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14年北京西城区高三数学一模(理)含答案



北京市西城区 2014 年高三一模试卷



学(理科)
共 40 分)

2014.4

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

1.设全集 U ? R

,集合 A ? {x | 0 ? x≤2} , B ? {x | x ? 1} ,则集合 ? U ( A ? B) ? ( (A) (??, 2] (B) (??,1] (C) (2, ??) (D) [2, ??)



2. 已知平面向量 a ? (2, ?1) , b ? (1,1) , c ? (?5,1) . 若 (a ? kb)//c ,则实数 k 的值为( (A) 2 (B)



1 2

(C)

11 4


(D) ?

11 4

3.在极坐标系中,过点 (2, ) 且与极轴平行的直线方程是( (A) ρ ? 2 (B) θ ?

π 2

? 2

(C) ρ cos θ ? 2

(D) ? sin? =2 )

4.执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 2, b ? 2 ,那么输出的 a 值为( (A) 4 (B) 16 (C) 256 (D) log3 16
开始 输入 a, b

log3 a ? 4




输出 a

a?a

b

结束

5.下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x ? π) ? f ( x) 的函数是 ( ) (B) f ( x) ? sin x cos x (D) f ( x) ? cos x ? sin x
2 2

(A) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? cos x

x2 y2 6. “ m ? 8 ”是“方程 ? ? 1 表示双曲线”的( m ? 10 m ? 8
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件



(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用 2 万元,从第 二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元. 设该设 备使用了 n(n ? N ) 年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于 ( ) (B) 4 (C)5 (D)6
?

(A) 3

8. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合 的一点,由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有( ) B C .P D A

(A) 4 个

(B)6 个

(C)10 个

(D)14 个

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设复数

1? i ? x ? yi ,其中 x, y ? R ,则 x ? y ? ______. 2?i
2

10. 若抛物线 C: y ? 2 px 的焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,则 p ? _____; C 的准线方程为 _____.

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形,那么 它的侧(左)视图面积的最小值是________.

? x≥1, ? y≥0, ? 12 .若不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边形,则实数 a 的取值范围是 2 x ? y ≤ 6, ? ? ? x ? y≤a
_______. 13. 科技活动后,3 名辅导教师和他们所指导的 3 名获奖学生合影留念(每名教师只指导一 名学生) ,要求 6 人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______. (用数字作答)

14. 如图, 在直角梯形 ABCD 中,AB//CD ,AB ? BC ,AB ? 2 , BC ? a(a ? 0) , CD ? 1 , P 为线段 AD (含端点)上一个动点,设 AP ? x AD , PB ? PC ? y ,对于函数 y ? f ( x) , 给出以下三个结论: 1 ○ 2 ○ 当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的值域为 [1, 4] ; D C

??? ?

????

??? ? ??? ?

?a ? (0, ??) ,都有 f (1) ? 1 成立;
P A B

3 ?a ? (0, ??) ,函数 f ( x) 的最大值都等于 4. ○ 其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求△ ABC 的面积. 3

16. (本小题满分 13 分) 在某批次的某种灯泡中,随机地抽取 200 个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列 成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等 于 500 天的灯泡是优等品,寿命小于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天) 频数 频率

[100, 200)

20 30 70

0.10

[200,300)
[300, 400)
[400,500)

a
0.35 0.15 0.25

b
50
200

[500,600)
合计

1

(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出 a,b 的值; (Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了 n(n ? N ) 个,如果这 n 个灯泡的等级情况恰好 与按 三个 等级分层抽样 所得的结果相同,求 n 的最小值; . .. ...... (Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了 3 个进行使用,若以上述频率作为概率, 用 X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求 X 的分布列和数学期望.
?

