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【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 直线与圆的位置关系习题 选修--课件


2017 高考数学一轮复习 几何证明选讲 第 2 讲 直线与圆的位置关系 习题 选修 4-1
A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2014·天津)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于 点 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF;②FB =FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF. 则所有正确结论的序号是 导学号 25402790 ( )
2

A.①② C.①②③ [答案] D

B.③④ D.①②④

[解析] 因为∠BAD=∠FBD,∠DBC=∠DAC,又 AE 平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC,所 以∠FBD=∠DBC,所以 BD 平分∠CBF,结论①正确;易证△ABF∽△BDF,所以 =

AB BD ,所以 AF BF

AF BF AB·BF=AF·BD,结论④正确;由 = ,得 BF2=AF·DF,结论②正确,选 D. BF DF
2 .如图,∠ ACB =90°, CD ⊥ AB 于点 D ,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E ,则 导学号 25402791 ( )

A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD D.CE·EB=CD [答案] A [解析] ∵CD⊥AB,∴以 BD 为直径的圆与 CD 相切.
1
2

2

∴CD =CE·CB. 在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高, 有 CD =AD·DB, 因此 CE·CB=AD·DB. 3.如图所示,在半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90°,D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的长为 导学号 25402792 ( )
2

2

A.

5 5 3 5 5

2 5 B. 5 D. 3 2

C.

[答案] C [解析] 延长 BO 交圆 O 于点 F,由 D 为 OB 的中点,知 DF=3,DB=1.又∠AOB=90°, 3 5 所以 AD= 5.由相交弦定理知 AD·DE=DF·DB,即 5DE=3×1,解得 DE= . 5

4.如图所示,E、C 分别是∠A 两边上的点,以 CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于 D、B, 若∠A=45°,则△AEC 与△ABD 的面积比为 导学号 25402793 ( )

A.2∶1 C. 2∶1 [答案] A

B.1∶2 D. 3∶1

[解析] 连接 BE,易知△ABD∽△AEC,求△AEC 与△ABD 的面积比即求 AE ∶AB 的值, 设 AB=a,∵∠A=45°,CE 为⊙O 的直径,

2

2

2

∴∠CBE=∠ABE=90°. ∴BE=AB=a,∴AE= 2a. ∴AE ∶AB =2a ∶a . ∴AE ∶AB =2∶1,∴S△AEC∶S△ABD=2∶1. 二、填空题 5.(2015·广东)如图,AB 为圆 O 的直径,E 为 AB 延长线上一点,过 E 作圆 O 的切线, 切 点 为 C , 过 A 作 直 线 EC 的 垂 线 , 垂 足 为 D. 若 AB = 4 , CE = 2 3 , 则 AD = ________. 导学号 25402794
2 2 2 2 2 2

[答案] 3 [解析] 连接 OC,则 OC⊥CE,由 AB=4,CE=2 3得 OE= OC +CE =4.AD⊥ED? AD∥
2 2

AD AE 6 OC,于是△ADE∽△OCE,于是 = ? AD= ×2=3. OC OE 4
6.(2015·湖北)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且 BC=3PB,则 = ________. 导学号 25402795

AB AC

[答案]

1 2
2

[解析] 因为 PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线, 由切割线定理, 知 PA =PB·PC =PB(PB+BC).因为 BC=3PB,所以 PA =4PB ,即 PA=2PB.由△PAB∽△PCA,所以 = 1 . 2 7.(2015·重庆)如图,圆 O 的弦 AB、CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长 线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,则 BE=________. 导学号 25402796
3
2 2

AB PB = AC PA

[答案] 2 [解析] 由切割线定理,知 PA =PC·PD,即 6 =3PD,解得 PD=12,所以 CD=PD-PC =9,所以 CE=6,ED=3.由相交弦定理,知 AE·BE=CE·ED,即 9BE=6×3,解得 BE=2. 8.(2015·广州综合测试一)如图,PC 是圆 O 的切线,切点为 C,直线 PA 与圆 O 交于 A、
2 2

PE B 两点,∠APC 的角平分线交弦 CA、CB 于 D、E 两点,已知 PC=3,PB=2,则 的值为 PD
________. 导学号 25402797

[答案]

