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2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)



2017 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x∈Z|x?2},B={1,2,3},则 A∩B=( A.? B.{2} C.{2,3} D.{x|2?x<3} ) )

2. (5 分)若复数 z 满足(1+i)z=i(i 是虚数单位) ,则 z=( A. B.﹣ C.﹣ D.

3. (5 分)某校共有在职教师 200 人,其中高级教师 20 人,中级教师 100 人, 初级教师 80 人, 现采用分层抽样抽取容量为 50 的样本进行职称改革调研, 则抽 取的初级教师的人数为( A.25 B.20 C.12 D.5 4. (5 分)“a=0”是“直线 l1:ax+y﹣1=0 与直线 l2:x+ay﹣1=0 垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

5. (5 分)袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球,每个小球上分别标有 “1”“2”“3”“4”“6”这五个数,现从中随机选取三个小球,则所选的三个小球上的数 恰好能构成一个等差数列的概率是( A. B. C. D. 在区间[1,2]上是增函数,则 )

6. (5 分)已知函数 f(x)= x 实数 m 的取值范围为( A.4?m?5 ) C.m?2

B.2?m?4

D.m?4 则 x2+y2+4x 的最大( )

7. (5 分)若 x,y 满足约束条件

A.20 B.16 C.14 D.6 8. (5 分)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五 尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一 个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 等于(
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A.2

B.3

C.4

D.5 的图象交于 A,B 两点,

9. (5 分)过点 P(2,1)的直线 l 与函数 f(x)= O 为坐标原点,则( A. B.2 C.5 ) D.10 =( )

10. (5 分)如图是函数 f(x)=cos(πx+φ) (0<φ< =( )

)的部分图象,则 f(3x0)

A.

B.﹣ C.

D.﹣ ,0)是椭圆 C: =1(a>b>0)的左顶点,

11. (5 分)已知点 P(﹣2

过点 P 作圆 O:x2+y2=4 的切线,切点为 A,B,若直线 AB 恰好过椭圆 C 的左焦 点 F,则 a2+b2 的值是( )

A.12 B.13 C.14 D.15 12. (5 分)已知 f(x)=ex,g(x)=lnx,若 f(t)=g(s) ,则当 s﹣t 取得最小值 时,f(t)所在区间是( )
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A. (ln2,1)

B. ( ,ln2) C. ( , )

D. ( , )

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若双曲线的一条渐近线方程为 y= x,且双曲线经过点(2 则双曲线的标准方程为 . ,1) ,

14. (5 分)60 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所 示,则成绩不低于 80 分的学生人数是 .

15. (5 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过 F 且倾斜角为 60°的直 线 l 与抛物线 C 在第一、 四象限分别交于 A、 B 两点, 与它的准线交于点 P, 则 = .

16. (5 分)已知点 O(0,0) ,M(1,0) ,且圆 C: (x﹣5)2+(y﹣4)2=r2(r >0)上至少存在一点 P,使得|PO|= |PM|,则 r 的最小值是 .

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=﹣9,a4+a6=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{a }的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a<b< c,C=2A. (1)若 c= a,求角 A;

(2)是否存在△ABC 恰好使 a,b,c 是三个连续的自然数?若存在,求△ABC 的周长;若不存在,请说明理由. 19. (12 分)2016 年下半年,锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球
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比赛,以增强直属单位间的交流与合作,组织方统计了来自 A1,A2,A3,A4,A5 等 5 个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分,如表所示: 单位 平均身高 x(单位: cm) 平均得分 y 62 64 66 70 68 A1 170 A2 174 A3 176 A4 181 A5 179

(1)根据表中数据,求 y 关于 x 的线性回归方程; (系数精确到 0.01) (2)若 M 队平均身高为 185cm,根据(I)中所求得的回归方程,预测 M 队的 平均得分(精确到 0.01) 注:回归当初 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为





20. (12 分)椭圆 C: (1)求椭圆 C 的标准方程;

