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安徽省合肥一中2013-2014学年高一数学上学期第一次月考试题新人教A版



合肥一中 2013 年高一年级第一学期阶段一考试 数学试卷
考试时间:100 分钟;满分:150 分; 一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,计 50 分)

9 1.已知集合 M ? ?x |x ? 7 |< ? , N ?

?x | y ?

9 ? x2

? ,且 M、N 都是全集 U 的
( )

子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合 A. ?x ? 3 ? x< ? 2?

B. ?x ? 3 ? x ? ?2?

C. ?x x ? 16?

D. ?x x>16?

2.定义集合 A、B 的一种运算: A ? B ? {x x ? x1 ? x2 , 其中x1 ? A, x2 ? B} ,若 A ? {1,2,3} ,

B ? { 2} ,则 1,
A.9

A ? B 中的所有元素数字之和为(
B.14
C.18

) D.21 ( )

3.下列命题中的真命题是 A. 3 是有理数

B. 2

2

是实数 C. e 2 是有理数 D. ?x | x是小数? ? R ( )

4.下述函数中,在 (??,0] 内为增函数的是 (A)y=x -2 (C)y= 1 ? 2x
2

(B)y=

3 x
2

(D) y ? ?( x ? 2)

5.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函 数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f ( x) =0(x∈R),其中正 确命题的个数是 (A)4
x

( (B)3

) (C)2 (D)1 ( )

6.函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数)对任意实数 x 、 y ,都有 (A) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) (C) f ( xy) ? f ( x) f ( y) (B) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (D) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

-1-

7、设 A、 C、 B、 D、

,则





8、已知镭经过 100 年,剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年的剩留量为 y, 则 y 与 x 的函数关系是(
x

) (B)y=(0.9576)
100x

(A)y=(0.9576) 100 (C)y=(
0.9576 100

x

)

x

(D)y=1-(0.0424) 100

9.当

时,函数



的图象只可能是(



10. 设 g(x)为 R 上不恒等于 0 的奇函数, 则常数 b 的值为 A.2 ( B.1 ) C. D.与 a 有关的值

(a>0 且 a≠1)为偶函数,

二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,计 25 分) 11.设集合 A={ x ? 3 ? x ? 2 },B={x 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 },且 A ? B,则实数 k 的取值范围 是 . 12、已知 f(x)=g(x)+2,且 g(x)为奇函数,若 f(2)=3,则 f(-2)=



13.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食” ,当两个集合 有公共元素,但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合 A ? ?? 1, 1 ,1? , ?
? 2 ?
B ? ? x ax 2 ? 1, a ? 0? ? ? ? ?

?

,若 A 与 B 构成“全食” 或构成“偏食” 则 a 的取值集合 , , . 的定义域是 。
-2 -



14.已知函数 f (x)的定义域是(1,2) ,则函数

15.下列几个命题:①函数 f ( x) ? ( x ) 与 g ( x) ? x 表示的是同一个函数;②若函数 f ( x) 的
2

定义域为 [1, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [2,3] ;③若函数 f ( x) 的值域是 [1, 2] ,则函数

f ( x ? 1) 的值域为 [2,3] ;④若函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1是偶函数,则函数 f ( x) 的减区间为 (??,0] .其中正确的命题有
个.

三、解答题(共 6 题,共 75 分。16、17、18、19 每题 12 分;20 题 13 分;21 题 14 分。 ) 16.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x |1 ? x ? 5, x ? Z } ,
2

(1)求 A ? ( B ? C ) ; C ? {x | 2 ? x ? 9, x ? Z} .
x

(2)求 (CU B) ? (CU C) .
2

17.已知 a ? 0, a ? 1 ,设 P :函数 y ? a 在 R 上单调递减; Q :函数 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴至少有一个交点.如果 P 与 Q 有且只有一个正确,求 a 的取值范围. 18. 已知函数 f ( x) 是定义域在 R 上的偶函数,且在区间 (?? , 0) 上单调递减,求满足 f(x +2x+3)>f(-x -4x-5)的 x 的集合.
2 2

19.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5], (1)当 a=﹣1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数.

2

20.某产品按质量分为 10 个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件 8 元,每提高一 个档次,利润每件增加 2 元,但每提高一个档次,在相同的时间内,产量减少 3 件。如果在 规定的时间内,最低档次的产品可生产 60 件。 (I)请写出相同时间内产品的总利润 y 与档次 x 之间的函数关系式,并写出 x 的定义域. (II)在同样的时间内,生产哪一档次产品的总利润最大?并求出最大利润.

21、已知 f ( x) ? a ? a (a ? 0且a ? 1)
x

?x

(Ⅰ)证明函数 f ( x )的图象关于 y 轴对称; (Ⅱ)判断 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调性,并用定义加以证明; (Ⅲ)当 x∈[1,2]时函数 f (x )的最大值为 5 ,求此时 a 的值.
2

-3-

(Ⅳ)当 x∈[-2,-1]时函数 f (x )的最大值为 5 ,求此时 a 的值.
2

合肥一中 2013-2014 学年度第一学期段一考试 高一数学答案 1-5 BBBCD 6-10 ACAAA

11、{ k ? 1 ? k ? 12、1 13、 ?0,1,4? 14、(0,1) 15、1

1 } 2

16.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x |1 ? x ? 5, x ? Z } ,
2

(1)求 A ? ( B ? C ) ; C ? {x | 2 ? x ? 9, x ? Z} .