2 3
2

PC2 32 9 [解析] 由切割线定理,可得 PC =PA·PB? PA= = = .由于 PC 切圆 O 于点 C,由 PB 2 2
弦切角定理可知∠PCB=∠PAD,由于 PD 是∠APC 的角平分线,则∠CPE=∠APD,所以△PCE ∽△PAD.由相似三角形得 =

PE PC 3 2 2 = =3× = . PD PA 9 9 3
2

三、解答题 9.(2015·江苏)如图,在△ABC 中,AB=AC,△ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点

D. 导学号 25402798

求证:△ABD∽△AEB. [证明] 因为 AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE 为公共角,可知△ABD∽△AEB. 10.(2015·湖南)如图,在⊙O 中,相交于点 E 的两弦 AB,CD 的中点分别是 M、N,直线

4

MO 与直线 CD 相交于点 F.证明: 导学号 25402799

(1)∠MEN+∠NOM=180°; (2)FE·FN=FM·FO. [证明] (1)如图所示.因为 M、N 分别是弦 AB,CD 的中点,所以 OM⊥AB,ON⊥CD,即 ∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+ENO=180°.又四边形的内角和等于 360°,故∠

MEN+∠NOM=180°.

(2)由(1)知,O、M、E、N 四点共圆,故由割线定理即得 FE·FN=FM·FO. 11.(2015·陕西)如图,AB 切⊙O 于点 B,直线 AO 交⊙O 于 D、E 两点,BC⊥DE,垂足为

C. 导学号 25402800

(1)证明:∠CBD=∠DBA; (2)若 AD=3DC,BC= 2,求⊙O 的直径. [解析] (1)证明:因为 DE 为⊙O 的直径, 则∠BED+∠EDB=90°, 又 BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED. 又 AB 切⊙O 于点 B,得∠DBA=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA. (2)由(1)知 BD 平分∠CBA, 则

BA AD = =3,又 BC= 2,从而 AB=3 2. BC CD
2 2

所以 AC= AB -BC =4,所以 AD=3. 由切割线定理得 AB =AD·AE,即 AE=
2

AB2 =6, AD
5

故 DE=AE-AD=3,即⊙O 的直径为 3. B 组 能力提升 1. (2015·湖北黄冈模拟)已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上, 直线 CA 与圆 O 相切于 点 A ,∠ ACB 的角平分线分别交 AB 、 AE 于 D 、 F 两点,若∠ ACB =20°,则∠ AFD = ________. 导学号 25402801

[答案] 45° [解析] 因为 AC 为圆的切线,由弦切角定理,得∠B=∠EAC. 又因为 CD 平分∠ACB,则∠ACD=∠BCD. 所以∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD. 根据三角形外角定理,得∠ADF=∠AFD. 因为 BE 是圆 O 的直径,则∠BAE=90°. 所以△ADF 是等腰直角三角形, 所以∠ADF=∠AFD=45°. 2.(2015·广东)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=4,EC 是圆 O 的切线,切点为 C,BC = 1. 过 圆 心 O 作 BC 的 平 行 线 , 分 别 交 EC 和 AC 于 点 D 和 点 P , 则 OD = ________. 导学号 25402802

[答案] 8 1 1 [解析] 由题意得 OP= BC= ,OA=2,于是 PA=CP= 2 2 1 2 15 2 2 -? ? = . 2 2

15 2 PD PC 因为∠DCP=∠B=∠POA,又∠DPC=∠APO,所以△DCP∽△AOP,故 = ,即 PD= PA PO 1 2 × 15 15 15 1 = ,所以 OD= + =8. 2 2 2 2 [点拨] 求解本题时首先结合三角形的中位线定理,再结合相似三角形的判断,然后产 生结论. 3.(2015·新课标全国Ⅱ)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交

6

于 M, N 两点, 与底边上的高 AD 交于点 G, 且与 AB, AC 分别相切于 E, F 两点. 导学号 25402803

(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 3,求四边形 EBCF 的面积. [解析] (1)证明:由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是∠CAB 的平分线.

