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辽宁省沈阳二中2016届高三上学期期中数学试卷(理科)



2015-2016 学年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号涂在答题卡上.) 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 值为( A.28 B.32 C.33 D.27 )

2. 已知集合 A={﹣1, 1},

B={x|ax+2=0}, 若 B? A, 则实数 a 的所有可能取值的集合为( A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,0,2}

)

3.下列函数中最小值为 4 的是( A.y=x+ B.y=

)

C.y=e +4e

x

﹣x

D.y=sinx+

, (0<x<π )

4.设 a=30.5,b=log32,c=cos2,则(

)

A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a

5.下列叙述中,正确的个数是(

)

①命题 p:“? x∈R,x2﹣2≥0”的否定形式为¬p:“? x∈R,x2﹣2<0”; ②O 是△ABC 所在平面上一点,若 ? = ? = ? ,则 O 是△ABC 的垂心;

③“M>N”是“( )M>( )N”的充分不必要条件; ④命题“若 x ﹣3x﹣4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x ﹣3x﹣4≠0”. A.1 B.2 C.3 D.4
2 2

6.如图,正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,那么异 面直线 EF 与 SA 所成的角等于( )

A.90° B.60° C.45° D.30°

7.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a7=9a3,则

=(

)

A.9

B.5

C.

D.

8.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(

)

A.4

B.

C.

D.8

9.平面内有三个向量 且

,其中 ,若



夹角为 120°,



的夹角为 30°, )

, (λ ,μ ∈R)则(

A.λ =4,μ =2

B.

C.

D.

10.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.3a﹣1 B.1﹣3a C.3﹣a﹣1 D.1﹣3﹣a )

,则

11.如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在△ABC 中用余弦定理解得 ,乙同学在 Rt△ACH 中解得 区间为( ) ,据此可得 cos72°的值所在

A. (0.1,0.2) B. (0.2,0.3) C. (0.3,0.4) D. (0.4,0.5)

12.已知函数 f(x)=e ,g(x)=lnx+ ,对? a∈R,? b∈(0,+∞) ,使得 f(a)=g(b) ,
2x

则 b﹣a 的最小值为( A.1+ ln2

) ﹣1 D.e2﹣

B.1﹣ ln2 C.2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.由直线 x=0,x= ,y=0 与曲线 y=2sinx 所围成的图形的面积等于__________.

14.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是__________.

15.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点 P,Q,且满足 A1P=BQ,M 是 棱 CA 上的动点,则 的最大值是__________.

16.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式 和正整数 n 恒成立,则实数 λ 的最大值为__________.

对任意 an

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 试求角 B 和角 C. ,b=1, ,且 a>b,

18.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2an=Sn+2n+1(n∈N ) . (Ⅰ)求 a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列; (Ⅲ)求数列{n?an}的前 n 项和 Tn.

*

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

20.“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题.近年来,某企业每年需要向 自来水厂缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化 设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平 方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂 供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位: 万元) 与安装的这种净水设备的占地面积 x (单位: 平方米) 之间的函数关系是 C (x) = (x≥0,k 为常数) .记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之 和. (Ⅰ) 试解释 C(0)的实际意义,请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元?

21.设函数 的切线的斜率为 k(x) ,且函数 件:①k(﹣1)=0;②对一切实数 x,不等式 (Ⅰ)求函数 k(x)的表达式; (Ⅱ)求证: (n∈N*) .

的图象在点(x,f(x) )处 为偶函数.若函数 k(x)满足下列条 恒成立.

22.已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

﹣x ﹣2ax(a∈R) .

2

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号涂在答题卡上.) 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 值为( A.28 B.32 C.33 D.27 )

【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】计算题. 【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性,即从第二项起,每一项与前一项的差依次 是 3 的倍数,再进行求解. 【解答】解:由题意知,数列 2,5,11,20,x,47, ∴5﹣2=3,11﹣5=6,20﹣11=9, 则 x﹣20=12,解得 x=32, 故选 B. 【点评】本题考查了数列的概念的应用,即需要找出数列各项之间的特定关系,考查了分析 问题和解决问题的能力.

