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2013年4月上海初三数学静安二模试卷(含答案)


静安区 2012 学年第二学期教学质量调研 九年级数学
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在 草稿纸、本调研卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的 主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) [每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1.下列式子中,从左到右的变形为多项式因式分解的是 (A) x 2 (C) x
? 2 ? (x ? 2 )( x ? 2)

2013.4

(满分 150 分,100 分钟完成)

(B) ( x (D) (

?

2 )( x ?

2) ? x

2

? 2

? 4 ? (

x ? 2 )(

x ? 2)

x ? 2 )(

x ? 2) ? x ? 4

2.下列方程中,有实数根的是 (A) 3.函数 y
1 ? x ? ?1

(B) (常数 k

x ?1 ? ?x

(C)

x ?3? 0

3

(D) x 4

? 4 ? 0

? kx ? k ? 1

?0

)的图像不经过的象限是 (C) 第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限

(B)第二象限

4.已知一组数据 3、4、4、5、6、7、4、7,那么这组数据的 (A)中位数是 5.5,众数是 4 (C)中位数是 5,众数是 4 (A)∠OAB=∠OBA (C)∠OAB=∠OCD (B)中位数是 5,平均数是 5 (D)中位数是 4.5,平均数是 5 (B)∠OAB=∠OBC (D)∠OAB=∠OAD

5.如果□ABCD 的对角线相交于点 O,那么在下列条件中,能判断□ABCD 为菱形的是

6.一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移,我们把这样的图形运动称为图形的 翻移,这条直线称为翻移线.如图△ A 2 B 2 C 2 是由△ ABC 沿直线 l 翻移后得到的.在下列 结论中,图形的翻移所具有的性质是 (A)各对应点之间的距离相等 (B)各对应点的连线互相平行 (C)对应点连线被翻移线平分 (D)对应点连线与翻移线垂直 A1 B1 A2 C1 (第 6 题图)
九年级数学 第1页 共4页

A

C B B2 C2
l

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7.计算: 2
? 1 2

=



. 的解集是 ▲ .

8.不等式组 ?

?2 x ? 3 ? 0, ?? x ? 2 ? 0

9.如果一个数的倒数等于它本身,那么这个数是 10.如果关于 x 的方程 x 2
? 6x ? m ?1 ? 0



. ▲ .

没有实数根,那么 m 的取值范围是
? f (x)

11.如果点 A(–1,2)在一个正比例函数 y ▲ 12.将抛物线 y (填“增大”或“减小”. )
? 2x
2

的图像上,那么 y 随着 x 的增大而

?1

向右平移 3 个单位,所得抛物线的表达式是





13.某校 200 名 学生一次数学测试的分数均大于 75 且小于 150,分数段的频数分布情况如下: 75~90 有 15 人,90~105 有 42 人,105~120 有 58 人,135~150 有 35 人(其中每个分数段可 包括最小值,不包括最大值) ,那么测试分数在 120~135 分数段的频率是 ▲ .

14.从点数为 1、2、3、4、5 的五张扑克牌中随机摸出两张牌,摸到的两张牌的点数之和为素数 的概率是 ▲ .
? a , BC ? b

15.在梯形 ABCD 中,AD//BC,BC=3AD, AB

,那么 CD

?



. ▲ .

16.如果⊙O1 与⊙O2 内含, O 1 O 2 ? 4 ,⊙O1 的半径是 3,那么⊙O2 的半径的取值范围是 17.在△ABC 中,∠A=40? ,△ABC 绕点 A 旋转后点 C 落在边 AB 上的点 C’ ,点 B 落到 点 B’ ,如果点 C、C’ 、B’在同一直线上,那么∠B 的度数是 ▲ .

18.在正方形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、AD 上,四边形 EFGH 是 矩形,EF=2FG,那么矩形 EFGH 与正方形 ABCD 的面积比是
九年级数学 第2页 共4页





三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) [将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上] 19. (本题满分 10 分) 化简: (1 ?
1 x
2

)

?1

? (

1 x

? x)

?1

,并求当 x

?

3 ? 2

时的值.

20. (本题满分 10 分) 解方程组: ?
? x 2 ? 4 xy ? 4 y ? ?x ?
2 2

? 9,

? y

2

? 4 x ? 4 y ? 0.

21. (本题满分 10 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分) 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB⊥AD,对角线 AC、BD 相交于点 E,BD⊥CD,AB=12,
cot ? ADB ? 4 3



A E B

D

求: (1)∠DBC 的余弦值; (2)DE 的长.

C (第 21 题图)

22. (本题满分 10 分) 一辆高铁列车与另一辆动车组列车在 1320 公里的京沪高速铁路上运行时,高铁列车比动车 组列车平均速度每小时快 99 公里, 用时少 3 小时, 求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度.