过点 A(0,

) ,离心率为



(2)过点(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点,N 是直线 x=1 上的一点,若 △NPQ 是等边三角形,求直线 l 的方程. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax2﹣ex(a∈R)在(0,+∞)上有两个零点为 x1, x2(x1<x2) (1)求实数 a 的取值范围; (2)求证:x1+x2>4.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分)已知曲线 C 的参数方程是 (1)将 C 的参数方程化为普通方程; (2)在直角坐标系 xOy 中,P(0,2) ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ+
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(α 为参数)

ρsinθ+2

=0, Q 为 C 上的动点,

求线段 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最小值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣t|(t∈R) (1)t=2 时,求不等式 f(x)>2 的解集; (2)若对于任意的 t∈[1,2],x∈[﹣1,3],f(x)?a+x 恒成立,求实数 a 的 取值范围.

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2017 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分) (2017?绵阳模拟)已知集合 A={x∈Z|x?2},B={1,2,3},则 A∩B= ( A.? ) B.{2} C.{2,3} D.{x|2?x<3}

【解答】解:∵A={x∈Z|x?2},B={1,2,3}, ∴A∩B={2,3}, 故选:C.≡

2. (5 分) (2017?绵阳模拟) 若复数 z 满足 (1+i) z=i (i 是虚数单位) , 则 z= ( A. B.﹣ C.﹣ D.



【解答】解:由(1+i)z=i, 得 = ,

故选:A.

3. (5 分) (2017?绵阳模拟)某校共有在职教师 200 人,其中高级教师 20 人, 中级教师 100 人, 初级教师 80 人, 现采用分层抽样抽取容量为 50 的样本进行职 称改革调研,则抽取的初级教师的人数为( A.25 B.20 C.12 D.5 【解答】解:∵初级教师 80 人, ∴抽取一个容量为 50 的样本,用分层抽样法抽取的初级教师人数为 解得 n=20,即初级教师人数应为 20 人, 故选:B. , )

4. (5 分) (2017?绵阳模拟)“a=0”是“直线 l1:ax+y﹣1=0 与直线 l2:x+ay﹣1=0 垂直”的( )
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解答】解:两直线垂直,得到:a?1+1?a=0,解得:a=0, 所以应是充分必要条件. 故选:C.

5. (5 分) (2017?绵阳模拟)袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球,每个 小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数,现从中随机选取三个小球,则所选的 三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是( A. B. C. D. )

【解答】解:袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球, 每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数, 从中随机选取三个小球,基本事件总数 n= =10,

所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列包含的基本事件为: (1,2,3) , (2,3,4) , (2,4,6) ,共有 m=3 个, ∴所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 p= 故选:A. .

6. (5 分) (2017?绵阳模拟)已知函数 f(x)= x 2]上是增函数,则实数 m 的取值范围为( A.4?m?5 B.2?m?4 C.m?2 ) D.m?4 ,

在区间[1,

【解答】解:函数 f(x)= x 可得 f′(x)=x2﹣mx+4,函数 f(x)= x 函数, 可得 x2﹣mx+4?0,在区间[1,2]上恒成立, 可得 m?x+ ,x+ ?2 可得 m?4.
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在区间[1,2]上是增

=4,当且仅当 x=2,时取等号、

故选:D.

7. (5 分) (2017?绵阳模拟)若 x,y 满足约束条件

则 x2+y2+4x 的最

大(



A.20 B.16 C.14 D.6

【解答】解:根据约束条件画出可行域如图: z=x2+y2+4x=(x+2)2+y2﹣4 表示点 P(﹣2,0)到可行域的点的距离的平方减 4. 由 ,解得 A(2,2)

当点 A 到点 P(﹣2,0)距离最大, z=x2+y2+4x=4+4+8=16. 故选:B.

8. (5 分) (2017?荆州模拟)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并 生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如 图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 等于 ( )

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A.2

B.3

C.4

D.5 ,b=4,满足进行循环的条件,

【解答】解:当 n=1 时,a= 当 n=2 时,a= 当 n=3 时,a= 当 n=4 时,a=

,b=8 满足进行循环的条件, ,b=16 满足进行循环的条件, ,b=32 不满足进行循环的条件,

故输出的 n 值为 4, 故选 C.

