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数列综合(教师版)


数列综合练习(教师用)
1.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值为 解析 a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,2a9-a10=2(a8+d)-(a8+2d)=a8=24. a2 9 2.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则a 的值为 11 解析 由等比数列性质可知
5 a3a5a7a9a11=a7=243,所以得

a2 a7a11 9 a7=3,又a = a =a7, 11 11

2f?n?+n 3.设函数 f(x)满足 f(n+1)= 2 (n∈N*),且 f(1)=2,则 f(20)=

解析

? ? ?f?19?=f?18?+18 n 2 f(n+1)=f(n)+2,∴? ??? 1 ?f?2?=f?1?+2 ?

19 f?20?=f?19?+ 2

19×20 1 2 19 累加得:f(20)=f(1)+(2+2+?+ 2 )=f(1)+ 4 =97. 4.在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,且 S2011=-2011,a1007=3,则 S2012 的值为 解析 解法一 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,根据题意可得,

?S2011=2011a1+2011×?2011-1?d=-2011 2 ? ?a1007=a1+1006d=3,

? ?a1+1005d=-1 即? ?a1+1006d=3, ?

?a1=-4021 ? 2012×?2012-1? 解得? 所以,S2012=2012a1+ d 2 ?d=4. ?

=2012×(-4021)+2012×2011×2=2012×(4022-4021)=2012. 解法二 由 S2011= 2011?a1+a2011? =2011a1006=-2011, 2 2012?a1+a2012? 2012?a1006+a1007? 2012×?-1+3? = = =2012. 2 2 2

解得 a1006=-1, S2012= 则

5.(2012· 海淀区)设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数 列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________.

解析 由 x2-x<2nx(n∈N*)得 0<x<2n+1(n∈N*). 当 n=1 时,0<x<3,此解集中整数的个数有 2 个,即 a1=2; 当 n=2 时,0<x<5,此解集中整数的个数有 4 个,即 a2=4; 当 n=3 时,0<x<7,此解集中整数的个数有 6 个,即 a3=6; 可见数列{an}的通项公式为 an=2n, 1 ∴S100=100×2+2×100×(100-1)×2=10100. 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 6.已知数列 1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,?,则6是此数列中的 1 1 2 解析 将数列分为第 1 组一个,第 2 组二个,?,第 n 组 n 个,(1),(2,1), 1 2 3 1 2 n 5 (3,2,1),?,(n, ,?,1),则第 n 组中每个数分子分母的和为 n+1,则6为 n-1 第 10 组中的第 5 个,其项数为(1+2+3+?+9)+5=50. an+2 an+1 7.定义:在数列{an}中,若满足 - a =d(n∈N*,d 为常数),我们称{an}为“等 a n +1 n a2009 差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中,a1=a2=1,a3=2,则a 的个位数字是 2006 an+1 a3 a2 解析 由 a1=a2=1,a3=2,得a -a =1=d,设 a =bn,则 bn+1-bn=1, 2 1 n an+1 且 b1=1.∴bn=n,即 a =n, n a2 a3 an ∴an=a1· · · ?· =1×1×2×3×?×(n-1), a1 a2 an-1 a2009 ∴a =2006×2007×2008,它的个位数字是 6..
2006

S10 31 8. 等比数列{an}的首项为 a1=1, n 项和为 Sn, S =32, 前 若 则公比 q 等于________.
5

解析

S10-S5 31-32 S10 31 1 1 1 =32,所以 S = 32 =-32,即 q5=(-2)5,所以 q=-2. S5 5

3 9.已知 an= (n∈N+),数列{an}的前 n 项和为 Sn,则使 Sn>0 的 n 的最小值是 2n-11 3 11 解析 令 f(x)= 知 f(x)关于( 2 ,0)对称, 2x-11 ∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a5+a6=0, 且 a6>a7>a8>a9>a10>?>0, ∴S10=0,S11>0,答案是:11 10.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,

则 b10=________. 解析 an+an+1=bn,an·n+1=2n,∴an+1·n+2=2n+1, a a ∴an+2=2an,又∵a1=1,a1·2=2,∴a2=2. a ∴a2n=2n,a2n-1=2n-1(n∈N*).∴b10=a10+a11=64. 11.已知二次函数 f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{an}的前 n 4 项和 Sn=f(n)(n∈N*),设 cn=1-a (n∈N*),定义所有满足 cm·m+1<0 的正整数 m 的个数, c
n

称为这个数列{cn}的变号数,求数列{cn}的变号数 解析 依题意,Δ=a2-4a=0,∴a=0 或 a=4. 又由 a>0 得 a=4,f(x)=x2-4x+4.∴Sn=n2-4n+4. 当 n=1 时,a1=S1=1-4+4=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-5.
?1 ∴an=? ?2n-5

?n=1?, ?n≥2?.

?-3 由题设 cn=? 4 1- ? 2n-5

?n=1?, ?n≥2,n∈N*?.

2n-9 4 由 1- = 可知,当 n≥5 时,恒有 an>0. 2n-5 2n-5 1 又 c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-3, 即 c1·2<0,c2·3<0,c4·5<0,∴数列{cn}的变号数为 3. c c c 12.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; Tn-2 (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1, 数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2010 的 n 2n-1 的最小值. 解析 (1)因为 Sn+n=2an,所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*). 两式相减得 an=2an-1+1.所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*), 所以数列{an+1}为等比数列.因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1. a1+1=2,所以 an+1=2n,所以 an=2n-1. (2)因为 bn=(2n+1)an+2n+1,所以 bn=(2n+1)·n. 2

所以 Tn=3×2+5×22+7×23+?+(2n-1)·n-1+(2n+1)·n,① 2 2 2Tn=3×22+5×23+?+(2n-1)·n+(2n+1)·n+1,② 2 2 ①-②得:-Tn=3×2+2(22+23+?+2n)-(2n+1)·n+1 2 22-2n+1 =6+2× -(2n+1)·n+1=-2+2n+2-(2n+1)·n+1=-2-(2n-1)·n+1. 2 2 2 1-2 所以 Tn=2+(2n-1)· 2
n+1

Tn-2 2+?2n-1?·n+1 2 .若 >2010,则 >2010,即 2n+1>2010. 2n-1 2n-1

由于 210=1024,211=2048,所以 n+1≥11,即 n≥10. Tn-2 所以满足不等式 >2010 的 n 的最小值是 10. 2n-1


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