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2013-2014学年度高二第二学期数学期末统考模拟试题(四)(文科)(教师版)



2013-2014 学年度高二第二学期数学期末统考模拟试题(四) (文科)
1.复数

1? i ? 1 的虚部是( 1? i

B )

A、 ?i

B、 ? 1

C、 ? 2

D、1

2.已知回归直线斜率的估计值为 1.

23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程为( C )

? ? 1.23x ? 4 A、 y

? ? 1.23x ? 5 B、 y
B )

? ? 1.23x ? 0.08 C、 y
) A、 z ? z
?

? ? 0.08x ? 1.23 D、 y
C、 z 为实数 D、 z ? z 为实数
2

3.使复数为实数的充分而不必要条件是( 4.下面使用类比推理恰当的是 ( C

B、 z ? z

?

A、“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B、“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ” C、“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“
n n n

a?b a b ? ? c c c
n n n

(c≠0)”

D、( “ ab) ? a b ” 类推出( “ a ? b) ? a ? b ” 5.复平面上矩形 ABCD 的四个顶点中, A、B、C 所对应的复数分别为 2 ? 3i 、 3 ? 2i 、 ? 2 ? 3i ,则 D 点对应 的复数是( D ) A. ? 2 ? 3i A ) A. 0 B. ? 3 ? 2i B. 1024 C. 2 ? 3i C. ? 1024 D. 3 ? 2i D. ? 10241

6. (1 ? i) 20 ? (1 ? i) 20 的值为(

z 7.已知 =2+i,则复数 z 的共轭复数为( 1-i

A

)

A.3+i

B.3-i

C.-3-i D.-3+i

8.某社区对该区所辖的老年人是否需要特殊照顾进行了一项分性别的抽样调查,针对男性老年人和女性老年人 需要特殊照顾和不需要特殊照顾得出了一个 2× 2 的列联表, 并计算得出 ? =4.350, 则下列结论正确的是( A )
2

A.有 95%的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别有关 B.有 95%的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别无关 C.该社区需要特殊照顾的老年人中有 95%是男性 D.该地区每 100 名老年人中有 5 个需要特殊照顾

9. 若 ( x ? 1) ? ( x ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x=(
2 2

B

)

A. -1 (D)
2

B. 1

C. -1 或 1

D. 0

10.复数

?1 ? 3i =( 1? i

C

)

(A) 2 ? i

(B) 2 ? i

(C ) 1 ? 2i

1 ? 2i

11.有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于 0,因为 a ? R ,所以 a ? 0 ” 结论显然是错误的,是因为( A ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ( A )

- - 12.把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位,若 z=1+i,则(1+z) ? z = A.3-i B.3+i C.1+3i D .3
1

13.已知复数 z ? i(1 ? i) ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面上对应的点位于( B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限



D.第四象限

14.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 C )

A

)

15. 在复平面内, 复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点, 则点 C 对应的复数是 ( A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i

16.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 ) 总计 60 50 110

得到的正确结论是(

A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 17.如果根据性别与是否爱好运动的列联表,得到 K ? 3.852,所以判断性别与运动有关,那么这种判断出错的
2

可能性为(

D



(A) 20 0 0 B )

(B) 15 0 0

(C) 10 0 0

(D) 5 0 0

18.下面几种推理是类比推理的是(

A 、两条直线平行,同旁内角互补,如果∠ A 和∠ B 是两条平行直线的同旁内角,则∠ A +∠ B =1800 B 、由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质

C 、某校高二级有 20 个班,1 班有 51 位团员,2 班有 53 位团员,3 班有 52 位团员,由此可以推测各班都超过
50 位团员.

D 、一切偶数都能被 2 整除, 2 100 是偶数,所以 2 100 能被 2 整除.