23. (本题满分 12 分,每小题满分 6 分) 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别在边 AC、AB 上, DA=DB,BD 与 CE 相交于点 F,∠AFD=∠BEC. 求证: (1)AF=CE; (2) BF
2

A

? EF ? AF

. E D F B (第 23 题图)
九年级数学 第3页 共4页

C

24. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 4 分,第(3)小题满分 5 分) 已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 H,AH=5,CD= 4
5

,点 E 在⊙O 上,射线 F E D

AE 与射线 CD 相交于点 F,设 AE= x ,DF= y . (1)求⊙O 的半径; (2) 如图,当点 E 在 AD 上时,求 y 与 x 之间的函
数解析式,并写出函数的定义域; (3)如果 EF=
3 2

,求 DF 的长. A O H B

C (第 24 题图)

25. (本题满分 14 分,每小题满分 7 分) 如图,点 A(2,6)和点 B(点 B 在点 A 的右侧)在反比例函数的图像上,点 C 在 y 轴 上,BC// x 轴, tan ? ACB ? 2 ,二次函数的图像经过 A、B、C 三点. (1) 求反比例函数和二次函数的解析式; (2) 如果点 D 在 x 轴的正半轴上, E 在反比例函数的图像上, 点 四边形 ACDE 是平行四边形, 求边 CD 的长. y A

C

B

O

x

(第 25 题图)

九年级数学

第4页

共4页

静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准 2013.4.19 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.A; 2.C; 3.B; 4.D; 5.D; 6.C. 二.填空题: (本大题共 12 题,满分 48 分) 7.
2 2



8. x

? 2
1



9. ? 1 ; 15. ?
a ? 2 3

10. m
b

? 10



11.减小; 12. y 17. 30 ? ;

? 2 ( x ? 3) ? 1 ;
2

13. 0 . 25 ;

14. ;
2



16. r ? 7 ;

18. .
9

4

三、 (本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 分, 满分 78 分) 19.解:原式= (
x
2

?1
2

)

?1

? (

1? x x

2

)

?1

??????????????????????(2 分)

x
2

=
x

x
2

?1

+

x 1? x
2

??????????????????????????(2 分)

= =

x ( x ? 1) ( x ? 1 )( x ? 1 )

??????????????????????????? 分) (2

x x ?1

. ????????????????????????????? 分) (1
3 ? 2 3 ?1 ( ( 3 ? 2 )( 3 ? 1 )( 3 ? 1) 3 ? 1) 1? 2 3

当x

?

3 ? 2

时,原式=
? 2 y ? ?3

?

?

.????????(3 分)

20.解:由(1)得: x 由(2)得: x

,???????????????????????(2 分) 分)

? y ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 . ???????????????????(2

原方程组可化为 ?

? x ? 2 y ? 3, ? x ? y ? 0,

? x ? 2 y ? 3, ? x ? 2 y ? ? 3, ? ? ? x ? y ? 4 ? 0, ? x ? y ? 0,

? x ? 2 y ? ? 3, ? ? x ? y ? 4 ? 0.

?? 分) (2

解得原方程组的解是 ?

? x 1 ? 1 , ? x 2 ? 5 , ? x 1 ? ? 1 , ? x 2 ? 11 , ??????????(4 ? ? ? ? y 1 ? 1, ? y 2 ? ? 1, ? y 1 ? ? 1, ? y 2 ? ? 7 .
? ADB ? AD AB

分)

21.解:(1) ∵Rt△ABD 中, cot ∴
4 3 ? AD 12
AB
2

,?????????????????(1 分)

, AD ? 16 .

???????????????????????? 分) (1
12
2

∴BD=

? AD

2

?

? 16

2

? 20

.???????????????? (1 分)

∵AD//BC,∴∠DBC=∠ADB,????????????????????(1 分) ∴ cos
? DBC ? cos ? ADB ? AD BD ? 16 20 ? 4 5 . ???????????????(1

分)

九年级数学

第5页

共4页

(2)在 Rt△BCD 中, cos ∴
4 5 ? 20 BC DE BE ? , BC ? 25

? DBC ?

BD BC

,??????????????????(1 分)

.????????????????????????(1 分)
AD BC ? 16 25

∵AD//BC,∴ ∴
DE BD ? 16 41 16 41 BD ?

.???????????????????(1 分) 分)

(1 , ????????????????????????????
16 41 ? 20 ? 320 41 . ????????????????????(1

∴DE=

分)

22.解:设这辆高铁列车全程的运行时间为 x 小时,????????????????(1 分) 则那辆动车组列车全程的运行时间为 ( x ∴
1320 x 40 x
x
2

? 3)

小时,?????????????(1 分)

?

1320 x ? 3 40

? 99

,?????????????????????????(3 分)

?

x ? 3

? 3

. ??????????????????????????? 分) (1 分) 分)

? 3 x ? 40 ? 0 , ??????????????????????????? (1

(1 x 1 ? 5 , x 2 ? ? 8 . ??????????????????????????? 经检验:它们都是原方程的根,但 x 当x
1320 ? 5 时, 5 ? 264

? ?8

不符合题意.

