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数列知识点梳理课件



一、数列公式 等差数列 (1) (2) (3) (4) 通项公式:an=a1+(n-1)d. a+b 等差中项:A= 2 通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ).
*

若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N ).
*

例:设等差数列的前 n 项和为

Sn,已知前 6 项和为 36,Sn=324,最后 6 项 的和为 180(n>6),求数列的项数 n. (5) 若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N )是公差 为 md 的等差数列.
*

数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.

S2n-1=(2n-1)an.
若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= (6) 等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 a1 和末项 an, Sn= 则
n(a 1+a n ) 2

nd ;若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项). 2
, 或等差数列{an}的首项是 a1,
n(n?1) 2

公差是 d,则其前 n 项和公式为 Sn= (7)

na1+

d

等差数列的前 n 项和公式与函数的关系

Sn=2n2+(a1(8) B 为常数). 最值问题

d

d

2 )n, 数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An +Bn(A, 2

在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值,若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值. 等比数列 (1)通项 an=a1·q
n-1

.

通项公式的推广:an=am·q

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+

,(n,m∈N ). ),则 ak·al=am·an.


n-m

? (3)若{an}, n}(项数相同)是等比数列, {b 则{λ an}(λ ≠0),

是等比数列. (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 数列,其公比为 q . (5)等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn= 求通项公式方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法:
a 1(1?q n ) 1?q a 1?a n q) 1?q
n

?1? a ?, n2}, n·bn}, n 仍 {a {a bn ?an?

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比



例:已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an.
a (2) n +1=f(n)型,采用叠乘法: an
1

例:a1=1,an=

n-1 a -1(n≥2); n n

(3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列: 例:a1=1,an+1=3an+2; 二、数列中求最值问题 三、数列求和 (1) 公式法:

a1=4,公比 q≠1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 4a1, a5,-2a3 成等差数列.求公比 q 的值;求 Tn=a2+a4+a6+…+a2n 的值.
例:已知数列{an}是首项 (2)倒序相加法 (3)错位相减法:例:已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10.求数列{an}的通项公 式;求数列? n-1?的前 n 项和. ?2 ? (4) 裂项相消法: 在数列{an}中, 1=1, n≥2 时, 例: a 当 其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?.
2

?

an ?

? ?

1? 2?

求 Sn 的表达式;设 bn=

Sn ,求{b }的前 n 项和 Tn. 2n+1
n

(5)分组转化求和法:例:已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2
n

p+nq(n∈N ,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列.求:p,q 的值;数列{x }前 n 项和 Sn 的公式.
*

n

(6)并项求和法 常用特殊公式: (1) (3) 1 n+ n+1
1 1 1 ? 1 1 1? 1 - = - ; (2) = ? ?; n(n?1) n n+1 (2n?1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1?

= n+1- n

四、数列的综合应用 1.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列. 2. 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为

Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,

a3+b3 成等比数列,求 Tn.
3. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N ,点(n,Sn)均在函数 y=b +r(b>0
*

x

且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值;

2

(2)当 b=2 时,记 bn=

n+1 (n∈N ),求数列{b }的前 n 项和 Tn. 4an
*

n

13 4. 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= . 3 (1)求数列{an}的通项公式; π (2)若函数 f(x)=Asin(2x+φ )(A>0,0<φ <π )在 x= 处取得最大值,且最大值为 6 求函数 f(x)的解析式. 5.在等比数列{an}中,an>0(n∈N ),公比 q∈(0,1),且
*

a3,

a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3

与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (3)是否存在 k∈N , 使得 + +…+ <k 对任意 n∈N 恒成立, 若存在, 求出 k 的最小值, 1 2 n 若不存在,请说明理由. 6. 已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 n+1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n·2 >50 成立的正整数 n 的最小 2 值. 7. 如图,
*

S1 S2

Sn

*

从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=e 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点

x

P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2, 依次重复上述过程得到一系列点: 1, 1; 2, 2; P Q P Q …; Pn,Qn.记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).
(1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.0 8. 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个 数的乘积记作 Tn,再令 an=lg Tn,n≥1.
3

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tan an·tan an+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 五、高考动向 3+? -1? n 1.已知数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(-2) +1,bn= 2
n-1

,n∈N ,且

*

a1=2.
(1)求 a2,a3 的值; (2)设 cn=a2n+1-a2n-1,n∈N ,证明{cn}是等比数列;
*

S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设 Sn 为{an}的前 n 项和,证明a +a +…+ +a ≤n-3(n∈N*) a2n-1 2n 1 2 2. 已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N 满足关系式 2Sn=3an
*

-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= 正数 n,总有 Tn<1. 3. 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6.
2

1 ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的 log3an·log3an+1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列? ?的前 n 项和.

?1? ?bn?

4. 已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N ).
*

(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

4



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