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2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训:第6章 不等式、推理与证明第7讲 Word版含解析



第六章

第7讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 深圳段考]用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一 步证明中的起始值 n0 应取( A. 2 C. 5 答案:C 2. 如果命题 p(n)对 n=k(k∈N*)成立,则它对 n=k+2 也成立.若 p(n

)对 n=2 也成立,则 下列结论正确的是( ) ) B. 3 D. 6

A. p(n)对所有正整数 n 都成立 B. p(n)对所有正偶数 n 都成立 C. p(n)对所有正奇数 n 都成立 D. p(n)对所有自然数 n 都成立 答案:B 解析:由题意 n=k 成立,则 n=k+2 也成立,又 n=2 时成立, 则 p(n)对所有正偶数都成立.故选 B. 3. [2013· 三明模拟]某个与正整数 n 有关的命题,如果当 n=k(n∈N*,k≥1)时,该命题成 立,则一定可推得当 n=k+1 时,该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,则( A. n=4 时该命题成立 B. n=6 时该命题成立 C. n=4 时该命题不成立 D. n=6 时该命题不成立 答案:C 解析:因为“当 n=k(k∈N*,k≥1)时,该命题成立,则一定能推出当 n=k+1 时,该命 题也成立” ,故可得 n=5 时该命题不成立,则一定有 n=4 时,该命题也不成立.故选 C. 1 1 1 13 4. [2013· 杭州质检]用数学归纳法证明不等式 + +?+ < (n≥2, n∈N*)的过程 2n 14 n+1 n+2 中,由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边( 1 A. 增加了一项 2?k+1? ) )

1 1 B. 增加了两项 、 2k+1 2k+2 1 C. 增加了 B 中两项但减少了一项 k+1 D. 以上各种情况均不对 答案:C 1 1 1 解析:当 n=k 时,左边= + +?+ , 2k k+1 k+2 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,左边= + +?+ + + , 2k 2k+1 2k+2 k+2 k+3 1 1 1 ∴增加了 + ,减少了 ,故选 C 项. 2k+1 2k+2 k+1 5. 用数学归纳法证明:12+22+?+n2+?+22+12= +1”时,左边应加( A. k
2

n?2n2+1? ,第二步证明由“k 到 k 3

) B. (k+1)2 D. (k+1)2+k2

C. k2+(k+1)2+k2 答案:D

解析:当 n=k 时,左边=12+22+?+k2+?+22+12; 当 n=k+1 时,左边=12+22+?+k2+(k+1)2+k2+?+22+12,故选 D. 6. [2013· 福建调研]用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除” ,要利用 归纳假设证 n=k+1 时的情况,只需展开( A. (k+3)3 C. (k+1)3 答案:A 解析:假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除. 当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3 展开, 让其出现 k3 即可. 二、填空题 1 1 1 1 1 1 3 1 1 7. [2013· 厦门质检]观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ 2 2 3 2 3 7 2 2 3 1 1 1 1 5 >2,1+ + +?+ > ,?,由此猜测第 n 个不等式为________(n∈N*) 15 2 3 31 2 1 1 1 n 答案:1+ + +?+ n > 2 3 2 -1 2 解析:3=22-1,7=23-1,15=24-1, 1 1 1 n 可猜测:1+ + +?+ n > . 2 3 2 -1 2 ) B. (k+2)3 D. (k+1)3+(k+2)3

8. [2013· 金版原创]设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且对任意的自然数 n 都有: n-1)2=anSn, (S 通过计算 S1,S2,S3,猜想 Sn=________. 答案: n n+1

1 解析:由(S1-1)2=S2得:S1= ; 1 2 2 由(S2-1)2=(S2-S1)S2 得:S2= ; 3 3 由(S3-1)2=(S3-S2)S3 得:S3= . 4 n 猜想:Sn= . n+1 n4+n2 9. [2013· 济南模拟]用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n=k+1 时左端应 2 在 n=k 的基础上加上的项为________. 答案:(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2 解析:当 n=k 时左端为 1+2+3+?+k+(k+1)+(k+2)+?+k2, 则当 n=k+1 时,左端为 1+2+3+?+k2+(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2, 故增加的项为(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2. 三、解答题 10. [2013· 西安模拟]试证:当 n∈N*时,f(n)=32n 2-8n-9 能被 64 整除. 证明:(1)当 n=1 时,f(1)=64,命题显然成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,f(k)=32k 2-8k-9 能被 64 整除. 当 n=k+1 时,由于 32(k =9(3 9(3
2k+2
+1)+2 + +

-8(k+1)-9

-8k-9)+9· 8k+9· 9-8(k+1)-9=

2k+2

-8k-9)+64(k+1),

即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1),∴n=k+1 时命题也成立. 根据(1)、(2)可知,对于任意 n∈N*,命题都成立. a2 n 11. [2013· 青岛质检]已知数列{an}中,a1=a(a>2),对一切 n∈N*,an>0,an+1= . 2?an-1? 求证:an>2 且 an+1<an. a2 n 证明:法一 ∵an+1= >0, 2?an-1? ∴an>1,

a2-1 ?an-1-2?2 n ∴an-2= -2= ≥0, 2?an-1-1? 2?an-1-1? ∴an≥2.若存在 ak=2,则 ak-1=2, 由此可推出 ak-2=2,?,a1=2, 与 a1=a>2 矛盾,故 an>2. an?2-an? ∵an+1-an= <0, 2?an-1? ∴an+1<an. 法二 (用数学归纳法证明 an>2)

①当 n=1 时,a1=a>2,故命题 an>2 成立; ?ak-2?2 a2 k ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立, ak>2, 即 那么, k+1-2= a -2= >0. 2?ak-1? 2?ak-1? 所以 ak+1>2,即 n=k+1 时命题也成立. 综上所述,命题 an>2 对一切正整数成立. an+1<an 的证明同上. 1 1 12.[2013· 山东模拟]在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an+ ). 2 an (1)求 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想. 1 1 2 解:(1)S1=a1= (a1+ )得 a1=1. 2 a1 ∵an>0,∴a1=1, 1 1 由 S2=a1+a2= (a2+ ),得 a2+2a2-1=0, 2 2 a2 ∴a2= 2-1. 1 1 又由 S3=a1+a2+a3= (a3+ )得 a2+2 2a3-1=0, 3 2 a3 ∴a3= 3- 2. (2)猜想 an= n- n-1(n∈N*) 证明:①当 n=1 时,a1=1= 1- 0,猜想成立. ②假设当 n=k(k∈N*,且 k≥1)时猜想成立, 即 ak= k- k-1, 则当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk 1 1 1 1 = (ak+1+ )- (a + ),即 2 ak+1 2 k ak 1 1 1 1 1 1 ak+1= (ak+1+ )- ( k- k-1+ )= (ak+1+ )- k, 2 2 2 ak+1 ak+1 k- k-1

∴a2+1+2 kak+1-1=0,∴ak+1= k+1- k. k 即 n=k+1 时猜想成立. 由①②知,an= n- n-1(n∈N*).



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