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专题04 函数值域(最值)的求法(判别式法等)



第 04 讲:函数值域(最值)的求法

[来源:中 国教育 出版 网 zzst ep.co m]

(判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法)
【考纲要求】
[来 源:#z~zstep&.c% o*m]

1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的值域。 2、理解函数的最大值、最

小值及其几何意义。 【基础知识】 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域。
[ 中国 @^*% 教育出 #版网 ]

二、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定 义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。

3、反比例函数 y ? 4、指数函数 y ? a
x

k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y

y ? 0? .

[ 来 源 :@^&z% zstep#.com]

5、对数函数 y ? log a x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 6、幂函数 y ? x 的值域为 R,幂函数 y ? x 2 ?
3

1

x 的值域为 [0, ??) 。

[来源 &: 中 *^教 @#网 ]

7、正弦函数 y ? sin x 、余弦函数 y ? cos x 的值域为 ? ?1,1? ,正切函数 y ? tan x 的值 域为 R,余切函数 y ? cot x 的值域为 R. 四、求函数的值域常用的方法 求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、 基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。 六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的方法适用于求

函数的最值。 【方法讲评】
[ 来 源:z_zs_tep.co m]

方法六 使用情景 解题步骤
[ 中% *&@国 教育 出 ~版网 ]

判别式法 形如 y ?

dx 2 ? ex ? f 的函数。 ax 2 ? bx ? c

一般先将函数化成方程,再利用判别式来求函数的值域。

例1

求函数 y ?

2x 2 ? 4x ? 7 的值域。 x 2 ? 2x ? 3

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 即 x ? R 此时方程有实根即△ ? 0 ,
△ ? ?2( y ? 2)] ? 4( y ? 2)(3 y ? 7) ? 0 ? y ? [?
2

9 ,2]. 2

当 y ? 2 时,方程化为 7=0,显然不能成立,所以 y ? 2. 将 y ? 2, y ? ?

9 9 分别代入检验得 y ? 2 不符合方程,所以 y ? [? ,2) 。 2 2

[ 来 @^% ~源 :中国 教 #育 出版网 ]

方法七 使用情景
[ 来源 :中 ,教 ,网 z,z,s,tep]

基本不等式法 一般变量是正数,变量的和或积是定值。 一般先进行配凑,再利用基本不等式求函数的最值,从而得到函数的值域。

解题步骤

例2

已知 x ?

x2 ? 4x ? 5 5 ,求函数 f ( x) ? 的最小值。 2x ? 4 2

[来源: #zzst *ep.% com^@ ]

解:

x 2 ? 4 x ? 5 ( x ? 2) 2 ? 1 x ? 2 1 5 ? = ? ?1 x ? ,? x ? 2 ? 0 。 f ( x) ? 2( x ? 2) 2( x ? 2) 2 2 2( x ? 2)
x?2 1 ,即 x ? 3 时,上式等号成立。 ? 2 2( x ? 2)
[来源 :&中% 国教育 出^版 网~@]

当且仅当

因为 x ? 3 在定义域内,所以最小值为 1。

例 11

已知 ? ? ?0, ? ? ,求函数 y ? sin ? ? (1 ? cos? ) 的最大值。
2

【变式演练 2 】

求函数 f ( x) ?

x2 ? 3 x2 ? 1

的最小值。

[中国教 育出版 网&*^ @%]

【变式演练 3】

某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 m 2 的三级污水处理池(平

面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总 造价最低,并求出最低造价。

方法八

单调性法

使用情景 解题步骤
[ 来 源:% zzste^p.com~ @*]

函数的单调性容易判断。 先判断函数的单调性,再利用函数的单调性得到函数的值域。

例 3 求函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 5)
2

(0 ? x ? 2) 的值域。

解: 设u ? x 2 ? 3 x ? 5

(0 ? x ? 2) t ? log 2 u

[ 来% @#源 : 中 ~&教 网][ 来 #源 :~&中 教网 @% ]

3 3 u ? x 2 ? 3x ? 5(0 ? x ? 2)在[0, ]是减函数,在[ , 2]上是增函数。 2 2 又 t=log 1 u在定义域上是减函数
2

3 3 ? f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 5)在在[0, ]是增函数,在[ , 2]上是减函数 2 2 2 3 11 ? f(x)max ? f ( ) ? log 1 2 2 4 ? f ( x) min f (0) ? log 1 5
2

