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同角三角函数的基本关系及诱导公式


§ 4.2

同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:__________________________. (2)商数关系:__________________________. 2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α

图示

与角 α 终边的 关系 角 π-α π -α 2 π +α 2

图示

与角 α 终边的 关系 3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ+α (k∈Z) 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 π -α 2 六 π +α 2

口诀 [难点正本 疑点清源] 1.同角三角函数的基本关系

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

y x (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的.例如:∵sin α= ,cos α= , r r x2+y2 ∴sin α+cos α= 2 =1. r
2 2

(2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角 α 的范围进 行确定. (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系,它为 三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法. k 2.三角函数诱导公式 f?2π+α? (k∈Z)的本质 ? ? k 三角函数诱导公式 f?2π+α? (k∈Z)的本质是:奇变偶不变,符号看象限. ? ? π 对诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”含义的理解:即诱导公式的左边为 · k 2 +α (k∈Z)的正弦或余弦函数,当 k 为奇数时,右边的函数名称正余互变;当 k 为偶 数时,右边的函数名称不改变,这就是“奇变偶不变”的含义,再就是将 α“看成” 锐角(可能并不是锐角,也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角),然后 π 分析 · k+α (k∈Z)为第几象限角,再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是 2 正还是负,也就是公式右边的符号. 诱导公式的应用是:求任意角的三角函数值,其一般步骤:①负角变正角,再写成 2kπ+α,0≤α<2π;②转化为锐角.

4 1.若 sin θ=- ,tan θ>0,则 cos θ=________. 5 2sin α-cos α 2.若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 3. tan(-1 560° )=________. 1 4.(2010· 全国Ⅱ)已知 α 是第二象限的角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 5.sin 4 4 5 π·cos π·tan?-3π?的值是 ? ? 3 6 3 3 B. 4 C.- 3 4 D. 3 4 ( )

3 3 A.- 4

题型一 同角三角函数的基本关系式的应用 例1 1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5

(1)求 tan α 的值; (2)把 1 用 tan α 表示出来,并求其值. cos2α-sin2α (1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个

探究提高

式子的值, 其余二式的值可求.转化的公式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α; (2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. (1)已知 tan α=2,求 sin2α+sin αcos α-2cos2α; (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α. 题型二 三角函数的诱导公式的应用 例2 π 5π 3 (1)已知 cos?6+α?= ,求 cos? 6 -α?的值; ? ? 3 ? ?

7 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· ?α-2π?的值. tan? ? 5 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式, 并确定相应三角函数值的符号是解题成 败的关键.另外,切化弦是常用的规律技巧. 3π tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (1)化简: ; cos?-α-3π?sin?-3π-α? sin?π-x?cos?2π-x?tan?-x+π? 31π (2)已知 f(x)= ,求 f?- 3 ?的值. ? ? π ? cos?-2+x? ? 题型三 三角函数式的化简与证明 例3 1 1 1 求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ?1+tan θ?= ? ? sin θ+cos θ. 证明三角恒等式离不开三角函数的变换.在变换过程中,把正切函数化成

探究提高

正弦或余弦函数,减少函数种类,往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化.要 细心观察等式两边的差异,灵活运用学过的知识,使证明简便. 证明下列恒等式: 1+2sin?360° +x?cos?360° +x? 1+tan x (1) 2 = ; 2 cos ?360° +x?-sin ?360° +x? 1-tan x tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? (2) =-tan α. cos?α-π?sin?5π-α?

9.分类讨论思想和整体、化归 思想在三角函数式化简中的应用

试题:(1)(14 分)化简:sin?

4n-1 4n+1 ? π-α?+cos? ? 4 ? ? 4 π-α? (n∈Z);

sin?nπ-α?cos[?n-1?π-α] (2))化简: (n∈Z). sin[?n+1?π+α]cos?nπ+α? 审题视角 (1)角中含有变量 n,因而需对 n 的奇偶分类讨论.

(2)利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分作 为一个整体来看. 规范解答 解 (1)当 n 为偶数时,设 n=2k (k∈Z),则 8k-1 ? ?8k+1 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α? [1 分]

原式=sin?