. ???????????????????????? 分) (1

答:这辆高铁列车全程的运行时间为 5 小时,平均速度 264 公里/小时.?????(1 分) 23.证明: (1)∵DA=DB,∴∠FBA=∠EAC,??????????????????(2 分) ∵∠AFD=∠BEC,∴180? –∠AFD =180? –∠BEC,即∠BFA=∠AEC.??(2 分) ∵BA=AC,∴△BFA≌△AEC.????????????????????(1 分) ∴AF=CE.?????????????????????????????(1 分) (2)∵△BFA≌△AEC,∴BF = AE.????????????????????(1 分) ∵∠EAF=∠ECA,∠FEA=∠AEC,∴△EFA∽△EAC.??????????(2 分) ∴
EA EC ? EF EA
2

.???????????????????????????(1 分) .?????????????????????????(1 分)
2

∴ EA

? EF ? CE

∵EA=BF,CE=AF,∴ BF

? EF ? AF

.????????????????(1 分)
第6页 共4页

九年级数学

24.解: (1)联结 OD,设⊙O 的半径 OA=OD= r . ∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,∴DH= ∵ OD ∴
r
2

1 2

DC ?

1 2

? 4

5 ? 2

5

.???(1 分)

2

? OH

2

? DH

2

, OH
5)
2

2

? ( AH ? OA )

2

? (5 ? r )

2

,

? (5 ? r )

2

? (2

.????????????????????(1 分)

∴⊙O 的半径 OA= r

?

9 2

.?????????????????????(1 分)
1 2 AE ? x 2

(2)作 OG⊥AE,垂足为 G,∴AG= ∵ cos
A ? AG AO ? AH AF x 2



,????????????????????????(1 分)
? AF ? 9 2
2

∴ AG ? AF ? AO ? AH ,∴

?5

,∴AF=

45 x

.??????????(1 分)

∴ FH

?

AF

2

? AH

2

?

(

45 x

)

? 5

2

?

5 x

81 ? x

2


5 x

∵ DF ? FH ? DH ,∴ y 关于 x 的函数解析式为 y 定义域为 0
? x ? 3 5

?

81 ? x

2

? 2

5

.??(1 分)

.???????????????????????(1 分)
45 x ? x ? 3 2

(3)当点 E 在 AD 上时,∵AF–AE=EF,∴
2x
2



? 3 x ? 90 ? 0

, x1
2

? ?

15 2

( 舍去 ), x 2 ? 6 5 ?

.?????????????(1 分)

∴ DF

? y ?

5 6

81 ? 6

? 2

5

. ????????????????? 分) (1
? 45 x ? 3 2

当点 E 在 DB 上时,∵AE–AF=EF,∴ x
2x
2



? 3 x ? 90 ? 0

, x1

?

15 2
2 15

, x 2 ? ? 6 ( 舍去 )

.?????????????(1 分)

∴ FH

?

5 x

81 ? x

2

? 5?

?

81 ? (

15 2

)

2

?

11





DF ? DH ? FH ? 2

5 ?

11

. ?????????????????? (1 分)
DF ? DH ? FH ? 2 5 ? 11

当点 E 在 BC 上时,同上 FH

?

11

,∴

.???(1 分)

九年级数学

第7页

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25.解: (1)设反比例函数的解析式为 y

? kx


k 2

∵点 A(2,6)在反比例函数的图像上,∴6= ∴k
? 12

,???????????(1 分)

, ∴反比例函数的解析式为 y

?

12 x

. ????????????? (1 分)

作 AM⊥BC,垂足为 M,交 y 轴于 N,∴CM=2. 在 Rt△ACM 中, AM ∵BC// x 轴,OC= MN 当x
? 2
? CM ? tan ? ACB ? 2 ? 2 ? 4

.???????????(1 分)

?

AN–AM=6–4=2,∴点 C 的坐标(0,2) .????(1 分)

时, y

? 6

,∴点 B 的坐标(6,2) .??????????????(1 分)
?6 ? 4a ? 2b ? 2, ? 2 ? 36 a ? 6 b ? 2 ,

设二次函数的解析式为 y

? ax

2

? bx ? 2

,?

???????? 分) (1

1 ? ?a ? ? , ∴? 2 ?b ? 3. ?

∴二次函数的解析式为 y

? ?

1 2

x

2

? 3x ? 2

.????????(1 分)

(2)延长 AC 交 x 轴于 G,作 EH⊥ x 轴,垂足为 H.?????????????(1 分) ∵在□ACDE 中,AC//DE,∴∠AGO=∠EDH.?????????????(1 分) ∵BC// x 轴,∴∠ACM=∠AGO.∴∠ACM=∠EDH.???????????(1 分) ∵∠AMC=∠EHD=90? ,AC=ED,∴△ACM≌△EDH.??????????(1 分) ∴EH=AM=4,DH=CM=2.∴点 E(3,4) .???????????????(1 分) ∴OE=3,OD=OE–DH=1.??????????????????????(1 分) ∴CD=
OC
2

? OD

2

?

2

2

?1

2

?

5

.?????????????????(1 分)

九年级数学

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