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江西省景德镇市2013届高三上学期第二次质检数学(理)试题



景德镇市 2013 届高三第二次质检试题 数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,第小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ?

?2,4? ,则(CuA)∪B 为( A. ?1, 2, 4? 2.复数 z ? B. ?2,3,4? C. ?0,2,4? D. ?0, 2,3, 4? ) . D.第四象限 ) .

i 在复平面上对应的点位于( 1? i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

3.学校要从高三(1)(2)(3) 、 、 ,这三个班抽取 5 个人参加环保志愿者,每班至少有一 人参加,则不同的抽调方法有( A.3 B.4 )种. C.5 D.6

? 4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0) 两相邻对称轴间的距离为 6 2? ,则 ? 的值为( ) . 3 2 3 3? 2? A. B. C. D. 3 2 2 3
5.设 ?an ? , ?bn ? 分别为等差数列和等比数列,且 a1 ? b1 ? 4 ,

开始

S=1,k=1

S=S2+k

a4 ? b4 ? 1 ,则以下结论正确的是(
A. a2 ? b2 B.

) . C. a5 ? b5 D. a6 ? b6 ) .


k=k+1

a3 ? b3

6.如图所示:若输出的 S 为 1525,则判断框内应填( A. k ? 4 C. k ? 4 B. D.
k?4 k?4

否 输出S 结束

7.函数 y ? ln x 的图象为(
y y

) .
y y

x O O

x

x O O

x

A

A

B

C

D

B

C
D1 A1 B1 E C1

D
E 为

8.如图长方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中,AB ? AA 1 ? 4 ,BC ? 1 ,

C1C 的中点,一只蚂蚁从 A 出发沿表面到 E 点的最短路程
( ) . B. 5 D. 2 ? 17



A. 21 C. 29

D A B

C

9.以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点 M , N ,椭圆的左焦点 为 F1 ,且直线 MF1 与此圆相切,则椭圆的离心率 e 为( A.
3 2

) . D.

B. 2 ? 3

C.

2 2

3 ?1

10.如图:已知方程为

x2 y 2 ? ? 1 的椭圆, A, B 为顶点,过右焦点的弦 MN 的长度为 y , 4 2

中心 O 到弦 MN 的距离为 d , M 从右顶点 A 开始按逆时针方向在椭圆上移动到 B 停止, 点 当 0? ? ?MFA ? 90? 时,记 x ? d ,当 90 ??? MFA? 180? ,记 x ? 2 2 ? d ,函数 y ? f ( x) 图 像是( ) .
B

y
M A

x

O
N
y 4 3 2 1 x O 1 2 3 4
O 1 2 3 4 4 3 2 1 x y
4 3 2 1

F

y
4 3 2 1

y

x O
1 2 3 4

x O
1 2 3 4

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分.

11.若函数 f ( x) 为偶函数,且 ? f ( x)dx ?8 ,则 ? f ( x)dx 等于
0 ?6

6

6



12.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1, 2,3, 4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如下表 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 . . 5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个方差 S 2 = 13.某几何体的三视图如图,则该几何体体积为
2 1 3 主视图 1 左视图

1 俯视图

y2 ? 1 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 直 线 x ? 4 上 的 动 点 , 若 14 . 设 双 曲 线 x ? 3
2

?F1PF2 ? ? ,则 ? 的最大值为



三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,按第一题评阅计分,本题共 5 分.

s ? x ? 2 ? 3 c o? 15 . 1 ) 设 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ? ( ? ? y ? ?1 ? 3 s i n

为 (?   参 数 ) , 直 线 l 的 方 程 为 . .

3x ? 4y ? 1 0? 0 ,则曲线 C 上的动点 P( x , y) 到直线 l 的距离的最大值为

(2)若存在实数 x 满足不等式 x ? 3 ? x ? 5 ? m2 ? m ,则实数 m 的取值范围是

四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) tan A ? tan B b ? c ? 已知 ?ABC 中三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,满足 . tan A ? tan B c (1)求 ? A 的值; (2)若 a ? 3 ,求 S?ABC 的最大值. 17. (本小题满分 12 分)

甲、乙、丙、丁四人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局四人同时出剪刀、石头、 布中的一种手势,且是相互独立的,设在一局中甲赢的人数为 ? . (1)在一局中甲恰好赢 3 人的概率; (2)列出随机变量 ? 的分布列并求 E? . B
1

C1

18. (本小题满分 12 分) 已知等腰直角三角形 ABC 中, ?BAC ? 90? , D 为 AC 的 方形 BCC 1 B1 与 ABC 所在的平面垂直, AB ? 2 . (1)求证 AB1 平行平面 DBC1 ; (2)求 DC1 与平面 ABC1 夹角的正弦值.

