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求解函数解析式的几种常用方法



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级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 高考要求特
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求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视 本节主要帮 助考生在深刻理解函数定义的基础上, 掌握求函数解析式的几种方法, 并形 成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 重难点归纳特 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 求解函数解析式的几种常用方法主要有特
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1、换元法:已知 f ( g ( x )) 的表达式,欲求 f ( x ) ,我们常设 t ? g ( x) ,从 而求得 x ? g (t ) ,然后代入 f ( g ( x )) 的表达式,从而得到 f (t ) 的表达式, 即为 f ( x ) 的表达式。 2、待定系数法 若已知 f ( x ) 的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程 或方程组,从而求出待定的参数,求得 f ( x ) 的表达式。 3、凑配法 若已知 f ( g ( x )) 的表达式,欲求 f ( x ) 的表达式,用换元法有困难时, (如
?1

g ( x) 不存在反函数)可把 g ( x ) 看成一个整体,把右边变为由 g ( x) 组成的
式子,再换元求出 f ( x ) 的式子。 4、消元法 若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再 解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。 5、赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时, 有时把已知条件中的某些变量赋 值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 典型题例示范讲解特
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例 1 如果 f ( x ? 1) ? x ? 5 x ? 4 ,那么 f(x)=______________________. 例 2 设二次函数 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2),且图像在 y 轴上的截距为 1, 被 x 轴截得的线段长为 2 2 ,求 f(x)的解析式。
1

2

例 3 设 y=f(x)是实数函数, 且 f ( x) ? 2 f ( ) ? x , 求证: | f ( x ) |?

1 x

2 2。 3

例 4 已知 af ( x n ) ? f ( ? x n ) ? bx ,其中 a 2 ? 1, n 奇数,试求 f ( x ) 。 例 5 已知 f (a ? b) ? f (b) ? a(a ? 2b ? 1) ,且 f (0) ? 1, 求 f ( x ) 的表达 式。 解:令 b ? 0 ,由已知得: f ( a) ? f (0) ? a( a ? 1) ? 1 ? a 2 ? a.

? f ( x) ? x 2 ? x ? 1
例 6 (1)已知函数 f(x)满足 f(logax)=
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a 1 ( x ? ) (其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x) x a ?1
2

的表达式 (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求? f(x)?的 表达式 级 教 师 级 教 师 王 新 敞 王 新 敞 特 级 教 师 特 级 教 师 王 新 敞 本题主要考查函数概念中的三要素 特 王 新 敞 定义域、值域和对应 命题意图特 法则,以及计算能力和综合运用知识的能力 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化, 知识依托特 注意定义域 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易 错解分析特 出错 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 (1)用换元法;(2)用待定系数法 技巧与方法特 特 级 教 师 王 新 敞 级 教 师 王 新 敞 (1)令 t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则 x=at 解特 a - 因此 f(t)= 2 (at-a t) a ?1 a - ∴f(x)= 2 (ax-a x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0) a ?1 (2)由 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c
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1 ? ?a ? 2 [ f (1) ? f ( ?1)] ? f ( 0) ? 1 ? 得 ?b ? [ f (1) ? f ( ?1)] 2 ? ? c ? f (0 ) ? ?
并且 f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于 1 或-1, 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 所以所求函数为特 2 f(x)=2x -1 或 f(x)=-2x2+1 或 f(x)=-x2-x+1
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2

或 f(x)=x2-x-1 或 f(x)=-x2+x+1 或 f(x)=x2+x-1 例 7 设 f(x)为定义在 R 上的偶函数, 当 x≤-1 时, y=f(x)的图像是经过点(- 2,0),斜率为 1 的射线,又在 y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0,2),且 过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数 f(x)的表达式,并在图中作出其图 像 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及 命题意图特 其图像的作法,对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此,分段函数 是今后高考的热点题型 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲 知识依托特 线方程是主线 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发 错解分析特 生混乱 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式 技巧与方法特 特 级 教 师 王 新 敞 级 教 师 王 新 敞 (1)当 x≤-1 时,设 f(x)=x+b 解特 ∵射线过点(-2,0) ∴0=-2+b 即 b=2,∴f(x)=x+2 (2)当-1<x<1 时,设 f(x)=ax2+2 ∵抛物线过点(-1,1),∴1=a·(-1)2+2,即 a=-1 ∴f(x)=-x2+2 (3)当 x≥1 时,f(x)=-x+2
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? x ? 1, x ? ?1
2 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 f(x)= ? 综上可知特 ?2 ? x , ?1 ? x ? 1 作图由读者来完成
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? ? x ? 2, x ? 1 ?
例 8 已知 f(2-cosx)=cos2x+cosx,求 f(x-1) 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 (换元法) 解法一特 ∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1 令 u=2-cosx(1≤u≤3),则 cosx=2-u ∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3) ∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4) 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 (配凑法) 解法二特 f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5 ∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3), 2 2 即 f(x-1)=2(x-1) -7(x-1)+5=2x -11x+14(2≤x≤4) 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 学生巩固练习特
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1 若函数 f(x)=
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A

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3

mx 3 (x≠ )在定义域内恒有 f [f(x)] =x,则 m 等于( ) 4x ? 3 4 3 3 B C - D -3 2 2
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3