[ww^*#w.~zzste@p.co m]

f (2) ? log 1 3
2

11 ? log 1 5 ?函数的值域为[ log 1 5, log 1 ]. 2 2 2 4

【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间,从而得到函数的最大值和 最小值,得到函数的值域。 例4
[来源 :zzst&ep~ @.c^o% m]

求函数 y ? 2 x ?5 ? log 3

x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。

【点评】(1)如果能确定函数的单调性时,可以使用函数的单调性求函数的值域。( 2) 本题中利用了这样一个性质:增(减)函数 + 增(减)函数 = 增(减)函数。( 3 )本题

y1 ? 2 x ?5 , y 2 ? log 3 x ? 1 都是增函数,利用到了复合函数的单调性。
【变式演练 4】 【变式演练 5】 (1)当 a= 求函数 y ? 4 x ? 1 ? 3 x ( x ? ) 的值域。 已知函数 f(x)=

1 3

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x

[来源 :*~& 中^%教 网]

1 时,求函数 f(x)的最小值 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

[ 中%~国 教育出 &版*^ 网]

例 5 求函数的值域: y ? x ? 1 ? x ? 4

[ 来 源 :中 #国教育 ^@出 版网 *% ]

??2 x ? 3 ? x ? ?4 ? ? 解: y ? x ? 1 ? x ? 4 ? ? 5 ? ?4 ? x ? 1? ? 2 x ? 3 ? x ? 1? ?
函数的图像如图所示:
[ 来^& 源 :#中% 教 *网 ]

[ 中 ~国 @% *教 ^育 出版网 ]

? y ? 5 ? 函数的值域为: ?5, ?? ? .
【点评】(1)对于一些可以较快作出函数的图像的函数,可以直接作出函数的图像,再观 察函数的值域。 (2)对于绝对值函数,一般利用零点讨论法把函数化成分段函数,再作图。
[ 中 国 *教 ^&育 % #出版 网 ]

例 6 如果函数定义在区间上,求的最小值。

如图 3 所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即。当时,函数取得最小值
[ 中 国教 &育 出^@*版 #网 ][来 ~@^#& 源 : 中教网 ]

综上讨论,

[ 中 国& 教育 %出版 ~网 *#]

图3 【点评】二次函数在闭区间上的最值问题,是一种较典型的问题。如果对称轴和区间的位 置关系不能确定,常利用分类讨论和数形结合分析解答。
[ 来 &源 :中 ^国 %教育 出 *版 网 #]

例7

求函数 y ?

3 ? sin x 的值域. 2 ? cos x

[来源 ^:&*@中 ~教网 ]

解:将原函数视为定点 (2,3)到动点 (cos x, sin x) 的斜率,又知动点 (cos x, sin x) 满足单位圆 的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题, 设直线的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ? kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 因为直线和圆相切,所以 1 ?

|-2k ? 3 | k ?1
2

?k ?

6?2 3 3

所以函数的值域为: [

6?2 3 6?2 3 , ] 3 3

[ 来 &源 :zzs% tep#.@*co m]

【点评】(1)对于某些具有明显几何意义的函数,我们可以利用数形结合的方法求该函数 的值域。先找到函数对应的形态特征,再求该函数的值域。(2)由于 y ?

y1 ? y2 对应着两 x1 ? x2

点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 之间的斜率(差之比对应直线的斜率),所以本题可以利用斜率分析解 答。 例8
2 2 求函数 y ? x ? 6 x ? 13 ? x ? 4 x ? 5 的值域。

[来 源 ~&:中 @^ 教% 网 ]

【点评】要迅速地找到函数对应的形,必须注意积累。这样才能提高解题的效率。 例9

[ 来源 ~%:zzs#t*e p.co&m]

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水

化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个 单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐? 【解析】:设该儿童分别预订 x, y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z ? 2.5 x ? 4 y 。
国 教 ^&%育 #出版网 ] [中 *

可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42
[中国@ ^教%* 育出 # 版网]

[ 来^&% 源:中 教网@~ ]

6 x+10 y ≥54 x≥0, x∈N
[ 中~国& ^教育 出#* 版网]

y≥0, y∈N 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7
[ 来源: 中#国教 育~出 版*& 网^]

3 x+5 y ≥27 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 z ? 2.5 x ? 4 y =2.5×4+4×3=22 元. 【点评】线性规划的问题,就是数形结合研究问题的典型。线性规划解答问题的一般步骤