中点, 正
B D A C

19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为单调递增的等比数列,且 a1 ? a2 ? a3 ? ?27 ,b1b2b3 ? 512 , a 1 ?b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 . (1)求 a2 ? b2 的值及数列 ?an ? , ?bn ? 的通项; (2)若 cn ?
bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . (bn ? 2)(bn ? 1)

20. (本小题满分 13 分) 2 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,离心率 e ? ,椭圆上的点到焦点的 2 最短距离为 2 ? 2 , 直线 l 经过 y 轴上一点 M (0, m) ,且与椭圆 C 交于相异两点 A, B ,且 ???? ??? ? ? AM ? 3MB . 20.求椭圆的标准方程; 21.求 m 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)
1 2 1 x ? 2 2 ] 18. 求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的 单 调 区 间 , 并 证 明 对 [? 1, 1上 的 任 意 x1 , x 2, x 3, 都 有

设 f ( x) ? ln( x2 ? 1) , g ( x) ?

F ( x )? F ( x ? 1 2 )

; F ( 3x )
a ?1 的取值范围. b ?1

19. 将 y ? f ( x) 的图像向下平移 a ( a ? 0 )个单位,同时将 y ? g ( x) 的图像向上平移 b ( b ? 0 )个单位,使它们恰有四个交点,求

答案

一、选择题:本大题共 10 小题,第小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. CADBA BCBDB 二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. 11.16 12.
2 5

13.

7 2

14.

? 6

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题 共 5 分. 15. (1) 7 (2) (??, ?1) ? (2, ??)

四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. tan A ? tan B sin B ? sin C sin A cos B ? cos A sin B sin B ? sin C ? ? ? 16、解: (1) tan A ? tan B sin C sin A cos B ? cos A sin B sin C ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B 1 ? ?2 cos A sin B ? sin B ? cos A ? ? ? A ? 120? ???????6 分 2 (2) a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ? 3 ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc
? bc ? 1

1 3 ∴ S?ABC ? bcsin A ? 2 4 3 ???????12 分 4

当 b ? c 时, S?ABC 的最大值为

1 C3 1 17. 解: (1) P(? ? 3) ? 4 ? ???????4 分 3 27 1 C3 ? 23 8 ? 34 27

(2) P(? ? 0) ?

???????6 分

P(? ? 1) ?

1 1 C3 ? C3 ? 22 12 4 ? ? ???????8 分 34 27 9

1 C3 ? C32 ? 2 6 2 P(? ? 2) ? ? ? ???????10 分 34 27 9

P(? ? 3) ?

1 C3 1 ? 4 3 27

?
P

0 8 27

1 4 9

2 2 9

3 1 27

4 2 1 ? 1.???????12 分 (2) E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? 9 9 27

18.解: (1)连 B1C ,设 B1C 交 BC 1 于 O ,连 OD 则 OD // AB1 , OD ? 面BDC1 ,得 AB1 平行平面 DBC1 ???????6 分 (2) VD? ABC1 ? VC1 ? ABD 得 D 到面 ABC1 的距离为
6 ???????10 分 3 6 ???????12 分 9

DC1 ? 3, ? DC1 与 ABC1 夹角的正弦为

方法二 如图建立坐标系 ??? ? ???? ? ???? ? AB ? (0,2,0) , AC1 ? (2,0,2 2) , DC1 ? (1,0,2 2) ,???????6 分

? 设平面 ABC 1 的法向量 n ? ( x, y, z)
? ??? ? ?n?AB ? 0 ?y ? 0 ? ? ? ? 由 ? ? ???? ? ?2 x ? 2 2 z ? 0 ?n?AC1 ? 0 ? ? ? 令 x ? ? 2 ,得 z ? 1 , n ? (? 2,0,1) ???????
B1

Z C1

9分
? ???? ? ? ???? ? n?DC1 6 ???????11 分 cos ? n, DC1 ?? ? ???? ? ? 9 n ?DC1
Y B D A C X

? DC1 与平面 ABC1 夹角的正弦为

6 ???????12 分 9

19. 解: (1)由题意得 a2 ? ?9 , b 2 ? 8 所以 a2 ? b2 ? ?1 ???????2 分

设 a 1 ? ?9 ? d , a3 ? ?9 ? d ,
b 1? 8 , b 3 ? 8q , q

8 ? 1 ? ?q ? 2 ?q ? ??9 ? d ? ? 1 得? 解得 ? 或? q 2 (舍去) ?d ? ?6 ? d ? 6 ??9 ? d ? 8q ? 1 ? ?
an ? ?3 ? (n ?1) ? (?6) ? 3 ? 6n

bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1
(2) cn ?

