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第一章 函数的概念以及定义域、值域、解析式的求解方法


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主题一 函数 第一章 函数的概念

复习结构图
函数的定义及理解 如何判定同一个函数 定义域 函数的三要素 对应法则 值域 映射与函数 图像法 函数的表示方法 如何确定映射个数 函数图象的应用 (数形 结合) 求函数解析式的方法 如何求定义域 和值域

函 数 的 概 念

解析式法 列表法

Ⅰ函数的定义及理解
1、函数的定义 、
① 传统定义(用变量的观点来描述函数):在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y ,如 果给定了一个 x ,相应的就确定唯一的一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是 自变量, y 是因变量。 ② 近代定义(用集合的观点来描述函数) :设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任 意数 x ,按照确定的法则 f,都有唯一确定的 y 与它对应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数,记作

y = f ( x), x ∈ A
其中 x 叫做自变量,自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做这个函数的定义域。 所有函数值构成的集合

B = { y | y = f ( x), x ∈ A}
叫做这个函数的值域。

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2、对定义的理解 、
① A、B 都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在。 ② 对应关系、定义域、值域是函数的三要素,缺一不可,其中对应关系是核心,定义域是 根本,当定义域和对应关系已确定,则值域也就确定了。 ③函数符号的含义: f (x ) 是表示一个整体,一个函数,而记号“ f ”可以看作是对“ x ” 施加的某种法则(或运算) ,如果 f ( x) = x ? 2 x + 3 ,当 x = 2 时,可以看作是对“2”施
2

加了这样的运算法则:先平方,再减去它与 2 的积,再加上 3。 ④函数的定义域永远都是 x 的取值范围。

3、如何判定一个函数 、
只要检验: ①定义域和对应法则是否给出; ②根据给出的对应法则, 自变量 x 在其定义域中的每一个值, 是否都能确定唯一的函数值 y 。

4、同一函数的判定 、
一般的,考察、判断几个函数是否相同,离不开函数的三要素,但值域由定义域和对应 法则所确定,因此在实际的解题过程中,往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即 可。 两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相等时,才是同一函数,这说明: ⑴定义域不同,两个函数也就不同; ⑵对应关系不同。两个函数也是不同的; ⑶即使是定义域和值域都分别相同的两个函数, 他们也不一定是同一个函数, 因为函数 的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系。 例:①下列四组中的函数 f ( x ) 与 g ( x ) ,表示相同函数的一组是() A f ( x) = x , g ( x) = ( x ) 2 C f ( x) = x 0 , g ( x) = B f ( x) =

x + 1 ? x ? 1 , g ( x) = x 2 ? 1

x x

D f ( x) = x ,

g ( x) = x 2

②下列各组函数中,表示同一函数的是() A y = x ?1 和 y =

x 2 ?1 x +1

B y = x0 和 y = 1

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C f ( x) = x 和 g ( x) = ( x + 1)
2

2

D f ( x) =

( x )2 x 和 g ( x) = x ( x )2

Ⅱ 函数的三要素
1、如何求定义域 、
例:求下列函数的定义域 ⑴y=

x+3 ⑵y= x

1 x +1

⑶y=

1 ⑷ y = x ? ? x ⑸ y = x ?1 + x + 3 x?5

⑹y=

3 3 x+5 4x + 8 ⑺ y = 3 ? 2 x + 3 ⑻ y = x ( x ? 1) ⑼ y = ⑽y= x ?1 x ?3 3x ? 2 3 1 t ⑿ g (t ) = ⒀ y = 2x ?1 + 1 ? 2x + 4 t?4 3x + 6

⑾y=

3

2、复合函数的定义域 、
①复合函数:如果函数 y = f (t ) 的定义域为 A,函数 t = g (x ) 的定义域为 D,值域为 C, 则当 C ? A 时,称函数 y = f [ g ( x)] 为 f 与 g 在 D 上的复合函数,其中 t 叫做中间变量,

t = g ( x) 叫做内函数, y = f ( x) 叫做外函数。
②复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定 的。 例:①若函数 y = f ( x) 的定义域为[0,1],则 f ( x 2 ) 的定义域为 ②若函数 f ( x + 1) 的定义域为[-2,3],则函数 y = f ( 2 x ? 1) 的定义域为 。 。

3、函数值域(或最值)的求法 、函数值域( 最值)
例: 求出下列函数的值域 (1) f ( x ) =

1 x +1
2

(2) y =

8 (1 ≤ x ≤ 2) x2

(3) y = ? x

x ∈ [0,+∞)

具体几种方法: 具体几种方法:
①观察法
例:求函数 y =

1
x +1 +1

的值域

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②配方法
与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域) 例: (1) y = ? x ? 2 x + 3 (?5 ≤ x ≤ ?2)
2

