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陕西省西工大附中2013届高三第六次适应性训练考试数学文试题 Word版(附答案)



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数学(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小 题,每小题 5 分,共 50 分) 1.复数 z= A. i

2i 1? i

的虚部是(

/>) C.1 D. ?1 )
2 2

B. ?i
2

2.若命题 p : ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0 ,则 ?p 是( A. ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0

C. ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0
2

3.如图所示,矩形长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄 豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,由此我们可估计出阴影部 分的面积约为( ) A.

23 5

B.

21 5

C.

19 5

D. )

16 5

4.函数 f ( x ) ? sin x cos x 最小值是( A.-1 B.

1 2

C.

?

1 2

D.1

?x ? 2 ? 5.若 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 ?x ? y ? 2 ? ) m 倍,则 m 的值是( A.3 B . 2.5 C.2 D . 1.5
6.直线 y ? A.-2

1 2

x ? b 与曲线 y ? ?
B. 1

1 2

x ? ln x 相切,则 b 的值为(
1 2
D.-1



C. ?

7.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长 为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( ) A. 2 2 8.已知双曲线 线的离心率为( A. 2 B. 6 2 C.1 D. 2

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,则双曲

) B.2 C.

3

D.3

9.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( )
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10. 已知数列 an } { 满足 a1 ? 1 , n ?1 ? ? a A. 16 B. 20 C. 33

? 2an ( n为正奇数) ? an ? 1 ( n为正偶数)
D. 120

, 则其前 6 项之和是(

)

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填写在答题卡相应的位 置) 11.空间直角坐标系中,已知点 P 1,2,3) P 点关于平面 xoy 的对称点为 P? ,则 , (

PP? =



12 . 对 于 大 于 或 等 于 2 的 自 然 数 n 的 二 次 方 幂 有 如 下 分 解 方 式 :

2 =1+3, 2 =1+3+5, 2 =1+3+5+7, , 3 4 ? 根据上述分解规律,对任意自然数 n,当 n ? 2 时,有 2 ; n ?
2

13.椭圆两焦点为 F1 ( ?4, 0) 、 F2 (4, 0) , P 在椭圆上,若 △ PF1 F2 的面积的最大 值为 12,则椭圆方程为 ;



14.运行如下图所示的程序框图,若输出 k ? 3 ,则输入 x 的取值范围 .

15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评 阅记分) A. (选修 4—4 坐标系与参数方程)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴 与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的参数方程为

?

x ? cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 y ? sin ?

B D

? ? cos(? ? ) ? 6 .点 P 在曲线 C 上,则点 P 到直线 l 的距离的最小值为
3
B.(选修 4—1 几何证明选讲)如图,已知 Rt ?ABC 的两条 直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径作圆与斜 边 AB 交于点 D,则 BD 的长为 ; C. 选修 4—5 不等式选讲) 若对于任意实数 x 不等式 x ? | x ? 2m |? 4 ( 恒成立,则实数 m 的取值范围是: .

A

· O

C

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 75 分)
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16. (本小题满分 12 分)

已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x) , n ? (1, , 2 cos x ) , f ( x ) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a , b, c 若 f ( A) ? 4 ,b=1,? ABC 的面积 为

??

?

?? ?

3 2

,求 a 的值.

17. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥平面 ABCD , 底面四边形 ABCD 为矩形, E 为 PC 中点. (Ⅰ) 求证: AD ⊥ PC ; (Ⅱ)在线段 AC 上是否存在一点 M ,使得 PA ∥平面 EDM ,若存在,指出 M 的位置;若 不存在,说明理由.

18. (本小题满分 12 分)

已知等差数列 ? a n ? 的公差 d ? 0 ,且 a3 , a5 是方程 x ? 14 x ? 45 ? 0 的两个根.
2

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和为 Tn . n ? ?3 ?

19. (本小题满分12 分) 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表:

(Ⅰ) 从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样, 抽取一个容量为 5 的样本,问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? (Ⅱ) 从(Ⅰ)中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看 与不看营养说明的女生各一名的概率; (Ⅲ)根据以上列联表,问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说 明”有关?
性别与看营养说明列联表 单位: 名

男 看营养说明 不看营养说明 总计 附:1. ? 2 ? ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d ) .
n ( ad ? bc ) 2

女 30 20 50

总计 80 30 110

50 10 60

2.在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断: (1)当 ? 2 ?2.706 时,没有充分的证据判定变量 A, B 有关联,可以认为变量 A, B 是没有关联的; (2)当 ? 2 ?2.706 时,有 90%的把握判定变量 A, B 有关联; (3)当 ? 2 ?3.841 时,有 95%的把握判定变量 A, B 有关联; (4)当 ? 2 ?6.635 时,有 99%的把握判定变量 A, B 有关联.

20. (本小题满分 13 分)
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已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y

2

b2

,两个焦点与短轴的一 ? 1( a ? b ? 0) 右焦点 F 的坐标是(1,0)

个端点构成等边三角形. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知经过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,与 y 轴交于 M 点,且

???? ???? ???? ??? ? MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值.

