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高二数学(理)周周练第六期



高二数学(理)周周练第六期
命题人: 王庆阳 2014-04-07 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求. 1.已知命题 p: ?x >2, x -8>0,那么 ?p 是
3

A. ?x ≤2, x -8≤0
3

B. ?x >2,

x -8≤0
3

C. ?x >2, x -8≤0
3

D. ?x ≤2, x -8≤0
3

2.若复数 z 满足(2-i)z=|1+2i|,则 z 的虚部为 A.

5 5

B.

5 i 5

C. 1 D.i 3.阅读右边的程序框图,则输出的 S 为 A.6 B.10 C.14 D.30 4.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是 A.ab=0 B.a+b=0 C. a +b =0
2 2

D.a=b

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.64 B.72 C.80 D.112 6.设α 、β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题: ①若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l∥β ; ②若 l∥α ,α ∥β ,则 l∥β ; ③若 l⊥α ,α ∥β ,则 l⊥β ; ④若 l∥α ,α ⊥β ,则 l⊥β 其中正确命题的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价 x (元) 销量 y (件) 4 90 5 84 6 83
1

7 80

8 75

9 68

? =-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在 由表中数据,求得线性回归方程为 y
回归直线左下方的概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

8.将函数 y=f(x)的图像向右平移
2

? 个单位,再向上平移 1 个单位后得到的函数对应的表 4

1 2

D.

2 3

达式为 y=2 sin x ,则函数 f(x)的表达式可以是 A.2sinx B.2cosx C.cos2x D.sin2x

? x+y≤2, ? 9.设实数 x,y 满足不等式组 ?y- x≤2, 则 x 2+y 2 的取值范围是 ? y≥1, ?
A.[1,2] B.[1,4] C.[ 2 ,2] D.[2,4]

x 2 y2 1(a>0)的左、右焦点, 10.如图,F1、F2 是双曲线 2 - = a 24
过 F1 的直线 l 与双曲线分别交于点 A、B,若△ABF2 为 等边三角形,则△BF1F2 的面积为 A.8 C.8 3 B.8 2 D.16

11.如图所示,点 A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交 于圆内一点 P,若 OC =m OA +2m OB , AP =λ AB ,则λ =

uuu r

uur

uuu r

uuu r

uuu r

5 6 3 C. 4
A.

B.

4 5 2 D. 3

12.在平面斜坐标系 xOy 中,x 轴方向水平向右,y 轴指向左上方,且∠xOy=

2? .平面上 3

任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若 OP =xe1+ye2(其中向量 e1,e2 分 别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量) ,则 P 点的斜坐标为(x,y) .那么以 O 为顶点, F(1,0)为焦点,x 轴为对称轴的抛物线方程为 A.3 y -16x+8y=0
2

uuu r

B.3 y +16x+8y=0
2

2

C.3 y 2 -16x-8y=0

D.3 y 2 +16x-8y=0

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 sin(

? 1 ? -α )= ,则 cos( +α )=____________. 4 3 6

14.我们把各位数字之和为 7 的四位数称为“北斗数” (如 2014 是“北斗数” ) ,则“北斗数” 中千位为 2 的共有__________个. 15.已知 a>1,且函数 y= a 与函数 y= loga x 的图象有且仅有一个公共点,则此公共点的 坐标为___________.
x

? 2-x ln =tanx+2m , ? 1 1 y ? 2+x 16 .已知 x , y∈(- , ) , m∈ R 且 m≠ 0 ,若 ? 则 = y 2 2 x ?ln 1-x = 2 tan2 -2m , - tan y ? 1+y 1 ?
____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知正项数列{ an },若对于任意正整数 p、q 均有 a p · aq = 2 (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)若 bn =n an ,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn .
p+q

成立.

18. (本小题满分 12 分) 正△ABC 的边长为 2,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 的中点(如图(1) ) . 现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A—DC—B(如图(2) ) .在图(2)中: (Ⅰ)求证:AB∥平面 DEF; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE? 证明你的结论; (Ⅲ)求二面角 E—DF—C 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 为了迎接 2014 年 3 月 30 日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛” ,举办单位在活动
3

推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有 6 个大小相同的小球,分别印有“郑 开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志.摇匀后,参加者每次从盒中同时抽取两个小球 (取出后不再放回) ,若抽到的两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖,并停止取 球;否则继续抽取.第一次取球就抽中获一等奖,第二次取球抽中获二等奖,第三次取 球抽中获三等奖,没有抽中不获奖.活动开始后,一位参加者问: “盒中有几个印有‘郑 开马拉松’的小球?”主持人说: “我只知道第一次从盒中同时抽两球,不都是‘美丽绿 城行’标志的概率是