(2) y =

5 + 4x ? x 2

(3) y =

x 2 + 4 x + 10 + 5

③换元法
代数换元法
形如 y = ax + b ± cx + d 的形式,可用代数换元法。即设 t = 。 再求值域(注意 t ≥ 0 ) 例: (1) y = 5 ? x ? 3 x ? 1 (3) y = x + (2) y = 2 x ? 5 + 15 ? 4 x

cx + d ,转化为二次函数

x ?1

三角换元法
例: (1) y =

2x + 1 ? 2x
2

(2) y = x ? 2 +

4 ? x2

(3) y = x 1 ? x

④反函数法
形如 y =

ax + b ( c ≠ 0 )型的函数可借助反比例函数求其值域 cx + d x?3 例: y = 2x + 1

⑤分离常数法
例: (1)求函数 y = (2)求 y =

? x2 的值域 x2 +1

x?3 的值域 2x + 1

⑥判别式法
形如 y =

ax 2 + bx + c ( a 、 m 中至少有一个不为零)的函数求值域,可用判别式法 mx 2 + nx + p

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例:求函数 y =

x2 ? x +1 的值域 x2 + x +1

⑦单调性法
例: y =

x?3 ? 8? x

⑧有界性法
x2 例: y = 2 的值域 x +1

⑨图像法
例:求函数 y = x + 3 + x + 5 的值域

⑩均值不等式法
例: (1)求 y =

x 的最大值 ( x ≥ 0) x + 3x + 1 5 (2)求函数 y = 2 x (5 ? 3 x ) ( 0 < x < )的值域 3
2

Ⅲ 映射与函数
1、映射的定义 、
设 A 、 B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的任意一个元素 x ,在 B 中有且仅有一个元素 y 与 x 对应, 则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射。这时, y 是 x 在 称 映射 f 的作用下的象,记作 f ( x ) 。于是

y = f ( x) ,

x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为:
f : A → B, x → f ( x) .
其中 A 叫做映射 f 的定义域,由所有象 f ( x ) 构成的集合叫做映射 f 的值域,通常记作

f ( A) 。

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2、映射与函数的关系 、
映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射。

映射

函数

3、映射个数的确定
①card(A)=m, card(B)=n, m, n ∈ N ,则映射 f : A → B 的个数为 n
m

②card(A)=card(B)=n, n ∈ N ,则 A 到 B 的一一映射的个数为 n! 例:已知集合 A={x,y},B={0,1},构造从集合 A 到集合 B 的映射,试问能构造出多少种映 射?其中有多少是一一映射?

Ⅳ 函数的表示方法
1.函数的表示方法 函数的表示方法
列表法: 列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法。 图像法: 图像法:这种用图形表示函数的方法叫做图像法。 解析式 解析式法:如果在函数 y = f (x ) ( x ∈ A )中, f (x ) 是用代数式(或解析式)来表达的, 则这种表示函数的方法叫做解析式法(也成为公式法)

2.求函数解析式的方法 求函数解析式的方法
①直接代入法
例: (1)已知 f ( x) = x 2 ? 1 ,求 f ( x + x 2 ) (2)已知 f ( x) = 2 x ? 1 g ( x) = x 2 ? 3 x + 2 求 f [ g ( x)]

②换元法
已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式, 求原函数 f (x) 的解析式, g ( x) = t , f (t ) 的解析式, 令 求 再把 t 换为 x 即可。 例: (1)已知函数 f ( x ? 1) = x 2 ,求 f (x)

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(2)已知 f (

x +1 x2 +1 1 )= + ,求 f (x) 的解析式 x x x2

③配凑法
已知 f [ g ( x )] 的解析式, 要求 f (x ) 时, 可以从 f [ g ( x )] 的解析式中拼凑出 g (x ) , 即用 g (x ) 来表示,再将解析式两边的 g (x ) 用 x 代替即可。 例:已知 f ( x + 1) = x + 2 x ,求 f (x ) 的解析式

④待定系数法
根据已知条件,舍所求函数 f (x ) 的表达式,建立方程,求出待定系数即可。 例:已知二次函数 f (x ) 满足 f (0) = 0 , f ( x + 1) = f ( x ) + 2 x + 8 ,求 f (x ) 的解析式

⑤方程组法
由已知条件,设法建立方程组,然后再求 f (x ) 的解析式。 例: (1)设函数 f (x ) 满足 f ( x ) + 2 f ( ) = x ( x ≠ 0 ) ,求 f (x ) 的解析式。 (2)已知 f ( x ) ? 2 f ( ) = 3 x + 2 ,求 f (x )

1 x

1 x

⑥赋值法
依题目的特性,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律, 求出解析式。 例: (1)设 f (x ) 是 R 上的函数,且满足 f (0) = 1 ,并且对任意实数 x, y ,有

f ( x ? y ) = f ( x) ? y (2 x ? y + 1) ,求 f (x) 的解析式。
(2)已知对一切 x, y ∈ k , f ( x ? y ) = f ( x ) ? (2 x ? y + 1) y 都成立,且 f (0) = 1 ,求

f (x) 的解析式。

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