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2016年绵阳三诊数学理答案


绵阳市高 2013 级第三次诊断性考试 数学 ( 理工类 ) 参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. AADCD CBBAD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 . 2 12 . - 540

13 . 11.5

14 . - 2 5 ≤ m ≤ 2 5 15 .①② 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16 . 解 :( I )第四组的人数为 [1 - (0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16 , 中位数为 40+[0.5 - (0.004+0.016)×10] ÷ 0.04=47.5 .……………………… 4 分 ( II)据题意,第一组有 0.004×10×50=2 人,第五组有 0.008×10×50=4 人, 于是 ξ =0 , 1 , 2 ,
3 1 2 2 1 C4 1 C2 C4 3 C2 C4 1 , P ( ξ =1)= , P ( ξ =2)= ? ? ? , 3 3 3 5 5 C6 C6 5 C6 ∴ ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 1 1 P 5 5 5 …………………………………………………………………… 10 分 3 1 1 ∴ E ξ =0× +1× +2× =1 . ……………………………………………… 12 分 5 5 5 17 . 解: ( I )在△ ABC 中,由正弦定理有, a =2 R sin A , b =2 R sin B , c =2 R sin C , 代入 b = a cos C + c sin A 中,即得 2 R sin B =2 R sin A cos C +2 R sin C sin A , ∴ sin B =sin A cos C +sin C sin A .………………………………………………… 3 分 ∵ sin B =sin[ π - ( A + C )]=sin( A + C ) , ∴ sin( A + C )=sin A cos C +sin C sin A , 即 sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +sin C sin A , 整理得, cos A sin C =sin C sin A , 由 sin C ≠ 0 ,可得 cos A =sin A ,

∴ P ( ξ =0)=

∴ A=

?
4

. ……………………………………………………………………… 5 分

( II )在△ ABC 中, sin B = 1 ? cos 2 B ? 由

4 , 5

AC 5 AC BC 即 ,解得 AC = 4 2 ,……………………………… 7 分 ? ? 4 sin B sin A 2 5 2
=-

又∵ cos C =cos[ π - ( A + B )]= - cos( A + B )= - cos A cos B +sin A sin B

2 3 2 4 2 ? + ? = , 2 5 2 5 10 2 =49 , 10

∴ AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 AC · BC · cos C =32+25 - 2×4 2 ×5×
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∴ AB =7 , …………………………………………………………………… 10 分 于是由 BD ?

1 BA 可得 BD =1 , 7 3 5

∴ CD 2 = BD 2 + BC 2 - 2 BD · BC · cos B =1+25 - 2×1×5× =20 , ∴ CD = 2 5 .………………………………………………………………… 12 分 18 . 解 :( I )当 n =1 时, a 1 = S 1 =

(a1 ? 1) 2 ,整理得 ( a 1 - 1) 2 =0 ,解得 a 1 =1 . 4 (a ? 1) 2 (an ?1 ? 1) 2 ? 当 n ≥ 2 时, a n = S n - S n ?1 = n , 4 4 整理得 (an ? 1)2 ? (an ?1 ? 1)2 ? 0 ,即 (an ? an ?1 )( an ? an ?1 ? 2) ? 0 , ∵ a n >0 ,∴ an ? an ?1 >0 , ∴ an ? an?1 ? 2 , ∴ { a n } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列, ∴ a n =1+2( n - 1)=2 n - 1 . ……………………………………………………… 5 分 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), ( II ) an an?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
∴ Tn= =

1 1 1 + +…+ a n a n ?1 a1a2 a2 a3

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 = (1 ? ) 2 2n ? 1 n = , ………………………………………………………………… 8 分 2n ? 1 n 由题知 ≤ λ (2 n +1) 对 ? n ∈ N * 恒成立, 2n ? 1 n 即 λ≥ 对 ? n ∈ N * 恒成立, ………………………………………… 9 分 ( 2n ? 1) 2
n n ?1 n ? (2n ? 1) 2 ? 2 ,则 , b ? b ? ? ? n ? 1 n ( 2n ? 1) 2 (2n ? 3) 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 3) 2 (2n ? 1) 2 ∵ 对 ? n ∈ N * , 2 n +1 ≥ 3 , ∴ - (2 n +1) 2 +2<0 ,即 bn?1 ? bn ? 0 ,于是 bn?1 ? bn , ∴ { b n } 是单调递减数列, …………………………………………………… 11 分 1 即数列 { b n } 的最大值为 b 1 = , 9 1 1 ∴ λ ≥ ,即 λ 的最小值为 .……………………………………………… 12 分 9 9 19 .( I ) 证明 :由题意, AD // EF , ∵ EF ? 面 BEF , AD ? 面 BEF , ∴ AD // 面 BEF . ……………………………………………………………… 2 分
令 bn=
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又∵ AD ? 面 ABCD ,面 ABCD ∩面 BEF = l , ∴ AD // l , ……………………………………………………………………… 3 分 由主视图可知, AD ⊥ CD ,由侧视图可知, DE ⊥ AD , ∵ CD ∩ AD = D , ∴ AD ⊥面 CDE . ∴ l ⊥面 CDE .…………………………………………… 6 分 ( II )如图,建立空间直角坐标系 D - xyz , 则 A (1 , 0 , 0) , B (1 , 1 , 0) , C (0 , 2 , 0) , E (0 , 0 , 1) , F (1 , 0 , 1) , ∴ EF =(1 , 0 , 0) , BF =(0 , - 1 , 1) ,…… 7 分 设面 BEF 的一个法向量 n =( x , y , z ) , 则由 EF · n =0 , BF · n =0 可得 ? x ? 0, 令 y =1 ,则 z =1 , ? ?? y ? z ? 0, ∴ n =(0 , 1 , 1) , ………………………… 9 分 设 M (0 , 0 , m ) ,则 MC =(0 , 2 , - m ) , ∴ cos< MC , n >= 解得 m = F M D x A B C y z E

2?m 2 ? 4 ? m2

?