2. 已知集合 A={﹣1, 1}, B={x|ax+2=0}, 若 B? A, 则实数 a 的所有可能取值的集合为( A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,0,2}

)

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】根据 B? A,利用分类讨论思想求解即可. 【解答】解:当 a=0 时,B=?,B? A; 当 a≠0 时,B={ }? A, =1 或 =﹣1? a=﹣2 或 2,

综上实数 a 的所有可能取值的集合为{﹣2,0,2}. 故选 D. 【点评】本题考查集合的包含关系及应用.注意空集的讨论,是易错点.

3.下列函数中最小值为 4 的是( A.y=x+ B.y=

)

C.y=e +4e

x

﹣x

D.y=sinx+

, (0<x<π )

【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】A.当 x<0 时,利用基本不等式的性质,y=﹣ ≤﹣4,可知无最小值;

B.变形为

,利用基本不等式的性质可知:最小值大于 4;

C.利用基本不等式的性质即可判断出满足条件; D.利用基本不等式的性质可知:最小值大于 4. 【解答】解:A.当 x<0 时, ﹣2 时取等号.因此此时 A 无最小值; B. = =4,当且仅当 =﹣4,当且仅当 x=

x2+2=1 时取等号,但是此时 x 的值不存在,故不能取等号,即 y>4,因此 B 的最小值不是 4; C. =4,当且仅当 ,解得 ex=2,即 x=ln4 时取等号,即 y 的最

小值为 4,因此 C 满足条件; D.当 0<x<π 时,sinx>0,∴ =4,当且仅当 ,

即 sinx=2 时取等号,但是 sinx 不可能取等号,故 y>4,因此不满足条件. 综上可知:只有 C 满足条件. 故选 C. 【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键,特别注意“=”是否取到.

4.设 a=30.5,b=log32,c=cos2,则(

)

A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a 【考点】不等式比较大小. 【专题】计算题;阅读型. 【分析】有指数函数的性质得到 a>1,由对数函数的性质得到 b 大于 0 小于 1,由余弦函数 象限符号得到 c 小于 0,则答案可求

【解答】解:∵ 0=log31<log32<log33=1, 又∵ 所以 c<b<a. 故选 A.



,∴cos2<0,

【点评】本题考查了不等式的大小比较,考查了指数函数和对数函数的性质,考查了余弦函 数的性质,属基础题型.

5.下列叙述中,正确的个数是(

)

①命题 p:“? x∈R,x2﹣2≥0”的否定形式为¬p:“? x∈R,x2﹣2<0”; ②O 是△ABC 所在平面上一点,若
M N

?

=

?

=

?

,则 O 是△ABC 的垂心;

③“M>N”是“( ) >( ) ”的充分不必要条件; ④命题“若 x2﹣3x﹣4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2﹣3x﹣4≠0”. A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】①对存在命题的否定,应把存在一个改为对任意的,再取结论的反面,故正确; ②由数量积的分配律可知 得出结论成立; ③由指数函数可知③“M>N”得出“( )M<( )N”,故错误; ④命题的逆否命题是先逆再否,故正确. 【解答】解:①命题 p:“? x∈R,x2﹣2≥0”的否定形式为¬p:“? x∈R,x2﹣2<0”是对 应存在命题的否定,应把存在一个改为对任意的,再取结论的反面,故正确; ② ∴ ∴ ∴ ? ? ( =0, = ﹣ ? ? , =0, )=0, ( )=0,进而得出 OB⊥AC,同理可证 OA⊥BC,OC⊥AB,

∴OB⊥AC,

同理可证 OA⊥BC,OC⊥AB, 故 O 为垂心,正确; ③“M>N”不能推出“( )M>( )N”,由③“( )M>( )N”不能推出“M>N”,故应 是既不充分也不必要条件,故错误; ④命题的逆否命题是先逆再否,故命题“若 x2﹣3x﹣4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4, 则 x2﹣3x﹣4≠0”正确. 故选 C. 【点评】考查了四种命题,存在命题的否定和数量积的运算,属于基础题型,应熟练掌握.