9. (5 分) (2017?绵阳模拟)过点 P(2,1)的直线 l 与函数 f(x)= 象交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则( A. B.2 C.5 D.10 =1+ ,∴函数 f(x)= ) =( )

的图

【解答】解:f(x)= 1)对称,

的图象关于点 P(2,

∴过点 P(2,1)的直线 l 与函数 f(x)= 点关于点 P(2,1)对称, ∴ ,
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的图象交于 A,B 两点,A,B 两

则 故选:D

,|

|=

,∴(



=2×5=10.

10. (5 分) (2017?绵阳模拟)如图是函数 f(x)=cos(πx+φ) (0<φ< 部分图象,则 f(3x0)=( )

)的

A.

B.﹣ C.

D.﹣ ) ,

【解答】解:∵f(x)=cos(πx+φ)的图象过点(0, ∴ =cosφ, ,可得:φ= )= , ,可得:πx0+ ,

∴结合范围 0?φ<

∴由图象可得:cos(πx0+ ∴f(3x0)=f(5)=cos(5π+ 故选:D.

=2π﹣

,解得:x0= ,

)=﹣

11. (5 分) (2017?绵阳模拟)已知点 P(﹣2

,0)是椭圆 C:

=1(a

>b>0)的左顶点,过点 P 作圆 O:x2+y2=4 的切线,切点为 A,B,若直线 AB 恰好过椭圆 C 的左焦点 F,则 a2+b2 的值是( A.12 B.13 C.14 D.15 【解答】解:由题意,a=2 . )

∵过点 P 作圆 O:x2+y2=4 的切线,切点为 A,B,若直线 AB 恰好过椭圆 C 的左 焦点 F, ∴∠APO=45°,F(﹣ ,0) ,
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∴c=

,∴b2=8﹣2=6,

∴a2+b2=8+6=14, 故选 C.

12. (5 分) (2017?绵阳模拟)已知 f(x)=ex,g(x)=lnx,若 f(t)=g(s) ,则 当 s﹣t 取得最小值时,f(t)所在区间是( A. (ln2,1) B. ( ,ln2) C. ( , ) ) D. ( , )

【解答】解:令 f(t)=g(s)=a,即 et=lns=a>0, ∴t=lns,s=ea, ∴s﹣t=ea﹣lna, (a>0) , 令 h(a)=ea﹣ , 则 h′(a)=ea﹣ , ∵y=ea 递增,y= 递减, 故存在唯一 a=a0 使得 h′(a)=0, 0<a<a0 时,ea< ,h′(a)<0, a>a0 时,ea> ,h′(a)>0, ∴h(a)min=h(a0) , 即 s﹣t 取最小值是时,f(t)=a=a0, 由零点存在定理验证 a0= 时, a0=ln2 时, ﹣ ﹣ ﹣ =0 的根的范围:

<0, >0,

故 a0∈( ,ln2) , 故选:B.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分) (2017?绵阳模拟)若双曲线的一条渐近线方程为 y= x,且双曲线经
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过点(2

,1) ,则双曲线的标准方程为

=1



【解答】解:由于双曲线的一条渐近线方程为 y= x, 则可设双曲线的方程为 y2﹣ x2=λ(λ≠0) , 由于双曲线经过点(2 则 λ=1﹣ ×8=﹣1, 则双曲线的方程为 故答案为: =1. =1. ,1) ,

14. (5 分) (2017?绵阳模拟)60 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率 分布直方图如图所示,则成绩不低于 80 分的学生人数是 24 .

【解答】解:由频率分布直方图得: 10(2a+3a+7a+6a+2a)=1,解得 a=0.005, 成绩不低于 80 分的学生所点频率为 10(6a+2a)=80a=80×0.005=0.4, ∴成绩不低于 80 分的学生人数为:0.4×60=24. 故答案为:24.

15. (5 分) (2017?绵阳模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线 C 在第一、四象限分别交于 A、B 两点,与它的 准线交于点 P,则 = .

【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y12=2px1,y22=2px2, |AB|=x1+x2+p= = p,即有 x1+x2= p,
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由直线 l 倾斜角为 60°, 则直线 l 的方程为:y﹣0= (x﹣ ) ,

联立抛物线方程,消去 y 并整理,12x2﹣20px+3p2=0, 则 x1x2= ,可得 x1= p,x2= p,

则|AP|=4p, ∴ = ,

故答案为 .

