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2015年全国各省分类汇编专题04


专题四 三角函数
【2015 高考安徽,文理 2】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( (A) y ? cos x 【答案】A 【解析】选项 A: y ? ln x 的定义域为(0,+∞) ,故 y ? ln x 不具备奇偶性,故 A 错误; 选项 B: y ? x 2 ? 1 是偶函数,但 y ? x 2 ? 1 ? 0 无解,即不存在零点,故 B 错误; 选项 C: y ? sin x 是奇函数,故 C 错; 选项 D: y ? cos x 是偶函数, 且 y ? cos x ? 0 ? x ? (B) y ? sin x (C) y ? ln x (D) y ? x ? 1
2



?
2

? k? , k ? z ,故 D 项正确.

【考点定位】1.函数的奇偶性;2.函数零点的概念. 【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点,考生需要对初高中阶段学习的十几种 初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉;另外,函数零点的几种等价形式:函数

y ? f ( x) ? g ( x) 有零点 ? 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x 轴有交点 ? 方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有根 ? 函数

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有交点.
【2015 高考福建,理 2】下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D 【解析】函数 y ? ) D. y ? e x ? e? x

x

B. y ? sin x

C. y ? cos x

x 是非奇非偶函数; y ? sin x 和 y ? cos x 是偶函数; y ? ex ? e? x 是奇函数,故选 D.

【考点定位】函数的奇偶性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,除了要掌握奇偶性定义外,还要深刻理解其定义域特征即定义域关 于原点对称,否则即使满足定义,但是不具有奇偶性,属于基础题.

【2015 高考福建,文 6】若 sin ? ? ? A.

12 5

B. ?

12 5

C.

5 12

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( 13 5 D. ? 12



【2015 高考浙江,文 5】函数 f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能为( x?



A.

B.

C.

D. )

【2015 高考广东,文 3】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x ? sin x B. y ? x ? cos x C. y ? 2 x ?
2 2

1 D. y ? x ? sin 2 x 2x


【2015 高考北京,文 3】下列函数中为偶函数的是(

2 2 ?x A. y ? x sin x B. y ? x cos x C. y ? ln x D. y ? 2

【2015 高考福建,文 3】下列函数为奇函数的是( A. y ?

)
x ?x

x

B. y ? e

x

C. y ? cos x D. y ? e ? e

参考答案 【2015 高考福建,文 6】若 sin ? ? ? A.

12 5

B. ?

12 5

C.

5 12

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( 13 5 D. ? 12



【答案】D 【解析】由 sin ? ? ? 故选 D. 【考点定位】同角三角函数基本关系式. 【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式,在 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 三个值之间,知其中的一个 可以求剩余两个,但是要注意判断角 ? 的象限,从而决定正负符号的取舍,属于基础题. 【2015 高考浙江,文 5】函数 f ? x ? ? ? x ?

5 12 sin ? 5 ,且 ? 为第四象限角,则 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,则 tan ? ? ?? , 13 13 cos ? 12

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能为( x?



A. 【答案】D

B.

C.

D.

【解析】 因为 f (? x) ? (? x ? ) cos x ? ?( x ? ) cos x ? ? f ( x) , 故函数是奇函数, 所以排除 A, B; 取x ?? , 则 f (? ) ? (? ?

1 x

1 x

1

?

1 ) cos ? ? ?(? ? ) ? 0 ,故选 D.

?

【考点定位】1.函数的基本性质;2.函数的图象. 【名师点睛】本题主要考查函数的基本性质以及函数的图象.解答本题时要根据给定函数的解析式并根据给 出的图象选项情况确定函数的基本性质,利用排除法确定正确的图象.本题属于容易题.

【2015 高考广东,文 3】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x ? sin x B. y ? x ? cos x C. y ? 2 x ?
2 2



1 D. y ? x ? sin 2 x 2x

【答案】A

【考点定位】函数的奇偶性. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性,属于容易题.解题时一定要判断函数的定义域是否关于原 点对称,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性,即奇函数:定义域关于原点对 称,且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;偶函数:定义域关于原点对称,且 f ? ? x ? ? f ? x ? . 【2015 高考北京,文 3】下列函数中为偶函数的是( )

2 2 ?x A. y ? x sin x B. y ? x cos x C. y ? ln x D. y ? 2

【答案】B 【解析】根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为 (0, ??) 不 具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选 B. 【考点定位】函数的奇偶性. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性,属于容易题.解题时一定要判断函数的定义域是否关于原 点对称,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性,即奇函数:定义域关于原点对 称,且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;偶函数:定义域关于原点对称,且 f ? ? x ? ? f ? x ? .