π π =sin?2kπ+?-4-α??+cos?2kπ+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? π π =sin?-4-α?+cos?4-α? ? ? ? ? π π π =-sin?4+α?+cos?2-?4+α?? ? ? ? ?

?

?
[3 分] [4 分]

π π =-sin?4+α?+sin?4+α?=0. ? ? ? ? 当 n 为奇数时,设 n=2k+1 (k∈Z)时, 原式=sin? 8k+3 ? ?8k+5 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α?

3π 5π =sin?2kπ+? 4 -α??+cos?2kπ+? 4 -α?? ? ? ?? ? ? ?? 3π 5π =sin? 4 -α?+cos? 4 -α? ? ? ? ? π π =sin?π-?4+α??+cos?π+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? π π =sin?4+α?-cos?4-α? ? ? ? ? π π π =sin?4+α?-cos?2-?4+α?? ? ? ? ?

?

?
[6 分]

π π =sin?4+α?-sin?4+α?=0. ? ? ? ?

故 sin?

4n-1 ? ?4n+1 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α?=0.

[7 分] [8 分]

(2)当 n=2k (k∈Z)时, sin?2kπ-α?cos[?2k-1?π-α] 原式= sin[?2k+1?π+α]cos?2kπ+α? = sin?-α?· cos?-π-α? -sin α?-cos α? = =-1; sin?π+α?· α cos -sin α· α cos

[10 分] [11 分]

当 n=2k+1 (k∈Z)时, sin[?2k+1?π-α]· cos[?2k+1-1?π-α] 原式= sin[?2k+1+1?π+α]· cos[?2k+1?π+α] = sin?π-α?· α cos sin α· α cos = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α?

[13 分] [14 分]

综上,原式=-1. 批阅笔记

(1)本题的化简过程,突出体现了分类讨论的思想,当然除了运用了分类讨

论的思想将 n 分两类情况来讨论外, 在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中,考生缺乏整体意识,是出错的主要原因.

方法与技巧 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求 三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、 化简是三角函数的基础, 在求值与化简时, 常用的方法有: (1)弦切互化法: sin x 主要利用公式 tan x= 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ± θ)2 cos cos x =1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换: 1 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ?1+tan2θ? ? ? π =tan =?. 4 3.证明三角恒等式的主要思路有:(1)左右互推法:由较繁的一边向简单一边化简;(2) 左右归一法:使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子;(3)转化化归法:先将 要证明的结论恒等变形,再证明. 失误与防范 1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其 步骤:去负—脱周—化锐.

特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

§4.2

同角三角函数的基本关系及诱导公 式
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组

一、选择题 1.cos(-2 013π )的值为 1 A. 2 2.已知 f(α)= 1 A. 2 B.-1 C.- 3 2 D.0 ( 3 2 ( D.4 ) ) ( )

sin?π -α ?· cos?2π -α ? 25π ? , 则 f?- 的值为 3 ? ? cos?-π -α ?· tan?π -α ? 1 B.- 2 C. 3 2 D.-

π cos2x 3.当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值是 4 cos xsin x-sin2x 1 A. 4 二、填空题 π 2π 2 4.已知 cos? -α?= ,则 sin?α - ?=________. 3 ? ?6 ? 3 ? π 1 5.已知 sin?α + ?= ,则 12? 3 ? 7π cos?α + ?的值为________. 12 ? ? 3π sin?α + ?· tan?α+π ? 2 ? ? 6. =________. sin?π -α ? 三、解答题 cos?π +θ ? 1 7.已知 sin(3π +θ )= ,求 + 3 cos θ [cos?π -θ ?-1] cos?θ -2π ? 的值. 3π ? 3π sin?θ - cos?θ -π ?-sin? +θ? 2 ? ? ? 2 ? 1 8.已知 cos(π+α)=- ,且 α 在第四象限,计算: 2 1 B. 2 C.2

(1)sin(2π-α);

sin[α+(2n+1)π]+sin(π+α) (2) (n∈Z). sin(π-α)cos(α+2nπ)

B 组 专项能力提升题组 一、选择题 π 2π 1 ? 1.若 sin? -α?= ,则 cos? ?6 ? 3 ? 3 +2α?等于 7 A.- 9 1 B.- 3 1 C. 3 7 D. 9 ( D.-2 ( D.-2 ) ) ( )