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 和侧面 BCC1 B1 都是矩形, E 是 CD 的中点, D1 E ? CD , AB ? 2BC ? 2 . (Ⅰ)求证: BC ? D1 E ; (Ⅱ)求证: B1C // 平面 BED 1 ; D A D1 C1

A1

B1

E B

C

(Ⅲ)若平面 BCC1 B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为

π ,求线段 D1 E 的长度. 3

18. (本小题满分 13 分)
x ? a, ? ? x ln x, 已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 a≥0 . ? ?? x ? 2 x ? 3, x≤a,

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 W: ? y ? 1 , 直线 l 与 W 相交于 M , N 两点,l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 C 、
2

x2 2

D 两点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,求 ?OCD 外接圆的方程; (Ⅱ)判断是否存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分)

1 (n ? N? ) . 从数列 {an } 中选出 k (k ≥ 3) 项并按原顺序组成的新 n 1 1 1 1 数列记为 {bn } , 并称 {bn } 为数列 {an } 的 k 项子列. 例如数列 , , , 为 {an } 的一个 4 项子 2 3 5 8
在数列 {an } 中, an ? 列. (Ⅰ)试写出数列 {an } 的一个 3 项子列,并使其为等差数列; (Ⅱ) 如果 {bn } 为数列 {an } 的一个 5 项子列, 且 {bn } 为等差数列, 证明:{bn } 的公差 d 满足 ?

1 ? d ? 0; 8

(Ⅲ)如果 {cn } 为数列 {an } 的一个 m(m ≥ 3) 项子列,且 {cn } 为等比数列,证明:

c1 ? c2 ? c 3 ? ? ? cm ≤ 2 ?

1 2
m ?1

.

北京市西城区 2014 年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D 2.B 6.A 3 .D 7.A 4.C 8.C

2014.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?

2 5

10. 8 12. (3,5) 14.○ 2 ,○ 3

x ? ?4

11. 2 3 13. 48

注:第 10 题第一问 2 分,第二问 3 分. 第 14 题若有错选、多选不得分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 b ? c ? a ? bc ,
2 2 2

所以 cos A ? 分

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

?????? 3

又因为 A ? (0, π) , 所以 A ? 分 (Ⅱ)解:因为 cos B ?

π . 3

?????? 5

6 , B ? (0, π) , 3
2

所以 sin B ? 1 ? cos B ? 分 由正弦定理 分

3 . 3

??????7

a b , ? sin A sin B

??????9

得 a? 分

b sin A ? 3. sin B

??????10

因为 b ? c ? a ? bc ,
2 2 2

所以 c ? 2c ? 5 ? 0 ,
2

解得 c ? 1 ? 6 , 因为 c ? 0 , 所以 c ? 6 ? 1 . 分 故△ ABC 的面积 S ? 分 ??????11

1 3 2? 3 bc sin A ? . 2 2

??????13

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: a ? 0.15 , b ? 30 . 分 (Ⅱ)解:由表可知:灯泡样品中优等品有 50 个,正品有 100 个,次品有 50 个, 所以优等品、正品和次品的比例为 50:100: 50 ? 1: 2:1 . 分 所以按分层抽样法,购买灯泡数 n ? k ? 2k ? k ? 4k (k ? N ) , 所以 n 的最小值为 4 . 分 (Ⅲ)解: X 的所有取值为 0,1, 2,3 . 分 由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为 0.1 ? 0.15 ? 0.25 , ??? 8 分 从本批次灯泡中购买 3 个,可看成 3 次独立重复试验, 所以 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? ) ?
0 3
?

?????? 2

?????? 4

?????? 6

?????? 7

1 4

27 , 64

1 1 27 , P( X ? 1) ? C1 ? (1 ? ) 2 ? 3? 4 4 64 1 1 9 2 , P( X ? 2) ? C3 ? ( )2 (1 ? )1 ? 4 4 64 1 3 1 . P( X ? 3) ? C3 3 ?( ) ? 4 64
分 所以随机变量 X 的分布列为:

?????? 11

X
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64
? ? ? ? ? ? 12

分 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 64 64 64 64 4
?????? 13

分 (注:写出 X ? B(3, ) , P( X ? k ) ? C3 ( ) (1 ? )
k k

1 4

1 4

1 4

3? k

, k ? 0,1, 2,3 . 请酌情给分)

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 和侧面 BCC1 B1 是矩形, 所以 BC ? CD , BC ? CC1 , 又因为 CD ? CC1 ? C , 所以 BC ? 平面 DCC1 D1 , 分 因为 D1 E ? 平面 DCC1 D1 , 所以 分 ??????2

BC ? D1 E .