【2015 高考福建,文 3】下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D 【解析】函数 y ?

)

x

B. y ? e x C. y ? cos x D. y ? e x ? e ? x

x 和 y ? e x 是非奇非偶函数; y ? cos x 是偶函数; y ? e x ? e ? x 是奇函数,故选 D.

【考点定位】函数的奇偶性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,除了要掌握奇偶性定义外,还要深刻理解其定义域特征即定义域关 于原点对称,否则即使满足定义,但是不具有奇偶性,属于基础题.

【2015 高考山东,文理 3】要得到函数 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象( 3?



(A)向左平移

? 个单位 12

(B)向右平移

? 个单位 12

(C)向左平移 【答案】B

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3

【解析】因为 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

?? ? ? ? ? ? ? sin 4? x ? ? ,所以要得到函数 y ? sin ? 4 x ? ? 的图象,只需将函 3? 3? 12 ? ? ?
? 个单位.故选 B. 12

数 y ? sin 4 x 的图象向右平移

【考点定位】三角函数的图象变换. 【名师点睛】本题考查了三角函数的图象,重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握,能否正 确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度. 【 2015 高 考 陕 西 , 文 理 3 】 如 图 , 某 港 口 一 天 6 时 到 18 时 的 水 深 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数

y ? 3sin(
A.5

?
6

x ? ? ) ? k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(
B.6 C.8

) D.10

【答案】C 【解析】由图象知: ymin ? 2 ,因为 ymin ? ?3 ? k ,所以 ?3 ? k ? 2 ,解得: k ? 5 ,所以这段时间水深的 最大值是 ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C. 【考点定位】三角函数的图象与性质. 【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质,属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼“最大 值” ,否则很容易出现错误.解三角函数求最值的试题时,我们经常使用的是整体法.本题从图象中可知

?? ? ?? ? sin ? x ? ? ? ? ?1 时, y 取得最小值,进而求出 k 的值,当 sin ? x ? ? ? ? 1 时, y 取得最大值. ?6 ? ?6 ?

3. 【2015 高考新课标 1, 理 8】 函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示, 则 f ( x ) 的单调递减区间为( ) (A) ( k? ? (C) (k ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

(B) (2k? ? (D) (2k ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

【答案】D

【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】本题考查函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图像与性质,先利用五点作图法列出关于 ?,? 方程,求 出 ?,? ,或利用利用图像先求出周期,用周期公式求出 ? ,利用特殊点求出 ? ,再利用复合函数单调性 求其单调递减区间,是中档题,正确求 ?,? 使解题的关键. 【2015 高考安徽, 理 10】 已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ?( ? ,? ,? 均为正的常数) 的最小正周期为 ? , 当x?

2? 时,函数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( 3



(A) f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 0? (C) f ? ?2? ? f ? 0? ? f ? 2? 【答案】A

(B) f ? 0? ? f ? 2? ? f ? ?2? (D) f ? 2? ? f ? 0? ? f ? ?2?

【考点定位】1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较. 【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题,一般的步骤是:第一步,根据题中所给的条件写出三角函 数解析式,如本题通过周期判断出 ? ,通过最值判断出 ? ,从而得出三角函数解析式;第二步,需要 比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断,本题中代入函数值计算不太方便,故可以 根据函数图象的特征进行判断即可. 【2015 高考湖南,理 9】将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? 像,若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有 x1 ? x2 A.

?
2

) 个单位后得到函数 g ( x) 的图


min

?

?
3

,则 ? ? (

5? 12

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

【答案】D. 【解析】试题分析:向右平移 ? 个单位后,得到 g ( x) ? sin(2 x ? 2? ) ,又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 ,∴不妨

2 x1 ?


?
2

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?

?
2

? 2m? ,∴ x1 ? x2 ?

?
2

? ? ? (k ? m)? ,又∵ x1 ? x2

min

?

?
3



?
2

?? ?

?
3

?? ?

?
6

,故选 D.

【考点定位】三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质,属于中档题,高考题对于三角函数的考查,多以

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 为背景来考查其性质,解决此类问题的关键:一是会化简,熟悉三角恒等变形,对三
角函数进行化简;二是会用性质,熟悉正弦函数的单调性,周期性,对称性,奇偶性等.

??? ,xm 满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? , 【2015 高考上海, 文理 13】 已知函数 f ? x ? ? sin x . 若存在 x1 , x2 ,
且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 ( m ? 2 , m ? ? ? ) ,则 m 的最小值 为 【答案】 8 【解析】因为 f .