是 (1) 根据题意, 设出变量 x, y ; (2) 列出线性约束条件; (3) 确定线性目标函数 z ? f ( x, y ) ; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);( 5)利用线性目标函数作平行 直线系 y ? f ( x)( z为参数) ; (6)观察图形,找到直线 y ? f ( x)( z为参数) 在可行域上使

z 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案。
【变式演练 6】 达式及其最值。
[中&*%@ 国教育 ~出版 网]

函数 f ( x) =x -2x+2 在区间[t,t+1]上的最小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的表

2

例 10

已知函数 f(x)=xlnx.
[来 源 ~:zzste% p.c&*#om]

(1)求 f(x)的最小值;

(2)讨论关于 x 的方程 f(x)-m=0(m∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
[中国 教育 出版网* ~&%@]

[www&.z@zstep~.*c% om][ 中 国 ^教 育 &#*~出版 网]

f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,得 x= .
当 x∈(0,+∞)时, f ( x) , f ( x) 的变化情况如下:
1

1 e

x

?0,1? ? e? ? ?
- ↘

1 e 0 极小值

?1,+∞? ?e ? ? ?
+ ↗

f 1 ( x)
f ( x)

1 ?1? 所以, f ( x) 在(0,+∞)上最小值是 f? ?=- . e ?e?

? 1? ? 1 ? (2)当 x∈?0, ?时, f ( x) 单调递减且 f ( x) 的取值范围是?- ,0?; ? e? ? e ?

[ 来源:* 中@教& #网~]

?1 ? ? 1 ? 当 x∈? ,+∞?时, f ( x) 单调递增且 f ( x) 的取值范围是?- ,+∞?. e ? ? ? e ?
下面讨论 f ( x) -m=0 的解: 1 当 m<- 时,原方程无解; e 1 当 m=- 或 m≥0 时,原方程有唯一解; e

[中^国 教~* 育%&出 版网]

[中~国 教%@育 &出版 网*]

1 当- <m<0 时,原方程有两个解. e 【点评】对于结构较复杂或高次的函数,一般利用导数法来研究函数的值域。先利用导数 研究函数的单调性,再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域。 例 11 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一

点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾 处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明: 垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地 点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离 的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 为 0.065.
[ 来 *#源 ^@: 中 国教育 出版 ~网]

的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度

(1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂

对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。

18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 , 所 以 x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城
A 的距离为 4 10 时, 函数 y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

[w@ww.zzste*p.#% co&m]

1.【2012 高考真题全国卷理 9】已知 x=lnπ ,y=log52, z ? e (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x

?

1 2

,则(



(D)y<z<x
1

? 1 1 1 1 1 【解析】 x ? ln ? ? 1 , y ? log 5 2 ? , ? ? 1 ,所以 ? ,z?e 2 ? 2 log 2 5 2 e e

y ? z ? x ,选 D.
2.【2012 高考真题湖南理 8】已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y=

8 (m>0), l1 与函数 2m ? 1

y ? log 2 x 的图像从左至右相交于点 A,B , l2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于
C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时, A. 16 2 B. 8 2 C. 8 4 D. 4 4

b 的最小值为( ) a

[ 来%源& ~:*zz step. co@m]

【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=

8 (m>0), y ? log 2 x 图像如下图, 2m ? 1

[来源@ :中教 &^*网% ]

y ? log2 x
C
A B
1
D
y? 8 2m ? 1

y?m

O

x
[w w~w@. ^zzst ep.#c *om]

3.【2012 高考真题福建理 15】对于实数 a 和 b,定义运算“﹡”: a ? b ? ?

2 ? ?a ? ab, a ? b , ?b 2 ? ab, a ? b ?

设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实

数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是_________________. 【解析】由新定义得 f ( x) ? ?

?(2 x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x 2 ? x, x ? 0 ?? 2 , 2 ? ( x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ?? x ? x, x ? 0
1 ,且当 4

所以可以画出草图,若方程 f ( x) ? m 有三个根,则 0 ? m ?

x ? 0 时方程可化为 ? x 2 ? x ? m ? 0 ,易知 x2 x3 ? m ;当 x ? 0 时方
程可化为 2 x 2 ? x ? m ? 0 ,可解得 x1 ?

1 ? 1 ? 8m 1 ? 1 ? 8m ,所以 x1 x2 x3 ? m ? ,又易 4 4

知当 m ?

1 ? 1 ? 8m 1 1? 3 1 ? 1 ? 8m 1 时m? 有最小值,所以 ? ? m? ? 0 ,即 4 4 4 4 4

1? 3 ? x1 x2 x3 ? 0 . 16
【反馈训练】 1.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A. 3 B. 4 C. )
[ww~w.zz# st^ep&.@co m]

9 2

D.

