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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)教学设计



3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2) 教学设计
2014 年 课 题 月 日 星期 高一数学 周春萍 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)

教学目标 知识与技能:1、回顾二倍角的正弦、余弦、正切公式,巩固它们与和角公 包含知识、技能、 式之间的内在联系,加深对二倍角公式的理解,培养运算 价值观、情感、态 度、过程、方法等。 能力; 教师据学科及教材 2、掌握二倍角公式及其相关变形,并熟练运用其进行化简, 内容特点制定。

求值,特别是掌握二倍角公式的逆向运用, 过程与方法:在探究学习过程中进一步提高分析问题、解决问题的能力; 情感态度与价值观:通过本节的学习,引导领悟寻找数学规律的方法,培 养创新意识,以及善于发现和勇于探索的科学精神。
教学重点 教学难点 教学方法 教学材料 多媒体 教 学 过 程 教 师 活 动 学 生 活 动 设 计 意 图

利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值。 二倍角公式的逆向应用及运用二倍角公式进行三角函数式的化简求值。
渗透整体思想、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新, 勇于探索。

一、复习巩固(先与学生一起复习二倍角的正弦、 余弦、正切公式,以达到温故而知新) 1、上一节课我们已经学过二倍角的正弦、余弦、正 切公式,接下来我们请一位同学到黑板上板书一下 二倍角公式,请下面的同学在学案上默写一遍。

二倍角公式
1、 sin 2? ? 2 、 cos 2? ? ;

? ?
; 。注意:

?
3、 tan 2? ?

学生默写公式, 黑板上学生的板 书完成后, 老师点评, 学生参照 复习巩固二倍角正 老师给出的准确答案进行比对, 弦、余弦、正切公 加深记忆。 式,学生进一步熟 悉二倍角公式及其 特征

2? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

2、学生板书完成之后,进行点评,并强调二 倍角正切公式中角度取值范围的限定以及二 倍角的角度的形式是多样的,并不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式。 注意:二倍角的相对性,即二倍角公式不仅 限于 2α 是 α 的二倍的形式,其他如 4α 是 2α 的二倍,
教师(例题引入) :为了加深对 二倍角公式的进一步理解和认 识, 本节课我们先将着重来学习 一下如何运用二倍角公式进行 化简,求值。

? ? ? ? ? 是 的二倍, ? ? 是 - 的二倍 4 2 2 2 4
?
4

等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如
sin

?
2

? 2sin

cos

?
4

, cos

?
3

? cos 2

?
6

? sin 2

?
6

二、典例分析

例 1、化简
(1) (sin ? ? cos ? )2 (2) sin x cos x cos 2 x 解: (1)原式= sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ?
2 2

老师引导学生观察分析: (1)展开式中有

sin 2 ? ? cos2 ? ,利用同角三
角函数基本关系式知即为 1, 同 时 2sin ? cos ? 即为二倍角正 弦公式, 提醒学生进行思考且注 意二倍角公式的变形。

? 1 ? sin 2?
(2)原式=

1 (2sin x cos x) cos 2 x 2

设计意图: (1) 公式逆向使用, 进一步熟悉二 倍角公式 (2) 通过观察分析, 让学生学会构 造法与滚雪球 法, 体会公式的 灵活多变, 发现 数学美。



1 (sin 2 x) cos 2 x 2 1 4
(2)观察分析式中有 sin ? cos ? ,即为一个正弦与 一个余弦的乘积, 启发学生联想 到二倍角正弦公式, 引入构造法 的思想。

= [2(sin 2 x) cos 2 x] =

1 sin 4 x 4

变式训练 1、化简与求值
(1) cos ? ? sin ?
4 4

(2) 8 sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

解: (1)原式= (cos2 ? ? sin 2 ? )(cos2 ? ? sin 2 ? ) = cos 2? (2)原式= 4(2sin = 4sin 设计意图: 掌握做题方法与解 题思想,进一步巩 固二倍角公式的变 形应用

?
48

cos

?
48

) cos

?
24

cos

?
12
学生演练

?
24

cos

?
24

cos

?
12

= 2(2sin = 2 sin = sin

?
24

cos

?
24

) cos

?
12



?
12

cos

?
12

? 6



3 2 ? ? 3? ? ? ?? , ? , ?2 4 ?