? x? ? s i n x, 所 以 f ? xm ? ? f ? xn ? ?

f ( x) max ? f ( x) min ? 2 , 因 此 要 使 得 满 足 条 件

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 的 m 最小,须取
x1 ? 0, x2 ?

?
2

, x3 ?

3? 5? 7? 9? 11? , x4 ? , x5 ? , x6 ? , x7 ? , x8 ? 6? , 即 m ? 8. 2 2 2 2 2

【考点定位】三角函数性质 【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合,可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的 一个行之有效的方法.

【2015 高考新课标 2,理 10】如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,点 P 沿着

CD 与 DA 运动, 边 BC , 记 ?BOP ? x . 将动 P 到 A 、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x ) , 则 y ? f ( x)
的图像大致为( )

D

P

C

x A
y

O
y

B
y y

2

2

2

2

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】B 【解析】由已知得,当点 P 在 BC 边上运动时,即 0 ? x ?

?
4

时, PA ? PB ?

tan 2 x ? 4 ? tan x ;当点 P

在 CD 边上运动时,即

?
4

?x?

1 1 3? ? ? , x ? 时, PA ? PB ? ( ? 1)2 ? 1 ? ( ? 1)2 ? 1 ,当 x ? 4 2 2 tan x tan x
3? ? x ? ? 时, PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ,从 4

时, PA ? PB ? 2 2 ;当点 P 在 AD 边上运动时,即 点 P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ? 【考点定位】函数的图象和性质.

?
2

对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B.

?

?

4

2

【名师点睛】本题考查函数的图像与性质,表面看觉得很难,但是如果认真审题,读懂题意,通过点 P 的 运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较,也可较容易找到答案,属于中档题.

【2015 高考湖南,文 15】已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中,距离最短的两个交点 的距离为 2 3 ,则 ? =_____. 参考答案 【2015 高考湖南,文 15】已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中,距离最短的两个交点 的距离为 2 3 ,则 ? =_____. 【答案】 ? ?

?
2

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

1 ? 1 5? ( (k1? ? , 2),( (k2? ? , ? 2),k1,k2 ? Z ? , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内, ? 4 ? 4 2 1 5? ? 2 ? 2 . ? 2 3 ? 2 ( ? )? ( ? 2 ? 2) , ?? ? ? 4 4 2

?

?

【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结 合,体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内,本题也可从五点作 图法上理解.

π 【2015 高考湖北,理 17】某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图 2

象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6



A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 (
π π 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ) . 6 6

5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

π 【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6

?x ? ?
x

0
π 12

π 2
π 3

π

3π 2
5π 6


13 π 12

7π 12

A sin(? x ? ? )

0

5

0

?5

0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6
π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) . 6 6

因为 y ? sin x 的对称中心为 ( kπ , 0) , k ? Z . 令 2 x ? 2? ?
π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ? ? , k ?Z . 6 2 12
5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ? ? ? 12 2 12 12

由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 解得 ? ?

π kπ π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1时, ? 取得最小值 . 6 2 3

π 【考点定位】“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象,三角函数的平移 2

变换,三角函数的性质. 【名师点睛】 “五点法”描图:

(1) y ? sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:(0,0), (

? 3? ,1) ,(π,0), ( ,?1) ,(2π,0). 2 2

(2) y ? cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:(0,1), (

?
2

,0) ,(π,-1), (

3? ,0) ,(2π,1). 2

π 【2015 高考湖北,文 18】某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图 2

象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动
π 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6

y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.

参考答案
π 【2015 高考湖北,文 18】某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图 2

象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填 写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 . .......... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动
π 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6

y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.
π 【答案】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表: 6

?x ? ?
x

0

π 2

π

3π 2



π 12
0

π 3
5

7π 12
0

5π 6
?5

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ)离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 6 12

? ? 5? 3? π 【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据可得: A ? 5 , ? ? ? ? , ? ? ? ? ,解得 ? ? 2, ? ? ? . 数据补 3 2 6 2 6
全如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3
5

π

3π 2 5π 6
?5



π 12
0

7π 12
0

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) .因为 y ? sin x 的对 6 6 6 6

称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2x ?

π kπ π kπ π 解得 x ? k ? Z .即 y ? g ( x) 图象的对称中心为 ? kπ , ? , ( ? ,) 0 , 6 2 12 2 12

k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 (?

π , 0) . 12

【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质,属基础题. 【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起,正确运用方程 组的思想,合理的解三角函数值,准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键, 能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.



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