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2006年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学



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[2006 年 06 月 07 日 15:00—17:00]

2006 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(陕西卷)
注意事项: 1.本试卷

分第一部分和第二部分.第一部分为选择题,第二部分为非选择题。 2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息点。 3.所有答案必须在答题卡上指定区域作答。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (本卷共 12 小题, Y C 每小题 5 分,共 60 分) Y 2 1.已知集合 P ? ? x ? N | 1 ? x ? 1 0 ? , 集合 Q ? ? x ? R | x ? x ? 6 ? 0 ? , 则 P ? Q 等于 A.{-2,3} B.{-3,2} C.{3} D.{2}

1 2.函数 f(x)= (x∈R)的值域是 1+x2 A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)

3.已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于 A.45 B.36 C.27 D.6

4.设函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0,0) ,其反函数过点(1,2) ,则 a+b 等于 A.3 B.4 C.5 D.6

5.设直线过点(0,a) ,其斜率为 1,且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为 A.±4 B.±2 2 C.±2 D.± 2

6. “α,β,γ 成等差数列”是“sin(α+γ)=sin2β 成立”的 A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 4 7.设 x、y 为正数,则有(x+y)( + )的最小值为 x y A.15 B.12
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C.9

D.6

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??? ? ???? ??? ? AB ? 8.已知非零向量 A B 与 A C 满足 ( ??? ? | AB | |

???? ???? AC ???? ) ?B C ? 0 且 AC | |

??? ? ???? AB AC 1 ??? ? ???? ? ,则△ABC 为 ? AB | | AC | 2

A.等边三角形 C.等腰非等边三角形

B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形

9.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(a>0)。若 x1<x2,x1+x2=0,则 A.f(x1)>f(x2) C.f(x1)<f(x2)
2 2

B.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定

x y π 10.已知双曲线 2- =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为 a 2 3 2 3 A. 3 2 6 B. 3 C. 3 D.2

11.已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离相等,则正确的结论是 A.平面 ABC 必不垂直于 α C.平面 ABC 必与 α 相交 B.平面 ABC 必平行于 α D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内

12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密) ,接收方由密文→明 文(解密) 。已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d。例如,明文 1, 2,3,4 对应密文 5,7,18,16。当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的 明文为 A.1,6,4,7 B.4,6,1,7 C.7,6,1,4 D.6,4,1,7

第二部分(共 90 分)
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号的横线上(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分). Y 13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 14.(2x- 1 6 ) 展开式中的常数项为 x . (用数字作答) . C Y

15.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 个) ,其中甲和乙不 同去,则不同的选派方案共有 种(用数字作答).

16. 水平桌面 α 上放有 4 个半径为 2R 的球, 且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)。 在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面的 4 个球恰好都相切,则小球的 球心到水平桌面 α 的距离是 .

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三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 2 1 3 甲,乙,丙三人投篮,投进的概率分别是 , , 。现 3 人各投篮 1 次,求 5 2 5 (Ⅰ)3 人都投进的概率; (Ⅱ)3 人中恰有 2 人投进的概率。 18. (本小题满分 12 分) π π 已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin2(x- )(x∈R)。 6 12 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. 19. (本小题满分 12 分) 如图,α ⊥β ,α ∩β =l,A∈α ,B∈β ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1,点 B 在直线 l 上的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1,BB1= 2,求: (Ⅰ)直线 AB 分别与平面α ,β 所成的角的大小; (Ⅱ)二面角 A1-AB-B1 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 已知正项数列 { a n } ,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn= a n +5an+6,且 a1,a3,a15 成等比数列, 求求数列 { a n } 的通项 an.
2

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21. (本小题满分 14 分) 如图, 三定点 A (2,1) B ,(0, -1) C(-2,1); , 三动点 D, M 满足 A D = t A B ,B E = t B C , E,
????? ???? D M =t D E ,t∈[0,1] ???? ??? ?

??? ?

????

(Ⅰ)求动直线 DE 的斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程.

22. (本小题满分 12 分) 设 函 数 f ( x ) ? kx ? 3 x ? 1 (k≥0)
3 2

(Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的极小值大于 0,求 k 的取值范围.

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2006 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(陕西卷) 参考答案
一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 10.D 11.D 12.C 二、填空题 1 13.- 14.60 15.1320 16.3R 2 7.B 8.D 9.A

三、解答题 17.解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件 A1 , "乙投进"为事件 A2 , "丙投进"为事件 A3, 2 1 1 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , 5 2 3 ∴ P(A1A2A3)=P(A1) ?P(A2) ?P(A3) = 3 ∴3 人都投进的概率为 25 (Ⅱ) 设“3 人中恰有 2 人投进"为事件 B - - - P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) - - - =P(A1)?P(A2)?P(A3)+P(A1)?P(A2)?P(A3)+P(A1)?P(A2)?P(A3) 2 1 3 2 1 3 2 1 3 19 =(1- )? ? + ?(1- )? + ? ?(1- ) = 5 2 5 5 2 5 5 2 5 50 19 ∴3 人中恰有 2 人投进的概率为 50 π π 18.解:(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x- )+1-cos2(x- ) 6 12 = 2[ π π 3 1 sin2(x- )- cos2(x- )]+1 2 12 2 12 2 1 3 3 ? ? = 5 2 5 25