??????4

(Ⅱ)证明:因为 BB1 //DD1 , BB1 ? DD1 , 所以四边形 D1 DBB1 是平行四边形. 连接 DB1 交 D1 B 于点 F ,连接 EF ,则 F 为 DB1 的中点. 在 ?B1CD 中,因为 DE ? CE , DF ? B1F , 所以 EF //B1C . 分 又因为 B1C ? 平面 BED1 , EF 所以 B1C // 平面 BED1 . ??????6

? 平面 BED1 ,
z A1 D1 F A D x E G B C y B1 C1

??????8 分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)可知 BC ? D1 E , 又因为 D1 E ? CD , BC ? CD ? C , 所以 D1 E ? 平面 ABCD . ??????9 分

设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点,EG,EC, ED1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴 如图建立空间直角坐标系, 设 D1 E ? a ,则 E (0, 0, 0), B(1,1, 0), D1 (0, 0, a), C (0,1, 0), B1 (1, 2, a), G(1, 0, 0) . 设平面 BED1 法向量为 n ? ( x, y, z ) , 因为 EB ? (1,1, 0), ED1 ? (0, 0, a) ,

??? ?

???? ?

??? ? ? ?n ? EB ? 0, 由 ? ???? ? n ? ED ? ? 1 ? 0,

得?

? x ? y ? 0, ? z ? 0.
??????11

令 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1, 0) . 分 设平面 BCC1 B1 法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 因为 CB ? (1, 0, 0), CB1 ? (1,1, a) ,

??? ?

????

??? ? ?m ? CB ? 0, ? 由? ???? m ? CB ? ? 1 ? 0,

得?

? x1 ? 0, ? x1 ? y1 ? az1 ? 0.

令 z1 分

? 1 ,得 m ? (0, ?a,1) .
π , 3

??????12

由平面 BCC1 B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为 得 | cos ? m , n ?|? 分 解得 a ? 1 . 分

| m?n| a π ? ? cos , m n 3 2 ? a2 ? 1

??????13

??????14

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 f ?( x) ? ( x ln x)? ? ln x ? 1 ,其中 x ? 0 , 分 所以 f ?(1) ? 1 , 又因为 f (1) ? 0 , 所以函数 分 (Ⅱ)解:先考察函数 g ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? R 的图象,
2
2 配方得 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 2 ,

?????? 2

f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .

?????? 4

?????? 5

分 所以函数 g ( x ) 在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 单调递减,且 g ( x)max ? g (1) ? ?2 . ?????? 分 因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 6

1. 所以 a≤
分 以下考察函数 h( x) ? x ln x , x ? (0, ??) 的图象,

?????? 8

则 h?( x) ? ln x ? 1 , 令 h?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 分 随着 x 变化时, h( x ) 和 h?( x) 的变化情况如下:

1 . e

?????? 9

x
h?( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ? ?) e

?


0

?


h( x)
1 e

即 函 数 h( x ) 在 (0, ) 上 单 调 递 减 , 在 ( , ? ?) 上 单 调 递 增 , 且

1 e

1 1 h( x) min ? h( ) ? ? . e e
因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,
1 所以 a≥ . e

?????? 11 分

?????? 12



1 , ? ?2 (即 h( x) min ? g ( x) max ) e 1 所以 a 的取值范围为 [ ,1] . e
因为 ? 分

?????? 13

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 所以与 x 轴的交点 C (1,0) ,与 y 轴的交点 D (0, ) . 分 则线段 CD 的中点 ( , ) , | CD |? 1 ? ( ) ?
2