又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥EF.从而 EF∥BC. (2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为⊙O 的弦,所以 O 在

AD 上.
连接 OE,OM,则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE, 所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为 AE=2 3,所以 AO=4,OE=2. 1 因为 OM=OE=2,DM= MN= 3,所以 OD=1. 2 10 3 于是 AD=5,AB= . 3 1 10 3 2 3 1 3 16 3 所以四边形 EBCF 的面积为 ×( ) × - ×(2 3)× = . 2 3 2 2 2 3 4.(2015·贵州遵义四中第五次月考)如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与 O1、O2 交于 C、D 两点. 导学号 25402804

求证:(1)PA·PD=PE·PC; (2)AD=AE.
7

[证明] (1)∵PE、PB 分别是⊙O2 的割线,

∴PA·PE=PD·PB.即 =

PA PD . PB PE



又∵PA,PB 分别是⊙O1 的切线和割线, ∴PA =PC·PB.即 = 由①②得 =
2

PA PC . PB PA



PD PC ,即 PA·PD=PE·PC. PE PA

(2)连接 AC,ED,设 DE 与 AB 相交于点 F. ∵BC 是⊙O1 的直径,∴∠CAB=90°, ∴AC 是⊙O2 的切线. 由(1)知 =

PA PC ,∴AC∥ED,∴AB⊥DE,∠CAD=∠ADE. PE PD

又∵AC 是⊙O2 的切线,∴∠CAD=∠AED. 又∠CAD=∠ADE,∴∠AED=∠ADE,∴AD=AE. 5.(2015·东北三省三校第一次联合模拟)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直 径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. 导学号 25402805

(1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB. [证明] (1)连接 OE.因为点 D 是 BC 的中点,点 O 是 AB 的中点, 1 所以 OD∥AC,且 OD= AC,所以∠A=∠BOD,∠AEO=∠EOD. 2 因为 OA=OE,所以∠A=∠AEO,所以∠BOD=∠EOD. 在△EOD 和△BOD 中,因为 OE=OB,∠EOD=∠BOD,OD=OD,所 以△EOD≌△BOD, 所以∠OED=∠OBD=90°,即 OE⊥ED. 因为 E 是圆 O 上一点,所以 DE 是圆 O 的切线.
8

(2)延长 DO 交圆 O 于点 F.因为△EOD≌△BOD,所以 DE=DB. 因为点 D 是 BC 的中点,所以 BC=2DB. 所以 DE·BC=DE·2DB=2DE . 因为 AC = 2OD , AB = 2OF ,所以 DM·AC + DM·AB = DM·(AC + AB) = DM·(2OD + 2OF) = 2DM·DF. 因为 DE 是圆 O 的切线,DF 是圆 O 的割线,所以 DE =DM·DF, 所以 DE·BC=DM·AC+DM·AB. 6.(2015~2016 学年河南省许昌市长葛一中高三月考题)如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是 ⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ABC. 导学号 25402806
2 2

(1) 求证:PA 是⊙O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE?ED=6?5,AE?EB=2?3,求 sin∠BCE. 2 5 [答案] (1)略 (2) 5 π π [分析] (1)由 AB 为直径,知∠ACB= ,∠CAB+∠ABC= ,由此能证明 PA 为圆的切 2 2 线. (2)设 CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m,由 AE·EB=CE·ED,得 m= 5k,由△AEC∽ △DEB,△CEB∽△AED,能求出 AB=10,BD=4 5,由此能求出 sin∠BCE. [解析] (1)证明:∵AB 为直径, π π ∴∠ACB= ,∠CAB+∠ABC= 2 2 π ∵∠PAC=∠ABC,∴∠PAC+∠CAB= , 2 ∴PA⊥AB, ∵AB 为直径,∴PA 为圆的切线. (2)设 CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m, ∵AE·EB=CE·ED,∴m= 5k, ∵△AEC∽△DEB?

BD 3m = ? BD=4 5 8 6k

9

△CEB∽△AED?

BC2 25m2-64 3k 2 2 5 = =( ) ? m=2,k= , AD2 25m2-80 m 5

∴AB=10,BD=4 5.

BD 4 5 2 5 在直角三角形 ADB 中,sin∠BAD= = = , AB 10 5
2 5 ∵∠BCE=∠BAD,∴sin∠BCE= . 5 [点评] 本题考查与圆有关的比例线线段的应用,解题时要认真审题,注意相交弦定理 和相似三角形性质的合理运用.

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