19.已知⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,则“d=r”是“直线 l 与⊙O 相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件

(

C

)

20. i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则(

)
2

A. i ? S

B. i 2 ? S

C. i3 ? S

2 D. ? S i

21. 独立性检验中,假设 H0:变量 X 与变量 Y 没有关系,则在 H0 成立的情况下,P(K2≥6.635)≈0.010 表示的意 义是( D )

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“变量 X 与变量 Y 有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“变量 X 与变量 Y 无关” C.有 99%以上的把握认为“变量 X 与变量 Y 无关” D.有 99%以上的把握认为“变量 X 与变量 Y 有关” B )

22.记 I 为虚数集,设 a , b ? R , x, y ? I 。则下列类比所得的结论正确的是( A.由 a ? b ? R ,类比得 x ? y ? I C.由 a 2 ? 0 ,类比得 x 2 ? 0

B.由 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ,类比得 ( x ? y) 2 ? x 2 ? 2 xy ? y 2 D.由 a ? b ? 0 ? a ? ?b ,类比得 x ? y ? 0 ? x ? ? y

23.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.

? ? 0.74 x ? 50 根据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归方程 y
零件数 x(个) 10 20 m 30 n 40 81 50 89

加工时间 y(min) 62

则 m+n 的值为(

)

A.137

B.129

C.121

D.118

? ? 0.74 ,又∵ a ? ? 50 ? 0.74 ? 30 ? 72.2 , ?x ,∴ y ? a ? ? y ?b ? ? 50, b ? ? bx 【答案】B【解析】试题分析:由题意得 a
∴62+m+n+81+89=5× 72.2=361,∴m+n=129. 24.下面几种推理中是演绎推理 的是( .... C )

A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; B.猜想数列
1 1 1 1 (n ? N ? ) ; , , ,? 的通项公式为 an ? n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

C.半径为 r 圆的面积 S ? ? r 2 ,则单位圆的面积 S ? ? ; D.由平面直角坐标系中圆的方程为 ( x ? a )
2

? ( y ? b) 2 ? r 2 ,推测空间直角坐标系中球的方程为

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c ) 2 ? r 2 .
25. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表: 晚上 男婴 女婴 合计 20 10 30 白天 10 20 30 合计 30 30 60

3

你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为(

B

) A. 80% B. 99% C. 95% D. 90%

26.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i, z2 ? 2 ? i, 且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为 A.2 B. ? 2 C.2 或 ?2 D. ? 2 或 0

【答案】C【解析】试题分析: z1 =a ? i , z2 =2 ? i ,且| z1 |=| z 2 |,所以| z1 |2=| z 2 |2, 根据复数模的计算公式得出 a 2 +1= 2 + (-1)2 =5,整理 a 2 =4,所以 a=2 或-2,故选 C. 27.已知 x,y 的取值如下表所示,若 y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95 x ? a, 则a ? ( x 0 2.2 1 4.3 B.2.6 3 4 .8 4 6.7 C.2.8 D.2.9 D ) D.第四象限
?
2

B

)

y
A.2.2

28.已知复数 z ? A.第一象限

2?i ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

29.图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律继续 叠放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是( A.25 B.66 C.91 D.120 30.右面是一个 2× 2 列联表,则表中 C )

a , b 处的值分别为 26

, 44

.

31.选做题(考生只能从中选做一题) (A) (几何证明选讲选做题) 如图,⊙O 的直径 AB ? 6cm ,

P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C ,
连接 AC , 若 ?CPA ? 30? ,则 PC ?

3 3cm



(B)(不等式选讲选做题)不等式 8 ? 3x ? 0 的解集是 ? x x ? ? .

? ?

8? 3?

4

32.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为___ 11 ______.

12
【解析】第一次循环: s ?

1 3 , n ? 4 ; 第二次循环: s ? , n ? 6 ; ; 2 4 11 11 第三次循环: s ? , n ? 8 ;跳出循环,输出 s ? ; 12 12

33. 已知复数 z ? 1 ? ai (a ? R ) ( i 是虚数单位) 在复平面上表示的点在第四象限, 且z?z ?5, 则a ?

.

【答案】-2【解析】试题分析:∵ z ? 1 ? ai ,∴ z ? 1 ? ai ,∴ zz ? (1 ? ai)(1 ? ai) ? 1 ? a2 ? 5, a2 ? 4 ,又∵z 在复平面上表示的点在第四象限,∴ a ? 0 ,∴ a ? ?2 . 34.如图,PAB、PCD 是圆的两条割线,已知 PA=6,AB=2,PC=

1 CD.则 PD=_____ 2

___.

【答案】12【解析】题分析:∵ PC ?