1 2

?????? 1

1 1 2 4

1 2

5 , 2

?????? 3

分 即 ?OCD 外接圆的圆心为 ( , ) ,半径为

1 1 2 4

1 5 | CD |? , 2 4

所以 ?OCD 外接圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 分

1 2

1 4

5 . 16

?????? 5

(Ⅱ)解:结论:存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点. 理由如下: 由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(km ? 0) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 C (? 分

m , 0) , D(0, m) , k

?????? 6

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
分 所以 ? ? 16k ? 8m ? 8 ? 0 ,
2 2

?????? 7

(*)

?????? 8



2m 2 ? 2 ?4km 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


?????? 9

由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合. 所以 x1 ? x2 ? 分 解得 k ? ? 分 由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得 | MN |? 3 | CD | . 所以 1 ? k | x1 ? x2 |? 3 (
2

?4km m ? 0? , 2 1 ? 2k k

??????10

2 . 2

?????? 11

m 2 ) ? m2 , k

?????? 12

分 即 | x1 ? x2 |?

?4km 2 2m 2 ? 2 m ( ) ? 4 ? ? 3| | , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k k

解得 m ? ?

5 . 5

?????? 13

分 验证知(*)成立. 所以存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,此时直线 l 的方程为

y?


2 5 2 5 x? ,或 y ? ? . x? 2 5 2 5

?????? 14

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:答案不唯一. 如 3 项子列

1 1 1 , , ; 2 3 6

?????? 2 分

≥b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 0 , (Ⅱ)证明:由题意,知 1
所以 d ? b2 ? b1 ? 0 . 分 若 b1 ? 1 , 由 {bn } 为 {an } 的一个 5 项子列,得 b2 ≤ , 所以 d ? b2 ? b1≤ ? 1 ? ? ?????? 3

1 2

1 2

1 . 2

因为 b5 ? b1 ? 4d , b5 ? 0 , 所以 4d ? b5 ? b1 ? b5 ? 1 ? ?1 ,即 d ? ? 这与 d ≤ ?

1 . 4

1 矛盾. 2

所以 b1 ? 1 . 所以 b1≤ , 分 因为 b5 ? b1 ? 4d , b5 ? 0 , 所以 4d ? b5 ? b1≥b5 ? 综上,得 ? 分 (Ⅲ)证明:由题意,设 {cn } 的公比为 q ,

1 2

?????? 6

1 1 1 ? ? ,即 d ? ? , 2 2 8
?????? 7

1 ? d ? 0. 8

则 c1 ? c2 ? c 3 ? ? ? cm ? c1 (1 ? q ? q ? ? ? q
2

m ?1

).

因为 {cn } 为 {an } 的一个 m 项子列, 所以 q 为正有理数,且 q ? 1 , c1 ? 设 q?

1 ≤1 (a ? N? ) . a

K ( K , L ? N? ,且 K , L 互质, L≥2 ). L 当 K ? 1时, 1 1 因为 q ? ≤ , L 2
所以 c1 ? c2 ? c 3 ? ? ? cm ? c1 (1 ? q ? q ? ? ? q
2 m ?1

)

1 1 2 1 ? ( ) ? ? ? ( ) m?1 , 2 2 2 1 ? 2 ? ( ) m?1 , 2 1 m?1 所以 c1 ? c2 ? c 3 ? ? ? cm ≤2 ? ( ) . 2
≤1 ?
分 当 K ? 1时, 因为 cm ? c1q 所以 a ? K
m ?1

?????? 10

?

1 K m?1 是 {an } 中的项,且 K , L 互质, ? a Lm?1

m ?1

? M ( M ? N* ) ,
2 m ?1

所以 c1 ? c2 ? c 3 ? ? ? cm ? c1 (1 ? q ? q ? ? ? q

)

?
*

1 1 1 1 1 ( m?1 ? m?2 ? m?3 2 ? ? ? m?1 ) . M K K L K L L

因为 L≥2 , K,M ? N , 所以 c1 ? c2 ? c 3 ? ? ? cm ≤1 ? 综上, c1 ? c2 ? c 3 ? ? ? cm ≤2 ? 分

1 1 2 1 1 ? ( ) ? ? ? ( ) m?1 ? 2 ? ( ) m?1 . 2 2 2 2 1
.

2m?1

?????? 13



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