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1.3.1 第2课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)



第2课时

正弦型函数

y=Asin(ωx+

φ)

1.知识目标: (1)理解振幅、周期、频率、初相的定义; (2)理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律; (3)会用“五点法”画出y=Asin(ω x+ ? )的简图,明确

A、ω 和 ? 对函数图象的影响作用.

/>
2.能力目标: (1)培养学生数形结合的能力; (2)培养学生发现问题、研究问题的能力,以及探究、

创新的能力.

3.情感目标: 本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方 法 ,按照由特殊到一般的认知规律,由形及数,数形结

合,通过设置问题,引导学生观察、分析、归纳,形成规
律,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、 探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验 和理解.

你坐过大观览车吗? 你知道它的转速和时 间正好符合三角函数 的模型吗?你知道其

中蕴含着的三角函数
的变化规律吗?这节 课我们就一同来探讨 这个问题.

如图所示是大观览车的示意图. 设观览车转轮半径长为R,转动 的角速度为? rad / s, 点P0 表示座 椅的初始位置.此时?xOP0 ? ? , 当转轮转动t 秒后,点P0到达点P 位置,射线OP的转角为?t ? ? , 根据正弦函数的定义,可得点P 的纵坐标y与时间t的函数关系式 是怎样的?

y ? R sin(?t ? ? )

在函数y ? R sin(?t ? ? )中,点P旋转一周所需要的时间 2? T? ,叫做点P的转动周期.
1 ? 在一秒内,点P旋转的周数f ? ? ,叫做转动的频率. T 2?

?

OP . 0与x轴正方向的夹角?叫做初相
例如一动点以角速度4? rad / s作匀速圆周运动,则 T= 2? 1 = s, 4? 2 1 f ? ? 2 Hz. T

形如 y ? A sin(? x ? ? )(其中A,?,?都是常数)
的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到, 这种类型的函数通常叫做正弦型函数.

1 例1.在同一坐标系中作函数y ? 2sin x及y ? sin x的简图. 2
1 解:易知,函数y=2sinx及y= sinx的周期T= 2π. 2 作x ? ? 0,2π ?时的函数的简图.

列表:

x

0

π 2
1
2
1 2

π
0
0 0

3π 2


0
0 0

sinx
2sinx
1 sin x 2

0
0 0

-1
-2
? 1 2

描点作图:

3? 2

归纳总结: 利用这类函数的周期性,我们可以把上面的简图向左、向右 连续平移2? , 4? ? 就可以得出 1 y ? 2sin x, x ? R, 及y ? sin x, x ? R的简图 2 从上图可以看出,函数y ? 2sin x,x ? R的值域是 ? -2, 2? , 最大值是 2, 最小值是 - 2; 1 ? 1 1? 函数y ? sin x, x ? R的值域是 ?- , ? , 2 ? 2 2? 1 1 最大值是 , 最小值是 - . 2 2

一般地,函数y =A sin x的值域是 ? - | A |,| A |? , 最大值是 | A |, 最小值是 - | A | . 由此可知, | A | 的大小,反映曲线y ? A sin x波 动幅度的大小因此,| . A|也称为振幅.

例2.在同一坐标系中作函数y ? sin( x ? )和y ? sin( x - )的简图. 3 3
解:这两个函数的周期都是2π,先用“五点法” 画出它们在 ?0,2π? 上的简图. 列表:

?

?

x
x?

?

?
3
0

? 6 ? 2
1

2? 3

7? 6 3? 2
?1

5? 3
2?

?
3

?
0

sin( x ?

?
3

)

0

0

描点作图:

归纳总结:

把函数y ? sin( x ? )和y ? sin( x - )在区间 ? 0, 2? ? 3 3 上的图象分别向左、向右平移,每次平移2? 个 单位长度,则得它们在R上的图象. 一般地,把函数y ? sin x的图象上所有的点(当? ? 0时)向左或(当? ? 0时)向右平行移动 | ? | 个 单位长度,就得到函数y ? sin( x ? ? )的图象.

?

?

1 例3.在同一坐标系中作函数y ? sin 2 x和y ? sin x的图象. 2

1 解:函数y = sin2x的周期为π,函数y = sin x的周期为4π, 2 分别用“五点法”作它们在一个周期上的图象,列表:

x
2x sin 2 x

0 0 0

? ?
4 2
1

?
2

?

3? 4 3? 2
?1

?
2?
0

0

x
1 x 2 1 sin x 2

0 0 0

?
?
2
1

2?

3?

4?

?

3? 2
?1

2?
0

0

描点作图(如下图所示)利用这两个函数的周期性,把
它们在一个周期上的简图分别向左、右扩展,从而得到 它们的简图(图略).

如图所示,在函数y ? sin 2 x,x ? ? 0, 2? ?的 x0 图象上,横坐标为 ( x0 ? ? 0, 2? ?)的点的 2 纵坐标,同函数y ? sin x, x ? ? 0, 2? ? 上横坐 标为x0的点的纵坐标相等.

例如:当x0 ? sin(2 ?

?
2

时,

x0 ? ) ? sin x0 ? sin ? 1. 2 2 因此,函数y ? sin 2 x的图象,可以看作是把 y ? sin x图象上所有的点的横坐标缩短到原来 1 的 (纵坐标不变)而得到的. 2

1 类似地,函数y ? sin x的图象,可以看作是 2 把y ? sin x图象上所有的点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变而得到的) .

结论:
一般地,函数y ? sin ? x( x ? R)(其中? ? 0且? ? 1)的图象, 可以看作是把y ? sin ( x x ? R)上所有的点的横坐标缩短 (当? ? 1时)或伸长(当0 ? ? ? 1时)到原来的 坐标不变)而得到的. 1

?

