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一道竞赛题的新简解与关联分析


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数学通讯 ——2 O 1 4年 第 1 、 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  



道竞赛题的新简解 与关联分析 
王建荣  
( 江西师大鹰潭学院 , 3 3 5 0 0 0 )  

2 0 1 1年 中 国 西 部 数 学 奥 林 匹 克 竞 赛 第 1   题 为:  
1 题l   已知 0 <z ,  < 1 , …  ̄  , + x y(


二、 竞 赛 题 的 等 价 形 式 及 关 联 分 析 






  y)
1 ) (

笔 者 发 现 表 达 式 石 _ 二 干  f  
令 a= x+ Y , b= 1 一z, c= 1 一Y , 则:  

的 分  

1 3 , ) (



母 满 足(  + ) +( 1 一  ) 十( 1 一 )= 2 , 因此 , 若 

的最 大值 .  




竞赛 题的 新简 解 

型  二  =  

:!   二堡   二鱼 2  二  
.   出  

先 给 出这 道竞 赛题 的一 种新 简解 :  

(  + ) ( 1 一z ) ( 1 一 )  

设 M 一  号 等   三  半 = = _   , M 的 最 大 值  
显然 为正 数.  

:(  一1 ) ( {一1 ) (  一1 ) .  
于是 , 题 1的等价 形式 的问题 就是 :   题2   已知 口, b , C 为 正实 数 , 且n +b +c 一2 ,  

令 z一  


,  一 

? 


, 其 中 口> O , 6 >0 , 则 

M = :  

1 ( 1 一 南一   )  
一  一 

求 证 : ( 丢 口   一 1 ) ( 丢 D   一 1 ) ( ÷ C   一 1 ) ≤ 丢 .  
安振 平 老师 提 出的“ 二 十六个 优美不 等 式”中  

c  

+ 

第 1 9个 不等 式是 :  
 



 

( 1 一   1) ≤ 

( 1


1)  

题3  设口 , 6 , c 为正 实数 , 且口 +b +C 一3 , 求 

证: ( ÷一2 乜   ) ( ÷一2 D   ) ( ÷一2 C   ) ≤1 .  
=  

l( j ̄ - 一1 )

,  

稍作 变形 , 得:  

令£ =  
2- — —t  
2 £ 3  

,   >o , 设  ) 一  

, 则厂∽ 

( 要一 口  2 ) ( 姜 D   一 2 ) ( 三 C   一 2 ) ≤1  

甘 (  一 1 ) (  一 1 ) ( 去 一 1 ) ≤ 吉 .  
了 
再令 z一  2 a
2 b
一   ,  

令  ( £ ): 0 , 得 t 一2 ; 当0 < t < 2时 ,   ( £ )  

>0 ; 当t > 2时 , ,   ( £ ) <0 ; 所以,  (   ) 在t 一2 时 

J   等 , 题 3 就 是 :  
, z = = =

取 得 极 大 值 , 极 大 值 为   ( 2 ) 一 吉 .  
所 以 , M ≤专 , 易 求 得 取 等 号 的 条 件 为  一  
一  

题4   已知  , Y, z 为正 实数 , 且 + 十 一 2 ,  

求 证 : ( 丢 ~ 1 ) ( 专 、 '   一 1 ) ( { 一 1 ) ≤ 丢 .  
显然 , 题 1 和题 3同 出一辙 .   ( 收稿 日期 : 2 0 1 3 一O 9 一O 7 )  

3。  

因 此 , 当 x = y  ̄ - { 时 ,  x y   ( 而 1 - _ 二 二 x   -   y   )  
取 得 最 大 值 , 最 大 值 为 专 ?  


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