5 , 5

2 或 m =6 (舍), 3 2 处(靠近 E 点).…… 12 分 3

即存在满足点 M ,此时 M 的位置在线段 DE 的 20 . 解 :( I )设焦点 F ( c , 0) ,则

c 2 ? ,从而 a 2 =2 c 2 , a 2 c 1 1 1 由题意有 ( ) 2 ? 2 ? 1 ,即 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 =2 , 2 b a b 又由 a 2 = b 2 + c 2 ,于是 2 c 2 =2+ c 2 ,解得 c 2 =2 , a 2 =4 , x2 y2 ∴ 椭圆 E 的方程为 ? ? 1 . ……………………………………………… 4 分 4 2 ( II )依题意可知 BC ⊥ AC ,且∠ BCO = ∠ ACO =45 ?, 于是直线 BC 的斜率为 k BC =1 ,直线 AC 的斜率为 k AC = - 1 , ……………… 6 分 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C (0 , y 0 ) , y y ? y0 y ? y0 ? ?1 , k BC ? 2 ? 1, 则 k AC ? 1 x2 x1 C ∴ x 1 = y 0 - y 1 = - k ( x 1 - 1)+ y 0 , x 2 = y 2 - y 0 = k ( x 2 +1) - y 0 , B 相加得 x 1 + x 2 = k ( x 2 - x 1 ) . ……………… 8 分 O x A ? y ? kx ? 1, 联立 ? 2 消去 y , 2 ? x ? 2 y ? 4, 整理得 (1+2 k 2 ) x 2 +4 kx - 2=0 , 4k 2 ∴ x1+x2= ? ,x1x2= ? .……………………………………… 10 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 把 x 1 + x 2 = k ( x 2 - x 1 ) 两边同时平方,可得 ( x 1 + x 2 ) 2 = k 2 [( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1 x 2 ] ,
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4k 4k 2 ) 2 = k 2 [( ? ) 2 - 4×( ? )] , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 化简可得 4 k 2 +1=2 ,或 k 2 =0 ,解得 k = ? ,或 k =0 , 2 1 即存在满足条件的 k 值, k = ? ,或 k =0 .………………………………… 13 分 2 ? ? ? (1 ? ? )( x ? a) ? ? 21 . 解 :( I ) f ?( x) ? , ?x ? (1 ? ? )a x [?x ? (1 ? ? )a]x
代入可得 ( ? ∵ ∴ ∴ ∴ a >0 , 1 - λ >0 , λ >0 , x >0 , 当 x > a 时, f ?( x) >0 ; 0< x < a 时, f ?( x) <0 . f ( x ) 在 (0 , a ) 上单调递减,在 ( a , + ∞ ) 上单调递增, f ( x ) 有最小值 f ( a )=(1 - λ )ln a ,没有最大值. ……………………………… 4 分

( II )对 ? m >0 , ? x 0 >0 ,使得 令 h ( x )=ln( x +1) - x ,则 h?( x) ?

g ( x0 ? 1) ? 1 < m 成立.其理由如下:……… 5 分 x0

? ?? 上单调递减, 显然当 x ≥ 0 时, h?( x) ≤ 0 ,所以 h ( x ) 在 ?0 , ∴ h ( x ) ≤ h (0)=0 ,即 ln( x +1) - x ≤ 0 ,
于是可得当 x >0 时, ln( x +1)< x ,则 故

?x , x ?1

ln(x ? 1) ?1 ? 0 , x

g ( x ? 1) ? 1 < m 等价于 ln( x +1)+( m - 1) x >0 . ……………………………… 7 分 x 设 ? ( x) =ln( x +1)+( m - 1) x , m >0 , x >0 , (m ? 1) x ? m 1 则 ? ?( x) ? , ? m ?1? x ?1 x ?1 当 m ≥ 1 时, ? ?( x) >0 , ? ( x) 在 (0 , + ∞ ) 上单调递增, ∴ 对 ? x 0 >0 均有 φ ( x 0 )> φ (0)=0 恒成立, m m 当 0< m <1 时,由 ? ?( x) >0 可得 0< x < ,由 ? ?( x) <0 可得 x > , 1? m 1? m m m 于是 ? ( x) 在 (0 , ) 上是增函数,在 ( , + ∞ ) 是减函数, 1? m 1? m m ∴ 对 ? x 0 ∈ (0 , ) 均有 φ ( x 0 )> φ (0)=0 恒成立. 1? m 综上,对任意正数 m ,都存在正数 x 0 满足条件. ……………………… 10 分 (Ⅲ)证明:由( I )知,对 ? x >0 , a >0 , 0< λ <1 时, 都有 ln[ λ x +(1 - λ ) a ] - λ ln x ≥ (1 - λ )ln a . 即 ln x λ + ln a1? ? ≤ ln[ λ x +(1 - λ ) a ] , ? ? 令 λ 1 = λ , λ 2 =1 - λ , a 1 = x , a 2 = a ,则 ln(a1 1 a2 2 ) ≤ ln(a1?1 ? a 2 ?2 ) , ∵ y =ln x 在 (0 , + ∞ ) 上是增函数, ? ? ∴ a1 1 a2 2 ≤ a1?1 ? a2 ?2 .…………………………………………………… 14 分

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