???????6 分

bn 2n?1 ? n?1 (bn ? 2)(bn ? 1) (2 ? 2)(2n?1 ?1)

?

2n 1 1 ? n ? n?1 n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

? Sn ? c1 ? c 2 ?c 3 ??? cn
=(
1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ?? ? ( n ? n?1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

=1 ?

1 2n ?1 ? 1

?

2n ?1 ? 2 .???????12 分 2n ?1 ? 1

20. 解: (1)设 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

由条件得 a ? c ? 2 ? 2 , e ?

c 2 ? a 2

? a ? 2, b ? c ? 2
?

椭圆的方程:

x2 y 2 ? ? 1 ???????4 分 2 4

(2)当直线斜率不存在时, m ? ?1

???????5 分

当直线斜率存在时,设直线 l 与椭圆 C 交点为 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? kx ? m ? ? 2 ? (k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx ? (m2 ? 4) ? 0 2 ?2 x ? y ? 4
? ? 8(2k 2 ? m2 ? 4) ? 0
x1 ? x2 ? ?2km k2 ? 2


x1 x2 ? m2 ? 4 k2 ? 2





???????7 分

???? ? ???? ? AM ? 3MB

? ? x1 ? 3x2



由①、②、③消去 x1 , x2 得 3(
km 2 m2 ? 4 ) ? 2 ?0 k2 ? 2 k ?2

? 4k 2 (m2 ?1) ? 2m2 ? 8 ? 0
m2 ? 1 时,上式不成立, m2 ? 1 时, k 2 ?

???????9 分

8 ? 2m 2 4 ? m2 ? ?0 4(m2 ? 1) 2(m2 ? 1)
1? m ? 2

得 ?2 ? m ? ?1 或

???????11 分

把 k2 ?

4 ? m2 代入※ 2(m2 ? 1)

4 ? m2 得 2[ ] ? m2 ? 4 ? 0 2 2(m ? 1)
解得 ?2 ? m ? ?1 或 1 ? m ? 2 综上: m 的范围为 ?2 ? m ? ?1 或 1 ? m ? 2 ???????13 分

1 1 21. 解: (1) F ( x) ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 2 2

F ?( x) ?

2x x( x ? 1)( x ? 1) ?x?? x ?1 x2 ? 1
2

F ?( x) , F ( x) 取值变化如下表

x
F ?( x)
F ( x)

(??, ?1)

(?1, 0)

(0,1)

(1, ??)

?
?

?
?

?
?

?
?

故 F ( x) 在 (??, ?1) 和 (0,1) 上分别递增, 在 (?1, 0) 和 (1,??) 上分别递减???????4 分
1 2

在 [?1,1] 上 F ( x) 的最小值 F ( x) min ? F (0) ?

F ( x) 的最大值 F ( x)max ? F (1) ? F (?1) ? ln 2

所以 F ( x1 ) ? F ( x 2 ) ? 2F ( x)min ? 1 而 F ( x3 ) ? F ( x)max ? ln 2 故 F ( x1 ) ? F ( x 2 ) ? F ( x3 ) ???????6 分
1 2 1 x ? ? b 的图像恰有四个交点 2 2

(2)由题意 即 y ? ln( x2 ? 1) ? a 与 y ?
1 2 1 x ? ?b 2 2 1 1 ? a ? b ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? ? F ( x) 2 2 1 由(1) F ( x) 极小值 ? F (0) ? , 2

由 ln( x 2 ? 1) ? a ?

F ( x)极大值 ? F (1) ? ln 2
又 F (4) ? F (?4) ? 0 ? F (0) 所以 F ( x) 的大致图像为???????8
-1 1 2

y

ln2

x

1



如图使 y ? a ? b 与 y ? F ( x) 恰有四个交点,
?1 ? 2 ? a ? b ? ln 2 ? 1 则 ? a ? b ? ln 2 ,由 ?a ? 0 2 ?b ? 0 ? ?
a

1

得 (b, a ) 的可行域如图???????12 分
a ?1 可视为点 P(?1, ?1) 与可行域内的点连线的 b ?1 斜率 1 a ?1 ? ? 1 ? ln 2 .???????14 分 故 1 ? ln 2 b ? 1

–1

O

1

b



–1



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