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[名校联盟]浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学(文)试题



一、选择题(本大题 共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.设集合 A ? ?x x 2 ? 1? , B ? ?x x ? 0 ? ,则 A ? B ? ( A. ?x 0 ? x ? 1? B. ?x ? 1 ? x ? 0 ? ▲ ) D. ?x x ? 1?

C. ?x x ? ? 1

?
2

2. 设 i 是虚数单位,复数 z=cos45°-i·sin45°,则 z = ( ▲ )zxxk A. ? i B. i C. ? 1
2

D. 1 ▲ )

3.已知等比数列 { a n } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a 5 , a 2 =1,则 a 1 = (
1 2

A.

B.

2 2

C.

2

D.2
? 3

4.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin(2x ? )
3 ? C. y ? sin(2x ? ) 6 ?

对称的是 ( ▲ )
?

B. y ? sin(2x ? )
6 ? D. y ? sin( ? ) 2 3 x

5.已知 ? , ? 是两个不同的平面, m , n 是两条不同的直线,则下列命题不正确的是( ▲ ... A.若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n C.若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ?
??



6.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题 p : a ? b ? 1 ,是命题 q :? ? ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5? ? ? 的( ?2 6 ? ,

▲ )

7. 三位数中十位上的数字比百位上和个位上的数字都大的数称为“伞数” ,如“132”和“231”都是伞数, 从 1、2、3、4 四位数字中任取三个不重复的数字组成“伞数” 的概率为( ▲ ) A.
1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 8.若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,且 x 、 y 为整数,则 3 x ? 4 y 的最小值为( ? x ? 0, y ? 0 ?

▲ )

A.14

B.16

C.17

D.19

2 9.若函数 y = log a ( x ? ax ? 1) 有最小值,则 a 的取值范围是 (



) D.a ≥2

A.0<a<1 10.已知双曲线 C :
x a
2 2

B. 0<a <2,a≠1
? y b
2 2

C . 1<a<2

? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F 2 ,正三角形 A F1 F 2 的一边 A F1 与双曲线左支交

于点 B ,且 A F1 ? 4 B F1 ,则双曲线 C 的离心率的值是( ▲ )zxxk A.
3 2 ?1

????

????

B.

3 ?1 2

C.

13 3

?1

D.

13 ? 1 3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知某学校高三年级的两个班分别有 m 人和 n 人,某 次学校考试中,两个班学生的 数学平均分分别为 a 和 b ,则这两个班学生的数学平均分为 ▲ 。 12.已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? n , 若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项的值 S , 则判断框内的条件是 ▲ 。
1 1

13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ▲ 。

2

正视图
2

侧视图

14. 椭圆 x

2

?

y

2

? 1 的焦点到直线

2 x ? y ? 0 的距离为

俯视图 (第 13 题)




1 2

4

15.已知函数 f ( x ) ? 则 ta n 2 x 0 的值为

1 2

x?

1 4

s in x ?

3 4

c o s x 的图象在点 A ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线斜率为






2

1 16 . 若 函 数 y ? f ? x ? ? x ? R ? 满 足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) , 且 x ? ? ? 1 , ? 时 , f ? x? ? 1 ? x , 函 数
? lg x ? g ?x? ? ? 1 ?? ? x

?x ?x

? 0? ? 0?

,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ? 5, 5 ? 内的零点的个数为 ▲ 。

17.设∠POQ=60°在 OP、OQ 上分别有动点 A,B,若 OA · OB =6, △OAB 的重心是 G,则| OG | 的最小 值是 ▲ .

温州中学 2013 届高三第三次模拟测试 (文科)数学答题纸
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11———————————— 15———————————— 12———————————— 16———————————— 13———————————— 17———————————— 14————————————

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18. ? ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 B ? 60 ? , a ? ( 3 ? 1) c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知 S ? ABC ? 6 ? 2 3 , 求函数 f ( x ) ? cos 2 x ? a sin x 的最大值.

zxxk

19. 设公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列 ? a n ? 与公比为 q ( q ? 0 ) 的等比数列 ? b n ? 有如下关系:a 1 ? b1 ? 2 ,
a 3 ? b 3 , a b3 ? 5 .
C (Ⅰ) ? a n ? 和 ? b n ? 的通项公式; 求 (Ⅱ) A ? ?a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 20 ? ,B ? ?b1 , b 2 , b 3 , ? , b 20 ? , ? A ? B , 记

求集合 C 中的各元素之和。

20、如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ? DAB ?