1 例 2 、已知 sin ? ? cos ? ? , 5

求 sin 2? ,cos 2? 的值。 解:∵ sin ? ? cos ? ? ∴ (sin ? ? cos ? ) 2 ?
1 5

1 25 1 去括号得 1 ? sin 2? ? 25

∴ sin 2? ? ?

24 25
教师分析:引导学生开拓思路, 设计意图:二倍角 结合例 1(1)的解题思想,找 公式的变形应用 到解决问题的突破口。 同时强调 如何根据角度的取值范围确定 三角函数值的方法。

又? ?? , ? ?2 4 ?
? 3? ∴ 2? ? ? ? , 2 ? ? ? , cos 2? ? 0 ?
7 25

? ? 3? ?

∴ cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 变式训练 2、已知

3 3 ? ? cos ? ? ? , ? ? ? ? ? , 求( sin ? cos ) 2 5 2 2 2
解:∵ cos ? ? ? , ? ? ? ?

3 ?, 2 4 2 ∴ sin ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5

3 5

∴( sin

?

? 9 ? cos ) 2 ? 1 ? sin ? ? 2 2 5
学生演练

例 3、已知函数

f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x ,
(1)求 f ( x ) 的最小正周期

(2) 求 f ( x) 的最大值以及取得最大值 时 x 的取值。 解: (1)∵ f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x = cos4 x ? sin 4 x ? 2sin x cos x =

(cos2 x ? sin 2 x)(cos2 x ? sin2 x) ? sin 2x
= cos 2 x ? sin 2 x
2 2 cos 2 x ? sin 2 x) = 2( 2 2
= 2 cos(2 x ? 学生分析, 找出关系, 进行化简 设计意图:二倍角 公式与和差公式及 三角函数图像性质 的综合应用,及培 养学生善于发现和 勇于探索的精神。

?
4

) 2? ?? 2

∴ f ( x) 的最小正周期 T ?

? (2) 由 ( 1 ) 得 f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) , 设 4 老师分析:结合两角和与差的 ? ? ? 2x ? 正、 余弦公式的应用及三角函数 4
则 f ( x) ? 2 cos ?
f ( x) ? 2 cos ? 在 ??? ? 2k? ,2k? ? ,k ? Z 上单
调递增,在 ?2k? , ? ? 2k? ? , k ? Z 上单调递减, 因此,在 x ? 2k? , k ? Z 上函数取得最大值,最大 值为 2 。 的性质,分析问题,解决问题

三、自我检测

1、 (1) sin 22.5 ? cos 22.5 =
o o

tan15o (2) = 1 ? tan 2 15o
2. cos2 75? ? cos2 15? ? cos75? ? cos15? 的 值 是 ( A. )
5 4

B.

6 2

C.

3 2

D. 1 ?

3 4

四、课堂小结:

(1) 掌握二倍角公式的相关变形,特别在 倍角公式的逆向转化与在化简求值中 的应用。 (2) 在利用二倍式公式进行化简时,要熟 练掌握各式之间的联系,熟悉哪些式 能实现哪种转化,选择适当的转化公 式进行应用。

五、课后作业: 学案第 1、2、3、4、7 题 学生演练 设计意图:学生及 时运用本节课的知 识点解决问题,巩 固所学内容,加深 印象。

学生讨论本节课的重点内容, 由 老师引导,师生共同总结

设计意图:加深对 本节知识的理解, 让学生懂得如何归 纳本节课的收获。

设计意图:检查学 习质量,查漏补缺, 巩固学习成果。 教 学 反 思

(1) 在熟练掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的基础上,锻炼学生清晰地把握哪些公 式能实现哪种转化的能力,学会选取适当的公式进行化简与求值。 (2)在课堂教学过程中,将老师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来,激发学 生学习数学的兴趣,让学生感觉到了每解决一个数学问题,就能得到一种成就感。 本节课二倍角公式(2)的内容,技巧性强,对学生的思维能力的训练要求高,要 注意培养学生勤奋好学的习惯,熟能生巧。同时老师要时常反省教学,及时反馈学 生的掌握情况,力求不断完善,不断提高教学水平,找出好的教学方式,让学生能 更好地理解所学内容,更好地启发和培养学生独立发现和解决问题的能力。



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