4 . ” 5

(Ⅰ)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数; (Ⅱ)若用η 表示这位参加者抽取的次数,求η 的分布列及期望. 20. (本小题满分 12 分) 已知平面上的动点 R(x,y)及两定点 A(-2,0) ,B(2,0) ,直线 RA、RB 的斜率 分别为 k1、k2,且 k1k2=-

3 ,设动点 R 的轨迹为曲线 C. 4

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)四边形 MNPQ 的四个顶点均在曲线 C 上,且 MQ∥NP,MQ⊥x 轴,若直线 MN 和直线 QP 交于点 S(4,0) .问:四边形 MNPQ 两条对角线的交点是否为定点? 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x e
-x

.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)当 0<x<1 时 f(x)>f(

k ) ,求实数 k 的取值范围. x

22. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|+5x. (Ⅰ)求不等式 f(x)>5x+1 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.

4

高二数学(理)周周练第六期参考答案
一、 选择题 BADC CABD BCDA 二、 填空题 1 13. ; 14. 21; 15. (e, e); 4 三、解答题

1 16. ? . 2

17.解(Ⅰ)由已知,令 p ? q ? n 可得 an ? an ? 22n ,------2 分 因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n .------5 分 (Ⅱ) bn ? nan ? n ? 2n ,------6 分

Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

? (n ?1)2n?1 ? n ? 2n , ? (n ?1)2n ? n ? 2n?1,

① ②

由①-②得: ?Sn ? 1? 21 ? 22 ? 23 ? 即: ? Sn ?

? 2n ? n ? 2n?1, ------8 分

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1. ------10 分 1? 2

整理可得: Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2. ------12 分 18. 解(Ⅰ)如图(2):在 ?ABC 中,由 E、F 分别是 AC、 BC 的中点,所以 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF, EF ? 平面 DEF, ∴ AB // 平面 DEF. ------4 分 (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,以直线 DB、DC、DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 则

A(0, 0,1), B(1, 0, 0),C (0, 3, 0), E (0,

3 1 1 3 , ), F ( , , 0), 2 2 2 2
3 1 1 3 , ), DF ? ( , ,0). 2 2 2 2

AB ? (1,0, ?1), BC ? (?1, 3,0), DE ? (0,

设 BP ? ? BC ,则 AP ? AB ? BP ? (1? ?, 3?, ?1) , –---7 分
5

1 1 ? BP ? BC , 3 3 ∴在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE. ------9 分

注意到 AP ? DE ? AP ? DE ? 0 ? ? ?

(Ⅲ)平面 CDF 的法向量 DA ? (0,0,1) ,设平面 EDF 的法向量为

n ? ( x, y, z) ,
? ? DF ? n ? 0, ? ? x ? 3 y ? 0, 则? 即? 取 n ? (3, ? 3,3) ,----10 分 DE ? n ? 0, 3 y ? z ? 0, ? ? ? ?
cos ? DA ? n ?? DA ? n | DA | ? | n | ? 21 , 7

所以二面角 E-DF-C 的平面角的余弦值为

21 . ---12 分 7

19.解(Ⅰ)设印有“美丽绿城行”的球有 n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标 志为事件 A , 则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标 志的概率是 P( A) ?
4 由对立事件的概率: P ( A) = 1 ? P( A) ? . 5
2 Cn , ------3 分 2 C6

2 Cn 1 即 P( A) ? 2 ? ,解得 n ? 3. C6 5

------5 分 (Ⅱ)由已知,两种球各三个,故 ? 可能取值分别为 1, 2,3 , -----6 分

P(? ? 1) ?

C32 1 ? . ------7 分 2 C6 5

P(? ? 2) ?

1 1 2 C32 C32 C3 C3 C2 1 ? ? ? ? ,--9 分 2 2 2 2 C6 C4 C6 C4 5

P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?