11 2

5.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R(其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

) 的图象与 x 轴的交

?
2

,且图象上一个最低点为 M (

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [
3 2

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

6.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. (Ⅰ)求 b 的值;
[ 来源 #:% zzs^t~ep.co& m]

(Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。 7.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面的上、下 各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用 纸张面积最小? 如果要求λ ∈[ ,

2 3 ],那么λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 3 4

[来 ~@源 &:*中 国教 育^ 出版 网]

8.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 (2 ?

x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他
[ 来 ~源 :zz^*st% @ep.co m]

因素,记余下工程的费用为 y 万元。

(Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 9.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大 桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位: 辆/每小时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 【变式演练详细解答】
[w% w*w.zz^s&tep.c~o m]

? 原函数的值域为 ?1,5? .

[ 来 ~^#源: 中国 教育出 版网 &@]

【变式演练 2 详细解析】 由题得 f ( x) ?

x2 ? 3 x2 ? 1

?
2

( x 2 ? 1) ? 2 x2 ? 1

? x2 ? 1 ?

2 x2 ? 1

?2 2

[www.z@zs^te% ~p.com#]

当且仅当 x 2 ? 1 ?

x2 ? 1

即x ? ?1时取到等号 。所以函数的值域为 [2 2, ??)

[ 来源 ~:*& 中 ^@教网 ]

【变式演练 3 详细解析】

[来~*@源: 中国教 育出^ 版#网]

设污水池长为 x 米,则宽为 墙长为 由题得

(米),水池外圈周壁长为

(米),中间隔

(米),池底面积为 200(米 2)
[ 中国 教育*出 &%^# 版网]



(当且仅当 x ? 18 时,取到等号)

所以当水池的长为 18 米,宽为 【变式演练 4 详细解析】

100 米时,水池的造价最低为 44800 元。 9

[来 #@^~& 源:中 教网]

设 f ( x) ? 4 x, g ( x) ? ? 1 ? 3 x , 它们在定义域内都是单调递增, 所以 当x ? 时,ymin ?

1 3

4 4 ,所以函数的值域为(-?, ] 3 3

[ 来源 :zzs&% tep#*.c~o m]

【变式演练 6 详细解析】
2

[来%@源&:^ 中~教 网]

∵f(x)=x -2x+2=(x-1) +1≥1,因 x∈[t,t+1]。 (1)当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,函数最小值在顶点处取得,即 g(t)=f(1)=1。 (2)当 1>t+1,即 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,此时最小值为 g(t)=f(t+1) =t +1。 (3)当 1<t 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,此时最小值为 g(t)=f(t)=t -2t+2
2 2

2

? t 2 ? 1 (t ? 0) ? ∴当 x∈[t,t+1],f(x)的最小值是: g(t)= ? 1 (0 ? t ? ?) ?t 2 ? 2t ? 2(t ? 1) ?
当 t ? 0 时, t 2 ? 1 ? 1 ;当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? 1 当 t ? 1 时, g (t ) ? t ? 2t ? 2 ? (t ? 1) ? 1 ? 1
2 2

[来~ 源&:中 %国教 育*^ 出版网]

所以函数 g (t ) 的最小值为 1,没有最大值。 【变式演练 7 详细解析】

[来*源: 中@教网 &^%][ 来源# :%zzs ^t~ep .co&m ]

f ( x) ? x 2 e ? ax (a ? 0) ,
∴ f ( x) ? 2 xe
1 1 ? ax

? x 2 (?a )e ? ax ? e ? ax (?ax 2 ? 2 x) .
1 ? ax

令 f ( x) >0,即 f ( x) ? e

(?ax 2 ? 2 x) ? 0 得 0<x< .
a

2

?2 ? ? 2? ∴ f ( x) 在(-∞,0),? ,+∞?上是减函数,在?0, ?上是增函数. ?a ? ?
a?
2 ①当 0< <1,即 a>2 时, f ( x) 在(1,2)上是减函数,

a

∴[f(x)]max=f(1)= e ? a

2 ? 2? ?2 ? ②当 1≤ ≤2,即 1≤a≤2 时,f(x)在?1, ?上是增函数,在? ,2?上是减函数,

a

?

a?

?a

?

