设 AC 与 BD 交于点 O,连接 OE ∵PC⊥平面 BDE,OE?平面 BDE,BE?平面 BDE, ∴PC⊥OE,PC⊥BE, 于是∠OEB 就是二面角 B﹣PC﹣A 的平面角, 又∵BD⊥平面 PAC,OE?平面 PAC, ∴△OEB 是直角三角形. 由△ OEB∽△PAC,可得 而 AB=AD=2, ∴AC= ,OC= 而 PA=1, ∴PC=3, 于是 ,



,而 OB= .



于是二面角 B﹣PC﹣A 的正切值为

点评: 本题考查了直线与平面垂直的判断,考查了二面角的平面角的找法与求解,解答此 题的关键在于找到二面角的平面角,是中档题.



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