1+sin α cos α 1 2.已知 =- ,则 的值是 2 cos α sin α -1 1 A. 2 1 B.- 2 C.2

3.若 cos α +2sin α =- 5,则 tan α 等于 1 A. 2 二、填空题 π π 1 4.已知 sin α ·cos α = ,且 <α< ,则 cos α -sin α 的值是________. 8 4 2 B.2 1 C.- 2

π 7 5.设 α∈?0, ?,sin α +cos α = ,则 tan α =__________________________. 5 4? ? π 5π 2π 6.已知 cos? -θ?=a (|a|≤1),则 cos? +θ?+sin? -θ?的值是________. ?6 ? ? 6 ? ? 3 ? 三、解答题 2 ?π <α<π?.求下列各式的值: ? 3 ?2

7.已知 sin(π-α)-cos(π+α)=

(1)sin α-cos α; π π (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?. ? ? ? ? 8.已知 α 是第三象限角,且 f(α)= 3π tan?π -α ?cos?2π -α ?sin?-α + ? 2 ? ? . cos?-α -π ?tan?-π -α? (1)化简 f(α);

3π 1 (2)若 cos?α - ?= ,求 f(α)的值; 2 ? 5 ? (3)若 α=-1 860°,求 f(α)的值.

答案
要点梳理 1.(1)sin2α+cos2α=1 sin α (2) =tan α cos α

2.相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于直线 y=x 对称 3. 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 基础自测 3 3 1.- 2. 5 4 3. 3 2 5 4.- 5 5.A 一 2kπ+α (k∈Z) sin_α cos_α tan_α -sin_α -cos_α tan_α 函数名不变 符号看象限 -sin_α cos_α -tan_α sin_α -cos_α -tan_α 函数名改变 符号看象限 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 π -α 2 cos_α sin_α 六 π +α 2 cos_α -sin_α

题型分类· 深度剖析 例1 解 (1)方法一 联立方程

?sin α+cos α=1 ① ? 5 ? 2 2 ? ?sin α+cos α=1 ②
1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②, 5 整理得 25sin2α-5sin α-12=0. ∵α 是三角形内角,∴sin α>0,

?sin α=5 ∴? 3 ?cos α=-5
4

4 ,∴tan α=- . 3

1 方法二 ∵sin α+cos α= , 5 1 ∴(sin α+cos α)2=?5?2, ? ? 1 即 1+2sin αcos α= , 25

24 ∴2sin αcos α=- , 25 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α 24 49 =1+ = . 25 25 12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π, 25 ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α= , 5

?sin α+cos α=5 由? 7 ?sin α-cos α=5
1 4 ∴tan α=- . 3 (2)

?sin α=5 ,得? 3 ?cos α=-5
4



sin2α+cos2α 1 2 = cos α-sin α cos2α-sin2α
2

sin2α+cos2α cos2α tan2α+1 = 2 , 2 = cos α-sin α 1-tan2α 2 cos α 4 ∵tan α=- , 3

?-4?2+1 tan2α+1 ? 3? 1 25 ∴ 2 = = =- . 4?2 7 cos α-sin2α 1-tan2α 1-?-3? ?
sin2α+sin αcos α-2cos2α 变式训练 1 解 (1)sin α+sin αcos α-2cos α= sin2α+cos2α
2 2



tan2α+tan α-2 4 = . 5 tan2α+1

(2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β, tan2α=9tan2β, 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β, ①+③得:sin α+9cos α=4, 3 ∵cos2α+sin2α=1,∴cos2α= , 8 6 即 cos α=± . 4
2 2

① ② ③

例2 ∴



π 5π (1)∵?6+α?+? 6 -α?=π, ? ? ? ?