?2? ∴[f(x)]max=f? ?= 4a ?2 e ?2 ?a?
2 ③当 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数,

a

∴[f(x)]max=f(2)= 4e ?2 a 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e ?2 a , 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a ?2 e ?2 , 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e ? a 【反馈训练详细解答】 ]
[w~# @w*w. zzst&e p.com] [中国 教育出 版&网 ^*#%] [w*ww .~z@z step. %co#m ]

3.8【

解析】 t=

400 V 2 400 16V +16×( ) /V= + ≥2 16 =8 V 20 V 400

[来源 #~&: 中教网@ %]

4.【解析】

x 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,? 函数的定义域为 R.
y y?x

2x2 ? x ? 2 2 由y? 2 得 ? y ? 2 ? x ? ? y ? 1? x ? y ? 2 ? 0 x ? x ?1
。 ① ②

x? y ?0
当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时, 3 x ? 0 ? 0,? x ? 0 ? R ;

A

l0 : x ? 2 y ? 0
L0

1

O
当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,

2
A

x

x ? R 时,方程
?2

x? y?2? 0

? y ? 2 ? x 2 ? ? y ? 1? x ? y ? 2 ? 0 恒有实根.
? ? ? y ? 1? ? 4 ? ? y ? 2 ? ? 0
2 2

?1 ? y ? 5 且 y ? 2 .

? 原函数的值域为 ?1,5? .

2? , ?2) 得 A=2. 3 ? T ? 2? 2? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? ? ?2 2 2 2 T ? 2? 2? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? 故 ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6
5.【解析】(1)由最低点为 M (
[ 来 源 :zzst@e% p.c#o*& m]

又 ? ? (0,

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? (2) x ? [ , ],      ? 2x ? ?[ , ] 12 2 6 3 6
当 2x ? 即

?

),?? ?

?

?

[ 来源 *: 中国 &^教 #育出版 网 ~]

? ?
6
=

x?

?
2

2

,即 x ?

?

6

时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ?

?
6

?

7? 6

时 ,

f ( x) 取 得 最 小 值 -1 , 故

f ( x) 的 值 域 为 [-1,2]

当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数; 当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t ? 12t ? c ? 0 得 c ? ?3t 2 ? 12t .
2
[来 &源 %:zz^ste~p.c @o m] [ 来源 :zz^step~#.&co* m]

于是 g (t ) ? f (t ) ? t ? 6t ? ct ? ?2t ? 6t , t ? (2, ??) .
3 2 3 2

当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t )
2
[ 来源 % :&中 *^~教网 ]

在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 7.【解析】 设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840,设纸张面积为 S cm2, 则 S=(x+16)(λ x+10)=λ x2+(16λ +10)x+160, 将 x=

22 10

?
5

代入上式得

S=5000+44 10 (8 ? +

5

?

),
8cm

当8 ? =

?

,即λ = ( <1)时 S 取得最小值
5cm 5cm

5 5 8 8

此时高 x=

4840

?

=88 cm, 宽 λ x=

5 ×88=55 cm 8

8cm

如果λ ∈[ ,

2 3 2 3 ],可设 ≤λ 1<λ 2≤ , 3 4 3 4

则由 S 的表达式得

S ( ?1 ) ? S ( ?2 ) ? 44 10 (8 ?1 ? ? 44 10 ( ?1 ? ?2 )(8 ? 5

5

?1
)

? 8 ?2 ?

5

?2

)

?1?2

又 ?1?2 ≥

2 5 5 ? ,故 8- >0, 3 8 ?1?2

[ 来源 :zzs@t#e% *^p.co m]

∴S(λ 1)-S(λ 2)<0,∴S(λ )在区间[ , 从而对于λ ∈[ ,

2 3 ]内单调递增 3 4
[中 国*教育 ^#出& 版网% ]

[w&^ww~.*zz@ste p.com]

2 3 2 ],当λ = 时,S(λ )取得最小值 3 4 3

答 画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时, 所用纸张面积最小 所用纸张面积最小
[来源@:中 教网#~ &%]

如果要求λ ∈ [ ,

2 3 2 ] ,当λ = 时, 3 4 3

当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;
[ 来源% :&中 国教育 ^ 出版 *网 @]

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。
[ 来 @源 :中 #&% ~国教 育出 版网 ]

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

9. 【解析】 : (Ⅰ) 由题意: 当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?
故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? ?1

?60,

0 ? x ? 20,
[ 来源 #*: 中国% 教育 出 ~&版 网][中 国教 & 育%出 @版 网 *#]

(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3



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