6.如图,正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,那么异 面直线 EF 与 SA 所成的角等于( )

A.90° B.60° C.45° D.30° 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 AC 的中点 D,得到的锐角或直角就是 异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 【解答】解:如图,取 AC 的中点 D,连接 DE、DF,∠DEF 为异面直线 EF 与 SA 所成的角 设棱长为 2,则 DE=1,DF=1,根据 SA⊥BC,则 ED⊥DF ∴∠DEF=45°, 故选 C.

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力, 属于基础题.

7.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a7=9a3,则

=(

)

A.9

B.5

C.

D.

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项及求和公式,即可得出结论. 【解答】解:∵等差数列{an},a7=9a3, ∴a1+6d=9(a1+2d) , ∴a1=﹣ d,



=

=9,

故选:A. 【点评】本题考查等差数列的通项及求和公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

8.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(

)

A.4

B.

C.

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,画出其直观图,由三视图可得 SC⊥ 平面 ABCD,AB⊥平面 BCSE,SC=4,BE=2.四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形,把数据代入棱 锥的体积公式计算可得答案. 【解答】解:由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图:

其中 SC⊥平面 ABCD,AB⊥平面 BCSE, 又 SC=4,BE=2.四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形, ∴几何体的体积 V=V 四棱锥+V 三棱锥 A﹣BSE= ×2 ×4+ × ×2×2×2= 故选 B. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何量是 解题的关键.
2

+ =



9.平面内有三个向量 且

,其中 ,若



夹角为 120°,



的夹角为 30°, )

, (λ ,μ ∈R)则(

A.λ =4,μ =2

B.

C.

D.

【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量的基本定理及其意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】如图所示,过点 C 作 CD∥OB,交直线 OA 与点 D,由题意可得∠OCD=90°.在 Rt△OCD 中,利用边角关系求得| |=2,| |=4,再由| |=λ | |,

且|

|=μ |

|,求得 λ 、μ 的值.

【解答】解:如图所示,过点 C 作 CD∥OB,交直线 OA 与点 D. ∵中 与 夹角为 120°, |=| = |=λ | |,且| 与 的夹角为 30°,∴∠OCD=90°. × =2,| |= =4,

在 Rt△OCD 中,| 由 可得|

|tan30°=2 , |=μ |

|,即 4=λ ?2,且 2=μ ? .

解得 λ =2,且 μ = , 故选:C.

【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,熟练掌握向量的三角形 法则和向量共线定理是解题的关键,属于中档题.

10.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.3a﹣1 B.1﹣3a C.3﹣a﹣1 D.1﹣3﹣a )

,则

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用奇偶函数得出当 x≥0 时,f(x)= ,x≥0 时,

f(x)=

,画出图象,根据对称性得出零点的值满足 x1+x2,

x4+x5 的值,关键运用对数求解 x3=1﹣3a,整体求解即可. 【解答】解:∵定义在 R 上的奇函数 f(x) ,

∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∵当 x≥0 时,f(x)= ,

∴当 x≥0 时,f(x)=



得出 x<0 时,f(x)= 画出图象得出:

如图从左向右零点为 x1,x2,x3,x4,x5, 根据对称性得出:x1+x2=﹣4×2=﹣8, x4+x5=2×4=8,﹣log (﹣x3+1)=a,x3=1﹣3a,
a a

故 x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3 +8=1﹣3 , 故选:B 【点评】本题综合考察了函数的性质,图象的运用,函数的零点与函数交点问题,考查了数 形结合的能力,属于中档题.

11.如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在△ABC 中用余弦定理解得 ,乙同学在 Rt△ACH 中解得 区间为( ) ,据此可得 cos72°的值所在

A. (0.1,0.2) B. (0.2,0.3) C. (0.3,0.4) D. (0.4,0.5) 【考点】解三角形;余弦函数的定义域和值域. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】根据题意,建立方程,再构造函数.利用零点存在定理,确定零点所在区间. 【解答】解:根据题意可得 ∴ 构造函数 ∵ ∴x 所在区间为(0. 3,0.4) 即 cos72°的值所在区间为(0.3,0.4) 故选 C. 【点评】本题考查解三角形,考查函数思想,考查函数零点的判断,属于中档题. ﹣1 ,

12.已知函数 f(x)=e2x,g(x)=lnx+ ,对? a∈R,? b∈(0,+∞) ,使得 f(a)=g(b) , 则 b﹣a 的最小值为( A.1+ ln2 ) ﹣1 D.e2﹣

B.1﹣ ln2 C.2

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】由 f(x)=e2x,g(x)=lnx+ ,得:f﹣1(x)= ,g﹣1(x)= ,则 b﹣a 的最

小值,即为 h(x)的最小值,利用导数法求出函数的最小值,可得答案.