3 ,则? 的分布列为: 5

?
P

1

2

3

1 5

1 5

3 5

------11 分 1 1 3 12 所以 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .------12 分 5 5 5 5
6

20.解(Ⅰ)由题知 x ? ?2 ,且 k1 ?

y y y y 3 ? ?? , , k2 ? , 则 x?2 x?2 x?2 x?2 4 --------2 分

整理得,曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) .-----------5 分 4 3

(Ⅱ)设 MP 与 x 轴交于 D(t , 0) ,则直线 MP 的方程为 x ? my ? t (m ? 0) , 记 M ( x1 , y1 ), P( x2 , y2 ) ,由对称性知 Q( x1, ? y1 ), N ( x2 , ? y2 ) ,
?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, 由? 消 x 得: (3m2 ? 4) y 2 ? 6mty ? 3t 2 ?12 ? 0 ,-----7 分 ? x ? my ? t

所以 ? ? 48(3m2 ? 4 ? t 2 ) ? 0 ,且 y1,2 ?
6mt ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? 3m ? 4 故? 2 ? y ? y ? 3t ? 12 , 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?

?6mt ? ? , 2(3m2 ? 4)

------------9 分

由 M 、N、S 三点共线知 kMS ? kNS ,即 所以 y1 (my2 ? t ? 4) ? y2 (my1 ? t ? 4) ? 0 ,

y1 ? y2 , ? x1 ? 4 x2 ? 4

整理得 2my1 y2 ? (t ? 4)( y1 ? y2 ) ? 0 ,----10 分 所以
2m(3t 2 ? 12) ? 6mt (t ? 4) ? 0 ,即 24m(t ? 1) ? 0 , t ? 1 , 3m2 ? 4

所以直线 MP 过定点 D(1, 0) ,同理可得直线 NQ 也过定点 D(1, 0) , 即四边形 MNPQ 两条对角线的交点是定点,且定点坐标为
(1, 0) .--------12 分 ) ? 0 时,x ? 1 , ) ? 0 时, 21. 解 (Ⅰ) 由题知 f ?( x) ? (1 ? x)e? x ( x ? R) , 当 f ?( x 当 f ?( x
x ? 1 ,----3 分
7

所以函数 f ( x) 的增区间为 (??,1) ,减区间为 (1, ??) ,
1 其极大值为 f (1) ? ,无极小值.-----------5 分 e k (Ⅱ) 由题知 0 ? x ? 1 , 当 k ? 0 时, 因为 ? 0 ? x ? 1 , 由⑴知函数在 (??,1) x k 单调递增,所以 f ( x) ? f ( ) ,符合题意;-------7 分 x

当 0 ? k ? 1 时,取 x ? k ,可得 f (k ) ? f (1) ,这与函数在 (??,1) 单调递增 不符;9 分 当 k ? 1 时,因为
k 1 ? ? 1 ,由⑴知函数 f ( x) 在 (1, ??) 单调递减, x x

k 1 1 1 ?1 ?x 所以 f ( ) ? f ( ) ,即只需证 f ( x) ? f ( ) ,即证 xe ? e x , x x x x

即 ln x ? x ? ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 1 1 , 2 ln x ? x ? ? 0 ,令 h( x) ? 2 ln x ? x ? (0 ? x ? 1) , x x x

? x2 ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ? ? ? 0 对 0 ? x ? 1 恒成立, x2 x2

所以 h( x) 为 (0,1) 上的减函数,所以 h( x) ? h(1) ? 0 ,
k 所以 f ( x) ? f ( ) ,符合题意.-------11 分 x

综上: k ? (??,0] [1, ??) 为所求.------------12 分 22.解 (Ⅰ)由 f ( x) ? 5x ? 1 化简可得 | 2 x ? a |? 1,
a ?1 a ?1 或x ? , 2 2 a ?1 a ?1 或x ? } .---4 分 所以,不等式 f ( x) ? 5x ? 1 的解集为 {x | x ? 2 2

即 2 x ? a ? 1 或 2 x ? a ? ?1 ,------2 分

解得: x ?

(Ⅱ)不等式 | 2 x ? a | ?5 x ? 0 等价于 5 x ? 2 x ? a ? ?5 x ,
a ? x?? , ? ?5 x ? 2 x ? a, ? 3 即? ,化简得 ? .------6 分 a ?2 x ? a ? ?5 x ?x ? ? 7 ?
8

a 若a ? 0 , 则原不等式的解集为 {x | x ? } = {x | x ? ?1} , 此时,a ? ?7 ; 7 ----8 分 a 若a ? 0 , 则原不等式的解集为 {x | x ? ? } = {x | x ? ?1} , 此时,a ? 3 . 3 综上所述, a ? ?7 或 a ? 3 .------10 分

9



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