16. (5 分) (2017?绵阳模拟)已知点 O(0,0) ,M(1,0) ,且圆 C: (x﹣5)
2

+(y﹣4)2=r2(r>0)上至少存在一点 P,使得|PO|= .

|PM|,则 r 的最小值是

5﹣

【解答】解:设 P(x,y) , ∵|PO|= |PM|,

∴x2+y2=2(x﹣1)2+2y2,即(x﹣2)2+y2=2, 圆心距= ∴r 的最小值是 5﹣ 故答案为:5﹣ . . =r+ ,

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分) (2017?绵阳模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=﹣9, a4+a6=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{a }的前 n 项和 Tn.

【解答】解: (1)设{an}的公差为 d,则由题意可得 分)
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…(3

解得 a1=﹣4,d=1,…(5 分) ∴an=﹣4+1×(n﹣1)=n﹣5. (2)Tn=a1+a2+a3+…+an+ = = …(10 分) …(6 分)

=

.…(12 分)

18. (12 分) (2017?绵阳模拟)已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,且 a<b<c,C=2A. (1)若 c= a,求角 A;

(2)是否存在△ABC 恰好使 a,b,c 是三个连续的自然数?若存在,求△ABC 的周长;若不存在,请说明理由. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵c= a, sinA. sinA, …(2 分)

∴由正弦定理有 sinC= 又 C=2A,即 sin2A= 于是 2sinAcosA=

sinA,…(4 分) ,

在△ABC 中,sinA≠0,于是 cosA= ∴A= . …(6 分)

(2)根据已知条件可设 a=n,b=n+1,c=n+2,n∈N*. 由 C=2A,得 sinC=sin2A=2sinAcosA, ∴cosA= 由余弦定理得 . …(8 分) = ,代入 a,b,c 可得:

=

,…(10 分)
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解得 n=4, ∴a=4,b=5,c=6,从而△ABC 的周长为 15, 即存在满足条件的△ABC,其周长为 15. …(12 分)

19. (12 分) (2017?绵阳模拟)2016 年下半年,锦阳市教体局举行了市教育系统 直属单位职工篮球比赛,以增强直属单位间的交流与合作,组织方统计了来自 A1,A2,A3,A4,A5 等 5 个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均 得分,如表所示: 单位 平均身高 x(单位: cm) 平均得分 y 62 64 66 70 68 A1 170 A2 174 A3 176 A4 181 A5 179

(1)根据表中数据,求 y 关于 x 的线性回归方程; (系数精确到 0.01) (2)若 M 队平均身高为 185cm,根据(I)中所求得的回归方程,预测 M 队的 平均得分(精确到 0.01) 注:回归当初 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为





【解答】解: (1)由已知有 =176, =66,

=

≈0.73,

=﹣62.48,

∴y=0.73x﹣62.48.…(10 分) (2)x=185,代入回归方程得 y=0.73×185﹣62.48=72.57, 即可预测 M 队的平均得分为 72.57. …(12 分)

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20. (12 分) (2017?绵阳模拟)椭圆 C: 离心率为 .

过点 A(0,

) ,

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点,N 是直线 x=1 上的一点,若 △NPQ 是等边三角形,求直线 l 的方程. 【解答】解: (Ⅰ) 点 A(0, 设椭圆 C 的焦半距为 c,则 又 a2=b2+c2,代入解得 a2=8, ∴椭圆 C 的标准方程为 =1. ) )在椭圆 C 上,于是 ,即 , =1,即 b2=2.

(Ⅱ)设直线 PQ:x=ty+1,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 联立直线与椭圆方程: ,消去 x 得: (t2+4)y2+2ty﹣7=0,

∴y1+y2=﹣

,y1y2=

. , .

于是 x1+x2=t(y1+y2)+2= 故线段 PQ 的中点 D

设 N(﹣1,y0) ,由|NP|=|NQ|,则 kND?kPQ=﹣1,



=﹣t,整理得 y0=t+

,得 N



又△NPQ 是等边三角形, ∴|ND|= 即 |PQ|,即 + = , ,

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整理得 解得 t2=10,t=

= ,



∴直线 l 的方程是 x

﹣1=0.