21. (本小题满分 14 分) 设 f ( x ) ? e ( ax ? x ? 1) ,且该函数曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性;
x 2

(Ⅲ)证明:当 ? ? [0,

?
2

] 时, f (cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2 .

数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11.6; 12. 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ; 13. 1 C 2 D 3 A 4 C 5 A 6 D 7 A 8 B 9 C 10 C

x2 25

?

y2 9

? 1;

14. ?

?1 ? , 2? ; ?2 ?

15.A.5;

B.

16 5



C. m ? 2

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ) f ( x ) ? :

3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x .

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2 sin(2 x ?
所以最小正周期 T= ? ,对称轴方程为 x ? (Ⅱ)依题意 2 sin(2 A ?

?
6

)?3

??? (3 分) ??? (6 分)

k? 2

?

?
6

, (k ? Z ) )? 1 2

?
6 ? 3

) ? 3 ? 4, 即 sin(2 A ?

?
6

,由于 0 ? A ? ? ,所以

2A ?
又∵

?
6

?

5? 6

, A=
3

????????(9 分)

1

2 2 4 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ,所以 a ? 3
17. (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)? AD ? PD, AD ? CD :

bc sin A ?

且 b=1,∴

3

c?

3 2

, 得 c=2,在 ?ABC 中,由余弦定理得
??????????(12 分)

? A D? 平面 P D C
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? AD ? PC (Ⅱ) M 为线段 AC 的中点

??????????(6 分) ????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 【解】 (Ⅰ)依题意 a3 ? 5, a5 ? 9 , an ? 2 n ? 1 ??????????(6 分) : (Ⅱ) Tn ? 1 ?

n ?1 3n

????????(12 分)

19.(本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)根据分层抽样可得:样本中看营养说明的女生有 : 营养说明的女生有

5 50

? 30 ? 3 名,样本中不看

5 50

? 20 ? 2 名;

??????????(3 分)

(Ⅱ)记样本中看营养说明的 3 名女生为 a1 , a 2 , a3 ,不看营养说明的 2 名女生为 b1 , b2 ,从 这 5 名女生中随机选取两名,共有 10 个等可能的基本事件为: a1 , a 2 ; a1 , a3 ; a1 , b1 ;

a1 , b2 ; a 2 , a3 ; a2 , b1 ; a 2 , b2 ; a3 , b1 ; a3 , b2 ; b1 , b2 .???(5 分)
其中事件 A“选到看与不看营养说明的女生各一名” 包含了 6 个的基本事件:a1 , b1 ;a1 , b2 ;

a2 , b1 ; a 2 , b2 ; a3 , b1 ; a3 , b2 .
所以所求的概率为 P ( A) ?

?????????(7 分)

3 ? . ???????????????(8 分) 10 5 110 ? (50 ? 20 ? 30 ? 10) 2 539 (Ⅲ)根据题中的列联表得 k ? ? ? 7.486 ??(10 分) 80 ? 30 ? 60 ? 50 72 因为 7.486>6.635. 所以,有 99 %的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看
营养说明”有关. 20. (本小题满分 13 分) 【解】(Ⅰ)由题意 a ? 2, b ? : ????????????????(12 分)

6

x2 y2 3 ,椭圆方程为 ? ?1 ?????(6 分) 4 3 ???? ???? ???? ??? ? (Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得
1 1 m y1 , ?2 ? ? 1 ? 1 1 m y2
,所以 ?1 ? ?2 ? ?2 ?

?1 ? ?1 ?

1 y1 ? y2 m y1 y2

*

???(8 分)

? x ? my ? 1 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 6 my ? 9 ? 0 , 由 ? x2 y2 得 ???(10 分) ? ?1 ? 3 ?4 6m 9 8 代入*得 ?1 ? ?2 ? ? ??????(13 分) y1 ? y2 ? ? , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 3
21. (本小题满分 14 分) 【解】(Ⅰ) f ( x ) ? e ( ax ? x ? 1 ? 2 ax ? 1) ,由条件知, f (1) ? 0, 故 a ? 3 ? 2a ? 0 则 :
' x 2 '

a ? ?1
' x 2 '

????????????????(4 分)
x

(Ⅱ)于是 f ( x ) ? e ( ? x ? x ? 2) ? ? e ( x ? 2)( x ? 1) .

??????(6 分)
'

故当 x ? ? ?? , ?2 ? ? ?1, ?? ? 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? ( ?2,1) 时, f ( x ) ? 0 。 从而 f ( x ) 在 ? ?? , ? 2 ? , ?1, ?? ? 上单调递减,在 ( ?2,1) 上单调递增. ????(9 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知 f ( x ) 在 ? 0,1? 上单调递增,故 f ( x ) 在 ? 0,1? 上的最大值为 f (1) ? e, 最小值为 f (0) ? 1, ???????????????(12 分)
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从 而 对 任 意 x1 , x2 ? ? 0,1? 有

c o ?s

? ?? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ? 2 , 而 当 ? ? ? 0, ? 时 , ? 2? , ?s? ? n ? 从而 , f1(cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2 ??????????(14 分) i 0

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