【解答】解:∵f(x)=e ,g(x)=lnx+ , ∴f﹣1(x)= ,g﹣1(x)= , ﹣ ,

2x

令 h(x)=g﹣1(x)﹣f﹣1(x)=

则 b﹣a 的最小值,即为 h(x)的最小值, ∵h′(x)= ﹣ ,

令 h′(x)=0,解得 x= , ∵当 x∈(0, )时,h′(x)<0,当 x∈( ,+∞)时,h′(x)>0,

故当 x= 时,h(x)取最小值 1﹣ 故选:A.

=1+



【点评】本题考查的知识点是反函数,利用导数法求函数的最值,其中将求 b﹣a 的最小值, 转化为 h(x)的最小值,是解答的关键.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.由直线 x=0,x= 【考点】定积分. 【专题】数形结合;数形结合法;导数的综合应用. 【分析】由题意可得 S= ,计算可得. ,y=0 与曲线 y=2sinx 所围成的图形的面积等于 3.

【解答】解:由题意和定积分的意义可得所求面积 S=

=﹣2cosx 故答案为:3

=﹣2(cos

﹣cos0)=﹣2(﹣ ﹣1)=3

【点评】本题考查定积分的求解,属基础题.

14.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是.

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出可行域,变形目标函数可得 连线的斜率与 1 的和,数形结合可得. =1+ 表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)

【解答】解:作出

所对应的区域(如图阴影) ,

变形目标函数可得

=

=1+



表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)连线的斜率与 1 的和, 由图象可知当直线经过点 B(2,0)时,目标函数取最小值 1+ 当直线经过点 C(0,2)时,目标函数取最大值 1+ 故答案为: = ; = ;

【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中 档题.

15.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点 P,Q,且满足 A1P=BQ,M 是 棱 CA 上的动点,则 的最大值是 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】 由已知中 A1P=BQ, 我们可得四边形 PQBA 与四边形 PQB1A1 的面积相等, 等于侧面 ABPQB1A1 的面积的一半,M 是棱 CA 上的动点,可得 M 是 C 时, 最大.根据

等底同高的棱锥体积相等,可将四棱椎 C﹣PQBA 的体积转化三棱锥 C﹣ABA1 的体积,进而根据 同底同高的棱锥体积为棱柱的 ,求出四棱椎 C﹣PQBA 的体积,进而得到答案. 【解答】解:设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 V ∵侧棱 AA1 和 BB1 上各有一动点 P,Q 满足 A1P=BQ, ∴四边形 PQBA 与四边形 PQB1A1 的面积相等, ∵M 是棱 CA 上的动点, ∴M 是 C 时, 最大

又四棱椎 M﹣PQBA 的体积等于三棱锥 C﹣ABA1 的体积等于 V,



的最大值是

= .

故答案为: . 【点评】 本题考查的知识点是棱柱的体积, 棱锥的体积, 其中根据四边形 PQBA 与四边形 PQB1A1 的面积相等,等于侧面 ABPQB1A1 的面积的一半,将四棱椎 C﹣PQBA 的体积转化三棱锥 C﹣ABA1 的体积是解答本题的关键.

16.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式

对任意 an

和正整数 n 恒成立,则实数 λ 的最大值为 .

【考点】数列与不等式的综合. 【专题】计算题. 【分析】等差数列{an}中,首项不为零,前 n 项和 Sn= ;由不等式

,得 an2+

≥λ a12,整理得

+

+ ≥λ ;

若设 t=

,求函数 y= t2+ t+ 的最小值,得 λ 的最大值.