21. (12 分) (2017?绵阳模拟)已知函数 f(x)=ax2﹣ex(a∈R)在(0,+∞) 上有两个零点为 x1,x2(x1<x2) (1)求实数 a 的取值范围; (2)求证:x1+x2>4. 【解答】 (1)解:∵f(x)=ax2﹣ex(a∈R)在(0,+∞)上有两个零点, ∴方程 a= 有两个根,等价于 y=a 与 有两个交点.

令 h(x)=

,则 h′(x)=

,…(3 分)

于是 x∈(0,2)时,h′(x)<0,即 h(x)在(0,2)上单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,即 h(x)在(2,+∞)上单调递增, ∴h(x)min=h(2)= ∴a 的取值范围为( , ,+∞) . …(5 分)

(2)证明:∵x1,x2(x1<x2)是 f(x)=ax2﹣ex(a∈R)在(0,+∞)上的零 点, ∴ax12= ,ax22= , )2= . …(7 分)

两式相除可得(



=t(t>1) ,① ,即 x2﹣x1=2lnt,② ,x2= . …(9 分)

上式变为 t2= 联立①②解得:x1= 要证明 x1+x2>4,

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即证明

+

>4,

即证明 lnt+tlnt>2t﹣2. 令 h(t)=lnt+tlnt﹣2t+2,则 h′(t)= +lnt﹣1. …(10 分) 令 y= +lnt﹣1,y′= >0,

故 y= +lnt﹣1 在(1,+∞)上单调递增,故 y>0,即 h′(t)>0, 故 h(t)在(1,+∞)上单调递增,故 h(t)>h(1)=0, 即 lnt+tlnt>2t﹣2,得证. …(12 分)

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分) (2017?绵阳模拟)已知曲线 C 的参数方程是 数) (1)将 C 的参数方程化为普通方程; (2)在直角坐标系 xOy 中,P(0,2) ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ+ ρsinθ+2 =0, Q 为 C 上的动点, (α 为参

求线段 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最小值. 【解答】解: (1)消去参数得,曲线 C 的普通方程得 (2)将直线 l 的方程化为普通方程为 x+ 设 Q( cosα,sinα) ,则 M( y+2 =0. =1. …(5 分)

cosα,1+ sinα) ,

∴d= ∴最小值是 .…(10 分)

=



[选修 4-5:不等式选讲] 23. (2017?绵阳模拟)已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣t|(t∈R) (1)t=2 时,求不等式 f(x)>2 的解集; (2)若对于任意的 t∈[1,2],x∈[﹣1,3],f(x)?a+x 恒成立,求实数 a 的
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取值范围. 【解答】解: (1)当 t=2 时,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|, 若 x?1,则 f(x)=3﹣2x,于是由 f(x)>2,解得 x< ,综合得 x< ; 若 1<x<2,则 f(x)=1,显然 f(x)>2 不成立; 若 x?2,则 f(x)=2x﹣3,于是由 f(x)>2,解得 x> ,综合得 x> ∴不等式 f(x)>2 的解集为{x|x< ,或 x> }. (2)f(x)?a+x 等价于 a?f(x)﹣x,令 g(x)=f(x)﹣x, 当﹣1?x?1 时,g(x)=1+t﹣3x,显然 g(x)min=g(1)=t﹣2, 当 1<x<t 时,g(x)=t﹣1﹣x,此时 g(x)>g(1)=t﹣2, 当 t?x?3 时,g(x)=x﹣t﹣1,g(x)min=g(1)=t﹣2, ∴当 x∈[1,3]时,g(x)min=t﹣2, 又∵t∈[1,2], ∴g(x)min?﹣1,即 a?﹣1, 综上,a 的取值范围是 a?﹣1.

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参与本试卷答题和审题的老师有: sllwyn; sxs123; lcb001; 刘老师; zlzhan; qiss; 陈远才;双曲线;w3239003;沂蒙松(排名不分先后) 菁优网 2017 年 2 月 23 日

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