π π =2sin[2(x- )- ]+1 12 6 π = 2sin(2x- ) +1 3 2π ∴ T= =π 2 π π π (Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x- )=1,有 2x- =2kπ + 3 3 2 即 x=kπ + 5π 12 (k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ + 5π , (k∈Z)}. 12

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A F A1 l β B 第 19 题解法一图 E B1

α A1 l β x

A F

α E B1 y

B

第 19 题解法二图

19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接 A1B,AB1, ∵α ⊥β , α ∩β =l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β , BB1⊥α . 则∠BAB1,∠ABA1 分别是 AB 与α 和β 所成的角. Rt△BB1A 中, BB1= 2 , AB=2, ∴sin∠BAB1 = BB1 2 = . ∴∠BAB1=45°. AB 2

AA1 1 Rt△AA1B 中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°. AB 2 故 AB 与平面α ,β 所成的角分别是 45°,30°. (Ⅱ) ∵BB1⊥α , ∴平面 ABB1⊥α .在平面α 内过 A1 作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E,则 A1E⊥平 面 AB1B.过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A1F⊥AB, ∴∠A1FE 就是 所求二面角的平面角. 在 Rt △ ABB1 中 , ∠ BAB1=45 ° , ∴ AB1=B1B= 2 . ∴ Rt △ AA1B 中 ,A1B= AB2-AA12 = 4-1 = 3. 由 AA1?A1B=A1F?AB 得 A1F= AA1?A1B 1? 3 3 = = , AB 2 2

∴在 Rt△A1EF 中,sin∠A1FE =

A1E 6 6 = , ∴二面角 A1-AB-B1 的大小为 arcsin . A1F 3 3

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则 A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B( 2,1,0).在 AB 上取一点 F(x,y,z),则 → → → 存在 t∈R,使得AF=tAB , 即(x,y,z-1)=t( 2,1,-1), ∴点 F 的坐标为( 2t, t,1-t).要使A1F⊥ 1 → → → AB,须A1F?AB=0, 即( 2t, t,1-t) ?( 2,1,-1)=0, 2t+t-(1-t)=0,解得 t= , ∴点 F 的坐标为 4 ( 2 1 3 21 3 1 1 2 → → ,- , ), ∴A1F=( , , ). 设 E 为 AB1 的中点,则点 E 的坐标为(0, , ). ∴EF=( ,- 4 4 4 4 4 4 2 2 4

11 , ). 44 2 11 1 1 1 → → → → 又EF?AB=( ,- , )?( 2,1,-1)= - - =0, ∴EF⊥AB, ∴∠A1FE 为所求二面 4 44 2 4 4 角的平面角.

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2 1 3 2 1 1 1 1 3 → → ( , , )?( ,- , ) - + 4 4 4 4 4 4 8 16 16 A1F?EF 1 3 又 cos∠A1FE= = = = = , 3 → → 2 1 9 2 1 1 3 1 3 |A1F|?|EF| + + ? + + ? 16 16 16 16 16 16 4 2 3 . 3 20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. ∴二面角 A1-AB-B1 的大小为 arccos → → → → 21.解法一: 如图, (Ⅰ)设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, BE = t BC, 知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2). ∴kDE = yE-yD xE-xD
?xD=-2t+2 ?xE=-2t ∴? 同理 ? . ?yD=-2t+1 ?yE=2t-1 2t-1-(-2t+1) = = 1-2t. ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[-1,1]. -2t-(-2t+2)

→ → (Ⅱ) ∵DM=t DE ∴(x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1)=t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-2t).
?x=2(1-2t) x2 ∴? , ∴y= , 即 x2=4y. 2 4 ?y=(1-2t) 2 即所求轨迹方程为: x =4y, x∈[-2,2] 解法二: (Ⅰ)同上.

∵t∈[0,1], x=2(1-2t)∈[-2,2].

→ → → → (Ⅱ) 如图, OD=OA+AD = OA+ → → = (1-t) OA+tOB,

→ → → → tAB = OA+ t(OB-OA)
y C M -2 -1 O E -1 B 第 21 题解法图 1 D 2 x A

→ → → → → → → → → OE = OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC-OB) =(1-t) OB → +tOC, → → → → → → → → → OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE-OD)=(1-t) OD → + tOE → → → = (1-t2) OA + 2(1-t)tOB+t2OC . → → → 设 M 点的坐标为(x,y),由OA=(2,1), OB=(0,-1), OC=(-2,1)得
?x=(1-t2)?2+2(1-t)t?0+t2?(-2)=2(1-2t) ? 2 2 2 ?y=(1-t) ?1+2(1-t)t?(-1)+t ?1=(1-2t)

消去 t 得 x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[-2,2].

故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[-2,2]
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22.解: (I)当 k=0 时, f(x)=-3x +1 ∴f(x)的单调增区间为(-∞,0],单调减区间[0,+∞). 2 当 k>0 时 , f '(x)=3kx2-6x=3kx(x- ) k 2 2 ∴f(x)的单调增区间为(-∞,0] , [ , +∞), 单调减区间为[0, ]. k k (II)当 k=0 时, 函数 f(x)不存在最小值. 2 8 12 当 k>0 时, 依题意 f( )= 2 - 2 +1>0 , k k k 即 k2>4 , 由条件 k>0, 所以 k 的取值范围为(2,+∞)

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