π 5π -α=π-?6+α?. ? ? 6

5π π ∴cos? 6 -α?=cos?π-?6+α?? ? ? ? ? ?? π 3 =-cos?6+α?=- , ? ? 3 5π 3 即 cos? 6 -α?=- . ? ? 3 (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) 3 =cos(π-α)=-cos α=- , 5 3 ∴cos α= . 5 7 ∴sin(3π+α)· ?α-2π? tan? ? 7 ? =sin(π+α)·-tan?2π-α?? ? ? ?? π =sin α· ?2-α? tan? ? π sin?2-α? ? ? =sin α· π cos?2-α? ? ? cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5 变式训练 2 解 (1)原式= π tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? cos?3π+α?[-sin?3π+α?] π tan αcos αsin?2+α? ? ? tan αcos αcos α = = ?-cos α?sin α ?-cos α?sin α tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α sin x· x· cos ?-tan x? (2)∵f(x)= sin x =-cos x· x=-sin x, tan 31π 31π 31π ∴f?- 3 ?=-sin?- 3 ?=sin ? ? ? ? 3 π π 3 =sin?10π+3?=sin = . ? ? 3 2

例3

sin θ 证明 左边=sin θ?1+cos θ?+ ? ?

cos θ cos θ?1+ sin θ ? ? ? sin2θ cos2θ =sin θ+ +cos θ+ cos θ sin θ cos θ sin θ =?sin θ+ sin θ ?+?cos θ+cos θ? ? ? ? ? sin2θ+cos2θ cos2θ+sin2θ + sin θ cos θ 1 1 + =右边. sin θ cos θ (1)左边=
2 2

= =

变式训练 3 证明

cos2x+sin2x+2sin xcos x cos2x-sin2x = = ?cos x+sin x?2 ?cos x+sin x??cos x-sin x? cos x+sin x 1+tan x = =右边. cos x-sin x 1-tan x

∴原式得证. -tan αsin?-α?cos?-α? (2)左边= cos?π-α?sin?π-α? = -tan α?-sin α?cos α =-tan α=右边. -cos αsin α

∴原式得证. 课时规范训练 A组 1.B 2.A 2 3.D 4.- 3 5.- 1 6.-1 3

1 7.解 ∵sin(3π+θ)=-sin θ= , 3 1 ∴sin θ=- , 3 ∴原式= + -cos θ cos θ?-cos θ-1?

cos?2π-θ? 3π ? -sin? 2 -θ?cos?π-θ?+cos θ ? 1 cos θ + 1+cos θ -cos2θ+cos θ



= =

1 1 + 1+cos θ 1-cos θ 2 2 2 = 2 = =18. 1-cos2θ sin θ ? 1?2 - ? 3? 1 1 1 (1)∵cos(π+α)=- ,∴-cos α=- ,cos α= , 2 2 2 3 . 2 3 . 2

8.解

又∵α 在第四象限,∴sin α=- 1-cos2α=-

sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α)=-sin α= sin[α+(2n+1)π]+sin(π+α) (2) sin(π-α)cos(α+2nπ) = sin(α+2nπ+π)-sin α sin(π+α)-sin α = sin αcos α sin αcos α -2sin α 2 =- =-4. sin αcos α cos α



B组 1.A 2.A 3.B 4.- 3 2 3 5. 4 6.0

7.解 由 sin(π-α)-cos(π+α)=

2 2 ,得 sin α+cos α= , 3 3

2 两边平方,得 1+2sin α· α= , cos 9 7 故 2sin α· α=- . cos 9 π 又 <α<π,∴sin α>0,cos α<0. 2 7 16 (1)(sin α-cos α)2=1-2sin α· α=1-?-9?= , cos ? ? 9 4 ∴sin α-cos α= . 3 π π (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?=cos3α-sin3α ? ? ? ?

=(cos α-sin α)(cos2α+cos α· α+sin2α) sin 7 4 22 =- ×?1-18?=- . ? 3 ? 27 8.解 (1)f(α)=

3π tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ? cos?-α-π?tan?-π-α? = -tan αcos α?-cos α? =cos α. -cos α?-tan α?

3π 1 1 (2)∵cos?α- 2 ?= ,∴-sin α= , ? ? 5 5 1 ∴sin α=- , 5 2 6 又 α 是第三象限角,∴cos α=- . 5 2 6 ∴f(α)=cos α=- . 5 (3)∵α=-1 860° =-360° ×5-60° , ∴cos α=cos(-1 860° )=cos(-60° ) 1 =cos 60° . = 2 1 ∴f(α)= . 2


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