【解答】解:在等差数列{an}中,首项不为零,即 a1≠0;则数列的前 n 项之和为 Sn= ;

由不等式

,得 an +

2

≥λ a1 ,

2

∴ an2+ a1an+ a12≥λ a12,即

+

+ ≥λ ;

设 t=

,则 y= t + t+ =

2

+ ≥ ,

∴λ ≤ ,即 λ 的最大值为 ; 故答案为 . 【点评】本题考查了数列与不等式的综合应用,其中用到换元法求得二次函数的最值,应属 于考查计算能力的基础题目.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 试求角 B 和角 C. ,b=1, ,且 a>b,

【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)将 f(x)解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值 化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的递增区 间为,x∈Z 列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集即可得到 f(x)的递增区间; (2)由(1)确定的 f(x)解析式,及 f( )=﹣ ,求出 sin(B﹣ )的值,由 B 为三

角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数,再由 b 与 c 的值,利用正弦定理求出 sinC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数,由 a 大于 b 得到 A 大于 B,检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数. 【解答】解: (1)f(x)=cos(2x﹣ 令 2kπ ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ + )﹣cos2x= sin2x﹣ cos2x= ≤x≤kπ + sin(2x﹣ ,x∈Z, ) ,

,x∈Z,解得:kπ ﹣

则函数 f(x)的递增区间为,x∈Z; (2)∵f(B)= ∵0<B<π ,∴﹣ ∴B﹣ =﹣ sin(B﹣ <B﹣ , )=﹣ < , ,∴sin(B﹣ )=﹣ ,

,即 B= , =

又 b=1,c= ∴由正弦定理

得:sinC=

=



∵C 为三角形的内角, ∴C= 当 C= 则 B= 或 , ;当 C= . 时,A= (不合题意,舍去) ,

时,A= ,C=

【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,正弦定理,正弦函数的单调性,以 及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

18.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2an=Sn+2n+1(n∈N*) . (Ⅰ)求 a1,a2,a3;

(Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列; (Ⅲ)求数列{n?an}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列的函数特性;等比关系的确定. 【专题】计算题. 【分析】 (I)根据 2an=Sn+2n+1,分别取 n=1,2,3,可求出 a1,a2,a3 的值; (II)因为 2an=Sn+2n+1,所以有 2an+1=Sn+1+2n+3 成立,两式相减可得 an+1+2=2(an+2) ,然后根 据等比数列定义可得结论; (III)先求出数列{n?an}的通项公式,然后利用错位相消法进行求和即可. 【解答】 (本小题满分 13 分) (I)解:由题意,当 n=1 时,得 2a1=a1+3,解得 a1=3. 当 n=2 时,得 2a2=(a1+a2)+5,解得 a2=8. 当 n=3 时,得 2a3=(a1+a2+a3)+7,解得 a3=18. 所以 a1=3,a2=8,a3=18 为所求.? (Ⅱ)证明:因为 2an=Sn+2n+1,所以有 2an+1=Sn+1+2n+3 成立. 两式相减得:2an+1﹣2an=an+1+2. 所以 an+1=2an+2(n∈N ) ,即 an+1+2=2(an+2) .? 所以数列{an+2}是以 a1+2=5 为首项,公比为 2 的等比数列.? (Ⅲ)解:由(Ⅱ) 得:an+2=5×2 则 nan=5n?2n﹣1﹣2n(n∈N*) .? 设数列{5n?2
n﹣1 n﹣1 *

,即 an=5×2

n﹣1

﹣2(n∈N ) .

*

}的前 n 项和为 Pn,

则 Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+?+5×(n﹣1)?2n﹣2+5×n?2n﹣1, 所以 2Pn=5×1×2 +5×2×2 +5×3×2 +?+5(n﹣1)?2 所以﹣Pn=5(1+21+22+?+2n﹣1)﹣5n?2n, 即 Pn=(5n﹣5)?2 +5(n∈N ) .? 所以数列{n?an}的前 n 项和 Tn= 整理得,Tn=(5n﹣5)?2 ﹣n ﹣n+5(n∈N ) .?(13 分) 【点评】本题主要考查了等比关系的确定,以及利用错位相消法求和,同时考查了计算能力, 属于中档题.
n 2 * n * 1 2 3 n﹣1

+5n?2 ,

n



19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE,E 为 PA 的中点,利用三角形中位线的性质,可 知 OE∥PC,利用线面平行的判定定理,即可得出结论; (2)先证明 PA⊥DE,再证明 PA⊥OE,可得 PA⊥平面 BDE,从而可得平面 BDE⊥平面 PAB. 【解答】证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.? 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.? 因为 PC? 平面 BDE,OE? 平面 BDE,所以 PC∥平面 BDE.? (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.? 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE? 平面 BDE,DE? 平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.? 因为 PA? 平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB.?(14 分)

【点评】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题.