(2)求 (CU B) ? (CU C) .

16.解:(1)依题意有: A ? {1, 2}, B ? {1, 2,3, 4,5}, C ? {3, 4,5,6,7,8} ∴ B ? C ? {3, 4,5} ,故有 A ? ( B ? C ) ? {1, 2} ? {3, 4,5} ? {1, 2,3, 4,5} . (2)由 CU B ? {6,7,8}, CU C ? {1, 2} ;故有

(CU B) ? (CU C ) ={6,7,8}u{1,2}={1,2,6,7,8} .
17.解:函数 y ? a 在 R 上单调递减 ? 0 ? a ? 1 ;
x

函数 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴至少有一个交点,
2

即 ? ? (2a ? 3) ? 4 ≥0,解之得 a ≤
2

1 5 或a≥ . 2 2

(1)若 P 正确,Q 不正确,则 a ? a 0 ? a ? 1 ? ?a

?

?

? 1 ? a ? 1或1 ? a ? ? 2

5? ? 2?

-4-

即 a ? ?a

? 1 ? ? a ? 1? . ? 2 ?

(2)若 P 不正确,Q 正确,则 a ? a a ? 1 ? ?a a ?

?

?

? ?

1 或a ? 2

5? ? 2?

即 a ? ?a a ?

? ?

5? ? 2?

综上可知,所求 a 的取值范围是 ?

? 1 ? ?5 ? ,1? ? ? , ?? ? . ? 2 ? ?2 ?

18. 解: ? f ( x) 在 R 上为偶函数,在 (??,0) 上单调递减 ? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数 又 f (? x ? 4 x ? 5) ? f ( x ? 4 x ? 5)
2 2

? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 0 , x 2 ? 4 x ? 5 ? ( x ? 2)2 ? 1 ? 0 2 2 2 2 由 f ( x ? 2 x ? 3) ? f ( x ? 4 x ? 5) 得 x ? 2 x ? 3 ? x ? 4 x ? 5 ?解集为 {x | x ? ?1} .
19. 2 解: (1)当 a=﹣1 时,函数表达式是 f(x)=x ﹣2x+2, ∴函数图象的对称轴为 x=1, 在区间(﹣5,1)上函数为减函数,在区间(1,5)上函数为增函数. ∴函数的最小值为[f(x)]min=f(1)=1,

? x ? ?1

函数的最大值为 f(5)和 f(﹣5)中较大的值,比较得[f(x)]max=f(﹣5)=37 综上所述,得[f(x)]max=37,[f(x)] min=1 (2)∵二次函数 f(x)图象关于直线 x=﹣a 对称,开口向上 ∴函数 y=f(x)的单调减区间是(﹣∞,-a],单调增区间是[-a,+∞) , 由此可得当[﹣5,5] ? (﹣∞,-a]时, 即﹣a≥5 时,f(x)在[﹣5,5]上单调减,解之得 a≤﹣5. 即当 a≤﹣5 时 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数. 20.解: (I)由题意知,生产第 x 个档次的产品每件的利润为 8 ? 2( x ? 1) 元, 该档次的产量为 60 ? 3( x ? 1) 件.则相同时间内第 x 档次的总利润:

y ? (2 x ? 6)(63 ? 3x) = ?6 x2 ? 108x ? 378 ,
其中 x ? x ? N 1 ? x ? 10
*

?

?
2

(II) y ? ?6 x ? 108 x ? 378 ? ?6( x ? 9) ? 864,
2

-5-

则当 x ? 9 时, y 有最大值为 864 故在相同的时间内,生产第 9 档次的产品的总利润最大,最大利润为 864 元

21、 解: (Ⅰ)要证明函数 f ( x )的图象关于 y 轴对称则只须证明函数 f ( x )是偶函数? ∵x∈R 由 f ( ? x) ? a
?x

? a x ? a x ? a ? x ? f ( x)

∴函数 f ( x )是偶函数,即函数 f ( x )的图象关于 y 轴对称 (Ⅱ)证明:设 0 ? x1 ? x 2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

(1)当 a>1 时, 由 0< x1 ? x2 ,则 x1+x2>0,则 a (2)当 0<a<1 时, 由 0< x1 ? x2 ,则 x1+x2>0,则 a
x1 x1

? 0 、 a x2 ? 0 、 a x1 ? a x2 、 a x1 ?x2 ? 1 ;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

? 0 、 a x2 ? 0 、 a x1 ? a x2 、 0 ? a x1 ?x2 ? 1 ;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

所以,对于任意 a( a ? 0且a ? 1 ) f(x)在 (0, ??) 上都为增函数. , (Ⅲ)由(Ⅱ)知 f(x)在 (0, ??) 上为增函数,则当 x∈[1,2]时,函数 f (x )亦为增函数; 由于函数 f(x)的最大值为 5 ,则 f(2)= 5
2 2

即a ?
2

2 1 5 ? ,解得 a ? 2 ,或 a ? 2 2 2 a

(Ⅳ)由(Ⅰ) (Ⅱ)证知 f(x) 是偶函数且在 (0, ??) 上为增函数,则知 f(x)在 (??,0) 上为 减函数; 则当 x∈[-2,-1]时,函数 f (x )为减函数 由于函数 f(x)的最大值为 5 ,则 f(-2)= 5
2 2



2 1 5 ? a 2 ? ,解得 a ? 2 ,或 a ? 2 2 2 a

x1
-6-



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