?
3

,点 E,F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、D 不重

合, EF ? AC ? O ,沿 EF 将△CEF 翻折到 △PEF 的位置,使平面 PEF ? 平面 ABFED (Ⅰ)求证:BD⊥平面 POA (Ⅱ)当 P B 取得最小值时,求二面角 P ? BD ? F 的余弦值。

zxxk

21. 已知函数 f(x)=x -ax (a∈R) (Ⅰ)当 a =1 时,求函数 f(x)的单调区间 (Ⅱ)是否存在实数 a,使得 ? 在,说明理由。
2 3 9 ? f ( x ) ? 0 对任意的 x∈[0,1]成立?若存在,求出 a 的值,若不存

3

22.如图,已知抛物线 C : y ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4 ) ? y ? 4 ,过抛物线 C 上一点 H ( x 0 , y 0 ) 作两条
2 2 2

直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)求证:对任意的动点 H ,直线 EF 恒与⊙ M 相切.
y

9 2



zxxk A

H

M O E

B
x

F
[来源:Zxxk.Com]

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

[来源:Z.xx.k.Com]

温州中学 2013 届高三数学文科三模测试 参考答案
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 C A B B A B 7 B 8 B 9 C 10 D

二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11—— 15——
ma ? nb m ? n
3
—— ——

12——— n ? 9 —— 17——2—

13——6——

14—— 1 ——————

16——— 8 ——

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18. ? ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 B ? 60 ? , a ? ( 3 ? 1) c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知 S ? ABC ? 6 ? 2 3
? ?



求函数 f ( x ) ? cos 2 x ? a sin x 的最大值.
?

解: (1)因为 B ? 60 ,所以 A ? C ? 120 , C ? 120
2? 3 2? 3

? A

因为 a ? ( 3 ? 1) c ,由正弦定理可得: sin A ? ( 3 ? 1) sin C
sin A ? ( 3 ? 1) sin( ? A ) ? ( 3 ? 1)(sin cos A ? cos 2? 3 sin A )

? ( 3 ? 1)(
?

3 2

cos A ?

1 2

sin A ) ,整理可得: tan A ? 1

所以, A ? 45 (或 (2) S ? ABC ?
1 2
2

?
4


2

a

2

3 ?1

sin B ? 6 ? 2 3 可推出 a ? 4 , f ( x ) ? 1 ? 2 sin

x ? 4 sin x =

? 2 (sin x ? 1) ? 3

当 sin x ? 1 时,函数 f ( x ) ? 1 ? 2 sin

2

x ? 4 sin x 取得最大值 3

Zxxk

19. 设公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列 ? a n ? 与公比为 q ( q ? 0 ) 的等比数列 ? b n ? 有如下关系:a 1 ? b1 ? 2 ,
a 3 ? b 3 , a b3 ? 5 .
C (Ⅰ) ? a n ? 和 ? b n ? 的通项公式; 求 (Ⅱ) A ? ?a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 20 ? ,B ? ?b1 , b 2 , b 3 , ? , b 20 ? , ? A ? B , 记

求集合 C 中的各元素之和。 解: (I)由已知 ?
? 2d
2

?2 ? 2d ? 2q 2 ? 2 ? ( b 3 ? 1) d ? 5

,? ?

?1 ? d ? q 2 ? ?2 ? (2q ?
3 2
2

? 1) ? 5

????2 分 ????4 分

? d ?3? 0

得d ? 1 或d ? ?
? d ?1 ? q ?
n ?1

又q ? 1 ? d ? 0
2

2

????6 分 ????7 分
20 ? 19 2 ? 1 ? 230

? an ? n ? 1,

bn ? 2

2

(Ⅱ) 集合 A 中的元素和为: S 20 ? 20 ? 2 ?

集合 B 中的元素和为: T 20 ?

21? ( 2) 1? 2

?

20

? ? 2046 (
3 4

2 ? 1)

????9 分 ????11 分
2

集合 A 与集合 B 的相同元素和 为: 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 30
2

? 集合 C 中的元素和为: S ? S 20 ? T 20 ? 30 ? 2246 ? 2046

????14 分

20、如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ? DAB ?

?
3

,点 E,F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、D 不重

合, EF ? AC ? O ,沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置,使平面 PEF ? 平面 ABFED (Ⅰ)求证:BD⊥平面 POA (Ⅱ)当 P B 取得最小值时,求二面角 P ? BD ? F 的余弦值。

(1)略; (2)余弦值为

21. 已知函数 f(x)=x -ax (a∈R) (Ⅰ)当 a =1 时,求函数 f(x)的单调区间 (Ⅱ)是否存在实数 a,使得 ? 在,说明理由。
3 2 解: (1)f(x)=x -x, f ? ( x ) =3x -1=0,x= ?

3

2 3 9

? f ( x ) ? 0 对任意的 x∈[0,1]成立?若存在,求出 a 的值,若不存

3 3


3 3 , 3 3 3 3 , 3 3

x∈( ? ? ,?

3 3

)或 x∈(

3 3

, ?? )时 f ? ( x ) >0,x∈( ? 3 3

)时 f ? ( x ) <0, )

所以函数 f(x)的单调递增区间为( ? ? ,? (2)假设存在这样的 a,使得 ? 当 x=0 时,a∈R
2 3 9

)和(

3 3

, ?? ) ,函数 f(x)的单调递减区间为( ?