1 CD ,∴设 PC=x,则 CD=2x,PD=PC+CD= 2

3x,由割线定理可得

PA ? PB ? PC ? PD ,即 6 ? 8 ? x ? 3 x ,解得 x=4 或 x=-4(舍去) ,∴PD=3x=12.
1 35.已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是: r ? h ,把这个结论推广到空间正四面体,则正四面体 3 1 内切球的半径 r 与正四面体高 h 的关系是 . 【答案】 r ? h 4

36 . 设 关 于 x 的 不 等 式 | x ? 4 x ? m | ? x ? 4 的 解 集 为 A , 且 0 ? A , 2 ? A , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
2



. 【答案】 [?4,? 2)

37.某算法的程序框图如下图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是 _

? 2x , x ? 1 y?? ? x ? 2, x ? 1
1=1

.

38.观察下列等式:

1+8=9, 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, …… 你能猜想到一个怎样的结论 1 ? 2 ? 3 .....? n ? (1 ? 2 ? 3 ? ...n)
3 3 3 3 2

5

39.已知复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i .(1)实数 m 为何值时,复数 z 为纯虚数?(2)若 m ? 2 ,计算复数 【解析】 (1)复数 z 为纯虚数,则 ?

z . 1? i

?m(m ? 1) ? 0 , 解得 m=0 ?m ? 1 ? 0

(2)若 m=2,则 z=2+i ,∴
2

z 2 ? i (2 ? i)(1 ? i) 3 i ? ? ? ? 1 ? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

40. 已知复数 z ? ?1 ? i ? ? 1 ? 3i .(1)求 z 及 z ; (2)若 z 2 ? a z ? b ? 1 ? i ,求实数 a, b 的值 . 解: z ? ?2i ? 1 ? 3i ? 1 ? i , z ? 1 ? 1 ? 解得 a ? ?3; b ? 4 41.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下列表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

2 ,则得 ?1 ? i ? ? a ?1 ? i ? ? b ? 1 ? i ,得 a ? b ? ? 2 ? a ? i ? 1 ? i
2

已知在全班 50 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 .

3

5

(1)请将上表补充完整(不用写计算过程); (2)能否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由. 【解析】 (1) 列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 (2)∵ K ?
2

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

20 10 30

50 ? (20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 30 ? 20 ? 25 ? 25

? 8.333 ? 7.879 ,∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

42.为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔 热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:

C ? x? ?

k ( 0 ? x ? 10 , k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费 3x ? 5

用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式;

6

(2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小?并求最小值. 【解析】 (1)当 x ? 0 时, c ? 8 ,? k ? 40 ,? C ( x ) ?

40 3x ? 5

20 ? 40 800 ? 6x ? (0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5 800 ? 10 , (2) f ( x) ? 2(3 x ? 5) ? 3x ? 5 ? f ( x) ? 6 x ?
设 3x ? 5 ? t , t ? [5,35] ,? y ? 2t ? 当且仅当 2t ?

800 800 ? 10 ? 2 2t ? ? 10 ? 70. t t

800 , 即t ? 20时等号成立。这时 x ? 5 ,因此 f ( x) 的最小值为 70. t

即隔热层修建 5cm 厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,最小值为 70 万元. 43.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下的对应数据: x y 2 30 4 40 5 50 6 60 8 70

(1)请画出上表数据的散点图; ( 2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

? x+ a ?; ? (3)要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元),则广告费支出至少为多少百万元? y =b
(结果精确到 0.1,参考数据:2× 30+4× 40+5× 50+6× 60+8× 70=1390。 ) 【解】 (1)散点图如下图所示:

(2) x ? 5, y ? 50 ,

?x
i ?1

5

2

i

?? ? 145 , ? xi yi ? 1390 , ? b
i ?1

5

? x y ? 5x ? y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

?

2

i

? 5( x) 2

1390 ? 5 ? 5 ? 50 ? 7, 145 ? 5 ? 52

? ? y ? bx ? ? 50 ? 7 ? 5 ? 15 ,? 所求回归直线方程为 ? a y ? 7x ?15 (3)依题意,有 7 x ? 15 ? 100,? x ? 12.1, 所以
广告费支出至少为 12.1 百万元.

