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2005年中考复习之相似三角形(二)



2005 年中考复习之相似三角形(二) 年中考复习之相似三角形(
知识考点: 本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用 精典例题: 【例 1】 如图, 在△ABC 中, AB=14cm, 求△ADE 的面积和周长。 分析:由 AB=14cm,CD=12cm 得 S ?ABC =84,再由 DE∥BC 可得△ABC∽△ADE,

AD 5 =

,DE∥BC,CD⊥AB,CD=12cm, BD 9



S ?ADE ? AD ? =? ? 可求得 S ?ADE ,利用勾股定理求出 BC、AC,再用相似三角形的性质 S ?ABC ? AB ?
75 2 cm ,周长为 15 cm。 7
A
E

2

可得△ADE 的周长。 答案:△ADE 的面积为
A D

A

D

P

E

M P

B

C

B

M

Q F C

B

N

C

例1图

例2图

变式 1 图

【例 2】 如图, 正方形 DEMF 内接于△ABC, S ?ADE = 1 ,S 正方形DEFM = 4 , S ?ABC 若 求

分析:首先利用正方形的面积求出其边长,过 A 点作 AQ⊥BC 于 Q,交 DE 于 P,利
用 S ?ADE 可得 AP 及 AQ 的长,再由△ADE∽△ABC 求出 BC,从而求得 S ?ABC 。 解:∵正方形的面积为 4,∴DE=MF=2。过 A 点作 AQ⊥BC 于 Q,交 DE 于 P ∵ S ?ADE = 1 ,∴AP=1

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

AP DE 1 2 = ,即 = AQ BC 3 BC

∴BC=6,故 S ?ABC =9 变式 1:如图,已知菱形 AMNP 内接于△ABC,M、N、P 分别在 AB、BC、AC 上, 如果 AB=21 cm,CA=15 cm,求菱形 AMNP 的周长。

答案:35 cm 变式 2:如图,在△ABC 中,有矩形 DEFG,G、F 在 BC 上,D、E 分别在 AB、AC 上,AH⊥BC 交 DE 于 M,DG∶DE=1∶2,BC=12 cm,AH=8 cm,求矩形的各边长。
A
C
M A D

D

M

E

M

S1
R

P

S2
T

N

P

N

S3
B G H F C
A B
B C

变式 2 图

例3图

问题一图

答案:

24 48 cm, cm 7 7

【例 3】如图,已知 P 为△ABC 内一点,过 P 点分别作直线平行于△ABC 的各边, 形成小三角形的面积 S1 、 S 2 、 S 3 ,分别为 4、9、49,求△ABC 的面积。 解:设 MP= p ,RT= r ,PN= q ,由于 S1 、 S 2 、 S 3 都相似于△ABC,设△ABC 的面积为 S ,AB= c ,则有

2
S

=

q 3 p 7 r , = , = ,三式相加得: c c S S c

2+3+ 7
S

=

p+q+r c = =1 c c

∴ S = 12 ,故 S = 144

探索与创新: 【问题一】如上图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD= a ,BC= b ,过 BD 上一 点 P 作 MN∥BC 交 AB、DC 于 M、N,若 AM∶MB= m ∶ n 。 (1)计算 PM、PN 的长; (2)当 a ∶ b = m ∶ n 时,PM 与 PN 有怎样的关系?
(3)在什么条件下才能得到 MN=

1 ( a + b) 。 2

略解: (1)∵MN∥BC,AD∥BC,∴△BPM∽△BDA,△DPN∽△DBC ∴

PM BM PN DN AM = , = = DA BA BC DC AB

又∵AM∶MB= m ∶ n ,∴BM∶AB= n ∶ ( m + n) ∴AM∶AB= m ∶ ( m + n)

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