2 设函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,在 x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1, 则 x>1 时 f(x)等于( ) 2 A f(x)=(x+3) -1 B f(x)=(x-3)2-1 C f(x)=(x-3)2+1 D f(x)=(x-1)2-1
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1 )=3x,求 f(x)的解析式为_________ x 4 已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________ 5 设二次函数 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2),且其图像在 y 轴上的截距为 1,
3 已知 f(x)+2f(
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在 x 轴上截得的线段长为 2 ,求 f(x)的解析式
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6 设 f(x)是在(-∞,+∞)上以 4 为周期的函数,且 f(x)是偶函数,在区间 [2,3]上时,f(x)=-2(x-3)2+4,求当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式 若矩 形 ABCD 的两个顶点 A、B 在 x 轴上,C、D 在 y=f(x)(0≤x≤2)的图像上, 求这个矩形面积的最大值 P C 7 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发 D 顺次经过 B、 C、 D 再回到 A, 设 x 表示 P 点的行程, f(x) 表示 PA 的长,g(x)表示△ABP 的面积,求 f(x)和 g(x),并 P 作出 g(x)的简图 B A 8 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知 y=f(x)在 [0,1]上是一次函数, 在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时,函数取得最小值,最小值为-5 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 f(1)+f(4)=0; (1)证明特 (2)试求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)试求 y=f(x)在[4,9]上的解析式 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 参考答案特
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级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 ∵f(x)= 解析特
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mx 4x ? 3

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mx 4 x ? 3 =x,整理比较系数得 m=3 ∴f[f(x)]= mx 4? ?3 4x ? 3 m?

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级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞A 答案特 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 利用数形结合,x≤1 时, 2 解析特 f(x)=(x+1)2-1 的对称轴为 x=-1,最小值为-1, 又 y=f(x)关于 x=1 对称, 故在 x>1 上,f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为-1 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞B 答案特
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1 1 1 )=3x 知 f( )+2f(x)=3 x x x 1 2 由上面两式联立消去 f( )可得 f(x)= -x x x 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 f(x)= 2 -x 答案特 x 特 级 教 师 王 新 敞 级 教 师 王 新 敞 ∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0 又 f(x+1)=f(x)+x+1, 4 解析特 ∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1 1 1 1 1 故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= ,b= ,∴f(x)= x2+ x 2 2 2 2 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 1 x2+ 1 x 答案特 2 2 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 利用待定系数法,设 f(x)=ax2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程 5 解特 2 8 组求解,f(x)= x 2 ? x ? 1 7 7 特 级 教 师 王 新 敞 级 教 师 王 新 敞 (1)设 x∈[1,2],则 4-x∈[2,3], 6 解特 ∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x), 又因为 4 是 f(x)的周期,∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4 (2)设 x∈[0,1] ,则 2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4, 又由(1)可知 x∈[0,2]时,f(x)=-2(x-1)2+4, 设 A、B 坐标分别为(1-t,0),(1+t,0)(0<t≤1 ) ,
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级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 由 f(x)+2f( 解析特
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则|AB|=2t,|AD|=-2t2+4,S 矩形=2t(-2t2+4)=4t(2-t2),令 S 矩=S,

S2 2t 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t 2 3 64 =2t2(2-t2)·(2-t2)≤( )= , 8 3 27 6 当且仅当 2t2=2-t2,即 t= 时取等号 3 64 ? 8 16 6 16 6 ∴S2≤ 即 S≤ ,∴Smax= 27 9 9 特 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 7 解 (1)如原题图,当 P 在 AB 上运动时,PA=x;当 P 点在 BC 上运

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动时,由 Rt△ABD ?可得 PA= 1 ? ( x ? 1) 2 ;当 P 点 在 CD 上运动时, 由 Rt△ADP 易得 PA= 1 ? ( 3 ? x ) 2 ; 当 P 点在 DA 上运动时,PA=4-x,故 f(x)的表达式为

D

P

C

P A B

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(0 ? x ? 1) ?x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 (1 ? x ? 2) f(x)= ? ? x 2 ? 6 x ? 10 ( 2 ? x ? 3) ? (3 ? x ? 4 ) ?4 ? x (2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时,△ABP 的形状各有特征,计 算它们的面积也有不同的方法,因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解 如原题图,当 P 在线段 AB 上时,△ABP 的面积 S=0; 当 P 在 BC 上时,即 1<x≤2 时, P D C 1 1 S△ABP= AB·BP= (x-1) ; 2 2 当 P 在 CD 上时,即 2<x≤3 时, 1 1 P S△ABP= ·1·1= ;当 P 在 DA 上时, 2 2 B A 1 即 3<x≤4 时,S△ABP= (4-x) 2
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(0 ? x ? 1) ?0 ?1 y ? ( x ? 1) (1 ? x ? 2) 1 2 ? ? 1 故 g(x)= ? 1 ( 2 ? x ? 3 ) 2 ?2 ? o 1 3 2 ? 1 (4 ? x ) ( 3 ? x ? 4) ? ?2 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 ∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数, 8 (1)证明特 ∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 当 x∈[1,4]时,由题意,可设 (2)解特 f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0, 解得 a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4) 级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 ∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, (3)解特 ∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0, 又 y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数, ∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1), ∵f(1)=2(1-2)2-5=-3, f(1)=k·1=k,∴k=-3 ∴当 0≤x≤1 时,f(x)?=-3x, 当-1≤x<0 时,f(x)=-3x, 当 4≤x≤6 时,-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15,?
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x

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当 6<x≤9 时, 1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5

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?? 3x ? 15 ∴f(x)= ? 2 ? 2( x ? 7 ) ? 5

( 4 ? x ? 6)
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(6 ? x ? 9 )

级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞 课前后备注特
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