倍(纵

例3.作函数y ? 3sin(2 x ? )的简图. 3
2? 解:函数y ? 3sin(2 x ? )的周期T ? ??, 3 2 我们先用 “五点法”作它在长度为一个周期 上的图象. 令2x ?

?

?

?
3

? 0, 得x ? -

?
6

, 把x ? -

?
6

作为第一个

1 ? 点的横坐标,依次递加一个周期的 , 即 , 4 4 就可以得到其余四个点的横坐标.

列表:

x
sin(2 x ? ) 3

?
?

?
6

? 12
3

? 3
0

7? 12

5? 6

0

?3

0

描点作图:

? π 5π? 利用函数的周期为π,我们可以把它在 ?- , ? 上 ? 6 6 ? 的简图向左、右连续地平移,就可以得到这个函 数的简图.

在上图中,我们还分别画出了函数y ? sin x, y ? sin 2 x, y ? 3sin 2 x的图象,把它们与函数y ? 3sin(2 x ? )的图 3 象比较,就可以看到这些图象之间的关系.

?

它们的图象,可以通过把函数y ? sin x的图象,沿x轴或y轴 进行压缩或伸长,或沿x轴平移而得到:
先把y ? sin x的图象上所有点的横坐标 1 缩短到原来的 (纵坐标不变),得到 2 y ? sin 2 x的图象,再把y ? sin 2 x图象上 所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横 坐标不变)就得到y ? 3sin 2 x的图象, 最后把得到的图象向左平移 个单位 6 长度,我们就可以得到函数y ? 3sin (2 x ? )的图象. 3

?

?

例4.如图所示,这是一个按照正弦规律变化的交流 电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的 最大值,并写出图象的函数解析式.

解:由图象看出,这个交流电的周期T= 0.2s, 由频率f 与周期T 的关系式, 1 1 得频率f ? ? ? 5Hz ,电流的最大值为10 A. T 0.2 由图可知,这个曲线的函数解析式是正弦型函数 i ? A sin(?t ? ? ), 2? 2? 其中A = 10, ? = = = 10? , 再把点( 0,10)的坐标 T 0.2 代入函数式 i ? 10sin(10? t ? ? ),

得 sin ? ? 1, 取? ? 函数解析式为

?
2

, 于是得到曲线的

i ? 10sin(10? t ? ), t ? ? 0, ?? ? . 2 根据诱导公式,函数式可化为 i = 10 cos10? t , t ? ?0, ?? ? .

?

1.若将某函数的图象向右平移 以后所得到的图象的函数式 2 是y ? sin( x ?

?

?

4 3? ? A. y ? sin( x ? )     B. y ? sin( x ? ) 4 2

),则原来的函数表达式为(A)

C. y ? sin( x ?

?

4

)     D . y ? sin( x ?

?

4

)?

?
4

2.函数y ? 3sin(2 x ? )的图象,可由y ? sin x的图象经过下述哪种变换 3 而得到( B )

?

? 1 A.向右平移 个单位,横坐标缩小到原来的 , 纵坐标扩大到原来的3倍 3 2 ? 1 B向左平移 . 个单位,横坐标缩小到原来的 , 纵坐标扩大到原来的3倍 3 2 ? 1 C向右平移 . 个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的 6 3 ? 1 1 D向左平移 . 个单位,横坐标缩小到原来的 , 纵坐标缩小到原来的 6 2 3

3 .已知函数y ? Asin(? x ? ? ), 在同一周期内,当x ? 取得最大值2当 , x?

?
9

时函数

4? 时函数取得最小值 -2则该函数的 , 9

B 解析式为(  )
A. y ? 2sin(3x - )     B . y ? 2sin(3x ? ) 6 6 x ? x ? C. y ? 2sin( ? )     D . y ? 2sin( - ) 3 6 3 6

?

?

1.五点法作y ? A sin (? x ? ? )的图象
①列表:
?x ??
0

? 2

?
? ?? ?
0 0

3? 2

2?
2? ? ?

x

?

? ?

?
2

??

?
1

3? ?? 2

?

?
0 0

sin(? x ? ? )
y

0 0

-1

A

?A

-? ? ? -? 2 ②描点: 从上表中提取五个关键点(- , 0), ( , A), ( , 0), ? ? ? 3? -? 2? - ? ( 2 , - A), ( , 0),然后在直角坐标系中描出 ? ? 这五个点;

?

③连线:用光滑的曲线连接这五个点,即可得到函数
y ? A sin(? x ? ? )在一个周期内的图象.

2.函数图象的变换 由函数y ? sin x的图象变换到函数y ? A sin(? x ? ? )的图象本质 上有两种途径:

①先平移后伸缩;②先伸缩后平移,具体过程如下:

作 y=sinx 长度为 2?的某闭区间上的简图 沿 x 轴平 移|φ |个单位 得 y=sin(x+φ ) 横坐标伸长或缩短到 原来的 倍 得 y=sin(ω x+φ ) 横坐标 伸长或缩短到原来的 得 y=sinω x

1

?

1

?

沿 x 轴平 移|

? ?

|个单位

得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短到原来的 A 倍

纵坐标伸长或缩短到 原来的 A 倍

得 y=Asin(ω x+φ ),在长度为一个周期闭区间上的简图 沿x轴 扩展

得到 y=Asin(ω x+φ ), x ? R 的简图

冰山在海里移动,它之所以显得庄严宏伟,
是因为只有1/8露出水面。

——海明威《老人与海》



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