20.“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题.近年来,某企业每年需要向 自来水厂缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化 设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平 方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂 供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位: 万元) 与安装的这种净水设备的占地面积 x (单位: 平方米) 之间的函数关系是 C (x) = (x≥0,k 为常数) .记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之 和. (Ⅰ) 试解释 C(0)的实际意义,请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元? 【考点】函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)C(0)的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元,依题意,C(0) = =4,可求得 k,从而得到 y 关于 x 的函数关系式;

(Ⅱ)利用基本不等式即可求得 y 取得的最小值及 y 取得最小值时 x 的值. 【解答】解: (Ⅰ) C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元 ∵C(0)= ∴y=0.2x+ =4,∴k=1000; =0.2x+ ,x≥0﹒﹒

(Ⅱ) y=0.2(x+5+ 当 x+5=

)﹣1≥0.2×20﹣1=7

,即 x=15 时,ymin=7

∴当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元 【点评】本题考查函数最值的应用,着重考查分析与理解能力,考查基本不等式的应用,属 于中档题.

21.设函数 的切线的斜率为 k(x) ,且函数 件:①k(﹣1)=0;②对一切实数 x,不等式 (Ⅰ)求函数 k(x)的表达式; (Ⅱ)求证: (n∈N ) .
*

的图象在点(x,f(x) )处 为偶函数.若函数 k(x)满足下列条 恒成立.

【考点】综合法与分析法(选修) ;函数奇偶性的性质;函数恒成立问题;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 【专题】证明题. 【分析】 (Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x) ,根据 g(x)的奇偶性求出 b,根据 k(﹣1)=0, 求出 的表达式. (Ⅱ)根据 ,即证 ,把 ,再由 对一切实数 x 恒成立,解得 a、c 的值,即得函数 k(x)

代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成 立. 【解答】解: (Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x)=ax +bx+c.? 由 为偶函数,得 .? 为偶函数,显然有 .?
2

又 k(﹣1)=0,所以 a﹣b+c=0,即 又因为 即对一切实数 x,不等式 显然,当 时,不符合题意.?

对一切实数 x 恒成立, 恒成立.?



时,应满足



注意到

,解得

.? 所以

. ?

(Ⅱ)证明:因为

,所以

.?

要证不等式

成立,

即证

.?

因为

,?

所以

=



所以

成立.?(14 分)

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,函数的恒成立问题,利用导数研究曲线在某点 的切线斜率,以及用裂项法对数列进行 求和,属于难题.

22.已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

﹣x ﹣2ax(a∈R) .

2

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在 因为 a>0 所以 ,从而 g(x)≥0 在.?

(3)若

时,方程

x>0 可化为,

. 问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3 在(0,+∞)上有解, 即求函数 g(x)=xlnx+x ﹣x 的值域.? 以下给出两种求函数 g(x)值域的方法: 方法 1:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x2) ,令 h(x)=lnx+x﹣x2(x>0) , 则 ,?
2 3

所以当 0<x<1,h′(x)>0,从而 h(x)在(0,1)上为增函数, 当 x>1,h′(x)<0,从而 h(x')在(1,+∞上为减函数,?(13 分)

因此 h(x)≤h(1)=0. 而 x>1,故 b=x?h(x)≤0, 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.?(14 分) 方法 2:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x2) ,所以 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2. 设 p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,则 .

当 当

时,p'(x)>0,所以 p(x)在 时,p'(x)<0,所以 p(x)在 ,又

上单调递增; 上单调递减; ,

因为 p(1)=0,故必有

因此必存在实数

使得 g'(x0)=0,

∴当 0<x<x0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,x0)上单调递减; 当 x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(x0,1)上单调递增; 又因为 当 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0. 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.?(14 分) 【点评】本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用,及利用函数的导数研究函数 的单调性及函数的最值的求解,解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力 ,



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