? f ( x ) ? 0 对任意的 x∈[0,1]成立,

先求 x ? ax ? 0 对任意的 x∈(0,1]成立,即 a ? x 对任意的 x∈(0,1]成立, 所以 a ? 1 ① ??????10 分
3 2

再求 x ? ax ?
3

2 3 9

. ? 0 对任意的 x∈(0,1]成立,即 a ? x

2

?

2 3 9

x

?1

对任意的 x∈(0,1]成立,

记t(x) ? x ?
2

2 3 9

x

?1

(x∈(0,1])
x
?2

t ?( x ) ? 2 x ?

2 3 9

, t ?( x ) ? 0 , x ?

3 3


2

在 x∈(0, 在 x∈(
3 3

3 3

)时, t ? ( x ) ? 0 ,函数 t ( x ) ? x ?
2

2 3 9 2 3 9

x

?1

递减, 递增。

,1)时, t ? ( x ) ? 0 ,函数 t ( x ) ? x ?

x

?1

所以,函数 t ( x ) ? x ?
2

2 3 9

x

?1

在区间[0,1]的最小值为 t (
2 3 9

3 3

) =1,所以 a ? 1



[来源:Zxxk.Com]

由①,②可知,存在这样的 a=1,使得 ?

? f ( x ) ? 0 对任意的 x∈[0,1]成立

22.如图,已知抛物线 C : y ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4 ) ? y ? 4 ,过抛物线 C 上一点 H ( x 0 , y 0 ) 作两条
2 2 2

直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线为 E、F 圆心点 M 到抛物线准线的距离为
9 2

两点,
y
H



(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)求证: 对任意的动点 H , 直线 EF 恒与⊙ M 相切. A 解 : Ⅰ ) M ( 4, 0 ) 到 抛 物 线 C : y ? 2 px 的 准 线 (
2

M O E

B
x

x ? ?

p 2

的距离为

p 2

?4 ?

9 2

? p ?1

F

? 抛物线 C 的方程为 y ? 2 x ???3 分
2

(Ⅱ)法一:由题意可知 k H A 斜率存在,且直线 EF : 2 x ? ( y 1 ? y 2 ) ? y ? y 1 y 2 ? 0 ∴圆 M 到 EF 的距离 d ?
? ? ? 同理有: ? ? ? ?
| 8 ? y1 y 2 | 4 ? ( y1 ? y 2 )
2

???10 分

| 8 ? y1 y 2 | 4 ? ( y1 ? y 2 ) | 8 ? y1 y 2 | 4 ? ( y1 ? y 2 )
2 2

? 2 ? 2

2 ? ( y 0 ? 4 ) y 12 ? 8 y 0 y ? 4 y 0y ? 48 ? 0 ? ? 2 2 2 ? ( y 0 ? 4 ) y 2 ? 8 y 0 y ? 4 y 0 ? 48 ? 0

? y1 ? y 2 ?

? 8 y0 y0 ? 4
2

y1 ? y 2 ?

48 ? 4 y 0 y0 ? 4
2

2

????????13 分

|8?

48 ? 4 y 0 y0 ? 4
2

2

| ?

∴d ?
4?(

4( y 0 ? 4)
2 2

? 8 y0 y0 ? 4
2

)

2

2( y 0 ? 4)

? 2

∴直线 EF 与圆 M 恒相切。 法二:由题意可知 k H A 斜率存在,

????????15 分

① 当 k H B 不存在时,易得⊙ M 为正 ? H E F 的内切圆,命题成立. ??????10 分

② 当 k H B 存在时,原命题即为由⊙ M 为 ? H E F 的内切圆出发,去求解 H 的坐标,必不可能有 有限个解.
k HE ? y1 ? y 0 x1 ? x 0 ? 2 y1 ? y 0

, lHE : y ? y0 ?

2 y1 ? y 0

( x ? x0 )

2 2 2 由 M ( 4, 0 ) 到 l H E 的距离为 2 可得 ( y 0 ? 4 ) y 1 ? 8 y 0 y 1 ? 4 y 0 ? 4 8 ? 0

同理 ( y 0 ? 4 ) y 2 ? 8 y 0 y 2 ? 4 y 0 ? 4 8 ? 0
2 2 2

? y1 ? y 2 ?

8 y0 4 ? y0
2

, y1 y 2 ?

4 y0 ? 48
2

4 ? y0

2

Zxxk

???12 分

8[8 ? y1 ? y 2 ?

4 y0

( y 1 ? y 2 )]( y 1 ? y 2 )
2

8(8 ? ? 2 y0 ? 8 y0

4 y0

? (

8 y0 4 ? y0 16 y0
2 2

) ? 2 y0 ? 8 y0 4 ? y0
2

( y1 ? y 2 ) (

16 y0
2

恒成立,

? 4)

4 ? y0

2

? 4)

? 对任意的动点 H ,直线 EF 恒与⊙ M 相切.

???Zxxk

?15 分

附件 1:律师事务所反盗版维 权声明

附件 2:独家资源交 换签约 学校名录(放大查看) 学校名录 参见 :http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060

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