7

1 1 1 1 (1) a 2 ? b2 ? ( a ? b)2 ; 2 2 2 2 1 2 1 2 44.已知 a, b ? R ,可以证明: (2) a 2 ? b 2 ? ( a ? b) 2 ; 3 3 3 3 1 3 1 3 (3) a 2 ? b2 ? ( a ? b)2 ; 4 4 4 4
根据上述不等式,写出一个更一般的结论,并加以证明。 解析:一般性结论为:已知 a, b ? R ,均为正数,若 m ? n ? 1 则 ma2 ? nb2 ? (ma ? nb)2 证明:要证 ma2 ? nb2 ? (ma ? nb)2 即证 ma ? nb ? m a ? n b ? 2mnab
2 2 2 2 2 2

即证 m(1 ? m)a2 ? n(1 ? n)b2 ? 2mnab ? 0 又 m ? n ? 1 故即证 mn(a2 ? b2 ? 2ab) ? 0 (6 分) 即证 mn(a ? b)2 ? 0 因为 m, n 为正数 (a ? b)2 ? 0 故 mn(a ? b)2 ? 0 显然成立,所以原命题成立。 45.(1)实数 m 取何值时,复 数 Z ? m2 ? 1 ? (m2 ? 3m ? 2)i 是纯虚数。 (2)已知复数 z 满足: | z |2 ?2iz ? 8 ? 6i ,求复数 z 。

46.已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 的值. 2z

解析:设 z ? a ? bi ,(a, b ? R ) ,而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a2 ? b2 ?1 ? 3i ? a ? bi ? 0 则?

? ? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 ?? , z ? ?4 ? 3i b ? 3 b ? 3 ? 0 ? ? ?

47.网上购物系统是一种具有交互功能的商业信息系统,它是在网络上建立一个虚拟的购物商场,使购物过程变 得轻松、快捷、方便.网上购物系统分为前台管理和后台管理。前台管理包括浏览商品、查询商品、订购商品、 用户信息维护功能.后台管理包括公告管理、商品管理、订单管理、投诉管理和用户管理模块.根据这些要求画 出该系统的结构图.
8

48. 国庆节放假,甲去北京旅游的概率为

1 1 1 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为 、 .假定三人的行动相互之间 3 4 5

没有影响,求这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率. 1 1 1 2 3 4 解:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为3,4,5.因此,他们不去北京旅游的概率分别为3,4,5,所以,至 2 3 4 3 少有 1 人去北京旅游的概率为 P=1-3× 4× 5=5. 49.在冬季,某地居民对猪肉需求情况的一组数据如右表所示: (1)画出数据的散点图,并通过散点图确定变量 y 与 x 是否线性相关; (2)如果 y 与 x 有线性相关关系,求 y 对 x 的线性回归方程; (3)如果价格升为 14 万元/吨,请你预测猪肉的需求量是多少. 解: (1)略

(2)

x ? 10.5 y ? 11.75 b ? ?1.3 a ? 25.4

∴y 对 x 的回归方程为 y ? 25.4 ? 1.3x (3)当 x=14 时, y ? 7.2 (吨) 50.假设关于某设备使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料:

x

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

y

若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系,试求: (Ⅰ)请画出上表数据的散点图;
9

? ?a ?; (Ⅱ)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程 y ? bx

(Ⅲ)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少? ( 2 ? 2.2 ? 3 ? 3.8 ? 4 ? 5.5 ? 5 ? 6.5 ? 6 ? 7.0 ? 112.3 ) 解析: (Ⅰ)图……………………3 分 (Ⅱ)依题列表如下:

i
xi yi xi yi

1 2 2.2 4.4

2 3 3.8 11.4

3 4 5.5 22.0

4 5 6.5 32.5

5 6 7.0 42.0

x ? 4, y ?5

?x
i ?1

5

2 i

? 90, ? xi yi ? 112.3
i ?1

5

?? b

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

?

2 i

? 5x 2

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 12.3 ? ? 1.23 . 90 ? 5 ? 42 10

? ? y ? bx ? 5 ?1.23? 4 ? 0.08 . a

y ? 1.23x ? 0.08 .………………10 分 ∴回归直线方程为 ?
(Ⅲ)当 x ? 10 时, ? y ? 1.23?10 ? 0.08 ? 12.38 万元. 即估计用 10 年时,维修费约为 12.38 万元.………………12 分

10



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