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一道课本"链接题"的思考与探究


教材 新探  ■ 季 长 征  在我们的 自主学习与合作 交流中 , 要认真观察 、   实验 、 归纳 , 大胆猜想。 为 了证实或推翻提 出的猜想 ,   我们要通过分析 , 概括 出数学概念 , 通过探究 、 推理 ,   建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决  问题。 在探究与应用过程 中, 我们 的思维水平会不断  提高 , 创造能力会得到发展。在数学学习过程 中 , 我  们将快 乐成 长。   下面, 就 以普通高 中课 程标 准实验教科 书( 苏教  版) 数学 ( 选修 4 — 1 ) § 1 . 2 . 1 圆周 角定 理课题下 的一个  链接: 托勒密( P t o l e m v ) 定理为例 , 谈点学 习体会 。   托 勒密 ( P t o l e m v ) 定 理 若 四边 形 四个 顶点 都在  同一 圆上 , 则其对角线之积等于两组 对边乘积之 和。   托 勒密( P t o l e m y ) 定理 的历史可追溯 到公元2 世  纪 。古希腊数学家和天文学家P t o l e m v 对三角学有很  多 贡献 。该定理无论从 内涵还是应用都极具魅力 。   P t o l e m  已知 :如  v 定 理 的 证 明 思 想  一 过, 说 明了它 的历史地位重要 , 影响很大 。下面我们  来探究P t o l e m y 定理的逆命 题是否是 真命题 。   P t o l e my 定 理 的逆命 题若 凸 四边 形每 双对边 乘  积 的和等于两对角线 的乘积 ,则这 四边形必有外接  圆。   已知 : 如 图2 , 在 四  边 形A B C D中 ,若 A B?   C D+ A D? B C = AC? B D求  证 : 四 边 形AB C D 是 圆  内接 四 边形 。   D  分 析 :因 为 有 了  P t o l e my 定 理 的 证 明 思  想 ,取 点 卜 构造 两 A   次 相 似——得 比 例  图2   、 图1 , 四边 形   AB C D的 4 个 顶 点 都 在 O0   上 。求 证 : AC? B D= AB? C D+   AD ’ BC  A  式——变形相加 。那么我们就顺 着这条思路来探索  研究 ,如果缺少相似 的条件 ,我们 就大胆 的创造条  件, 寻找三角形相似 , 看一看能否实现 目标 。   证明: 在 四边 形A B C D内取一点E, 连接AE、 C E、   DE  分析 : 这个等式若成立 ,   那 么 在 线 段 AC 上 必 有 一 点  E,使 得AD? B C= B D? A E且  AB? C D = B D? E C . 凡属 两个乘  积等式 ,通 常要 变成 比例式  而 后 看 有 无 相 似 形 可 以利  用。   使 A加 = LB DC ,   = LD B C   则 AA D E — AB D E   AD: A E= B D: B C . . _ . A D?   B C = B D’ AE ①  又AD: E D = B D: C D   AD: B D = E D: C D 而 LA D B =   E DC   图1   ’ . . △A曰 Dv、 △ E(   D, . ‘   : 日D= EC: CD。 . ’   曰? C D=   证明如图 1 我们不妨 在AC 上取点 ,使 LAD E =   BDC ,   B D? E

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