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“隔板法”解决排列组合问题


“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三)
排列组合计数问题, 背景各异, 方法灵活, 能力要求高, 对于相同元素有序分组问题, 采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔 板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例 1、 (1)12 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中,问每个盒子中至少有一 个小球的不同放法有多少种? (2)12 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中,问不同放法有多少种? (3)12 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子 中的小球个数不小于其编号数,问不同的方法有多少种? 解: (1)将 12 个小球排成一排,中间有 11 个间隔,在这 11 个间隔中选出 3 个,放上 “隔板” ,若把“1”看成隔板,则如图 001000010000100 隔板将一排球分成四块,从左到 右可以看成四个盒子放入的球数,即上图中 1,2,3,4 四个盒子相应放入 2 个,4 个,4 个,2 个小球,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从 11 个间隔中 选出 3 个间隔的组合对应于一种放法,所以不同的放法有 C 1 1 =165 种。 (2)法 1: (分类)①装入一个盒子有 C 4 ? 4 种;②装入两个盒子,即 12 个相同的小
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球装入两个不同的盒子,每盒至少装一个有 C 4 C 1 1 ? 66 种;③装入三个盒子,即 12 个相同
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的小球装入三个不同的盒子,每盒至少装一个有 C 4 C 1 1 =220 种;④装入四个盒子,即 12 个 相同的小球装入四个不同的盒子,每盒至少装一个有 C 1 1 ? 1 6 5 种;由加法原理得共有
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4+66+220+165=455 种。 法 2:先给每个小盒装入一个球,题目中给定的 12 个小球任意装,即 16 个小球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个的装法有 C 1 5 ? 4 5 5 种。
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(3)法 1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小球,还剩 2 个小球,则这两个小球可 以装在 1 个盒子或两个盒子,共有 C 4 ? C 4 ? 1 0 种。
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法 2:先给每个盒子装上比编号小 1 的小球,还剩 6 个小球,则转化为将 6 个相同的小 球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个,由隔板法有 C 5 ? 1 0
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由上面的例题可以看出法 2 要比法 1 简单, 即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。

例 2、 (1)方程 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 1 0 的正整数解有多少组? (2) 方程 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 1 0 的非负整数解有多少组? (3)方程 2 x1 ? x 2 ? x 3 ? ? ? x10 ? 3 的非负整数整数解有多少组? 解: 转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子, (1) 每盒至少装一个, C 9 ? 8 4 种, 有
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所以该方程有 84 组正整数解。 (2) 转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子, 可以有空盒, 先给每个小盒装一个, 进而转化为 14 个相同的小球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个,有 C 1 3 ? 2 8 6 种,所
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以该方程有 286 组非负整数整数解。 (3)当 x1 ? 0 时,转化为 3 个相同的小球装入 9 个不同的盒子,可以有空盒,有 C 1 1 ? 165
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种。当 x1 ? 1 时,转化为 1 个小球装入 9 个不同的盒子,可以有空盒,有 C 9 =9 种;所以该
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方程有 165+9=174 组非负整数整数解。 例 3、已知集合 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ,选择 ? 的两个非空子集 A , B ,且 A 中最大的元素比 B 中 最小的元素小,则选择方法有多少种? 解:由题意知 A , B 的交集是空集,且 A , B 的并集是 ? 的子集 C ,所以 C 至少含有两个元素, 将 C 中元素按从小到大的顺序排列,然后分为两部分,前边的给 A ,后边的给 B , A , B 至 少含有 1 个元素,设 C 中有 n 个元素,则转化为 n 个相同的小球装入 2 个不同的盒子,则有
C n 种装法,故本题有
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C 5 ? C 5 C 2 ? C 5 C 3 ? C 5 C 4 ? 4 9 种选择方法。
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总之,凡是处理与“相同元素有序分组”模型时,我们都可采用“隔板法” 。若每组元 素数目至少一个时,可用插“隔板” ,若出现每组元素数目为 0 个时,向每组元素数目至少 一个的模型转化,然后用“隔板”法加以解决。



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