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2.3.1等差数列的前n项和



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2.3.1 等差数列的前 n 项和
教学目的: 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路. 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 教 学重点:等差数列 n 项和公式的理解、推导及应 教学难点:灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上,使学生掌握等差数列求和公式,并 能利用它求和 解决数列和的最值问题 等差数列求和公式的推导,采用了倒序相加法,思路 的获得得益于等到差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的 认识和发现 通过对等差数列求和公式的推导,使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程:
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一、复习引入: 首先回忆一下前几节课所学主要内容: 1.等差数列的定义: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ) 2.等差数列的通项公式:
?

an ? a1 ? (n ? 1)d

( an ? am ? (n ? m)d 或 an =pn+q (p、q 是常数))

3.几种计算公差 d 的方法: ① d= an - a n ?1 4.等差中项: A ? ② d=

a n ? a1 n ?1

③ d=

an ? am n?m

a?b ? a, b, 成等差数列 2

5.等差数列的性质: m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 6.数列的前 n 项和: 数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记为 S n . “小故事”: 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在 给大家出道题目: 1+2+?100=?” 过了两分钟,正当大家在: 1+2=3; 3+3=6; 4+6=10?算得不亦乐乎时, 高斯站起来回答说: “1+2+3+?+100=5050 教师问: “你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101; 2+99=101;?50+51=101,所以
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101×50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现 和寻找出某些规律性的东西 (2) 该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法, 这就是下面我们要 介绍的“倒序相加”法 二、讲解新课: 如图, 一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔, 往上每 一层都比它下面一层多放一支, 最上面一层放 120 支, 这个 V 形架上 共放着多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的 V 形架,这形同前面所接触过的堆放 钢管的 示意图, 看到此图, 大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与 层数的 关系,而且可以用一个式子来表示这种关系,利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么,这 个 V 形架上共放着多少支铅笔呢?这个问题又该如何解决呢?经过分析,我们不难看出, 这是一个等差数求和问题? 这个问题,它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题,它可以看成是求等差数列 1, 2,3,?,n,?的前 120 项的和.在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示,且任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和,这就启发我们如何去 求一般等差数列的前 n 项的和.如果我们可归纳出一计算式,那么上述问题便可迎刃而解.
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1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明:

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
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从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , an 但 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用) 总之:两个公式都表明要求 S n 必须已知 n, a1 , d , an 中三个
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公式二又可化成式子:

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

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三、例题讲解

例1、计算:

(1).1 ? 2 ? 3 ? (2).1 ? 3 ? 5 ?

?n

n(n ? 1) 2 ? (2n ? 1) ? n2 ?

(3).2 ? 4 ? 6 ? ? 2n (4).1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ?
(4)解:原式 ? [1? 3 ? 5 ?

? n(n ? 1)

? (2n ? 1) ? 2n
? 2n)

? (2n ?1)] ? (2 ? 4 ? 6 ?

又解:原式 ? (1? 2) ? (3 ? 4) ? (5 ? 6) ?
解:设题中的等差数列为 ?an ? ,前 n 项为 S n 则 a1 ? ?10, d ? (?6) ? (?10) ? 4, S n ? 54 由公式可得 ? 10 n ?

? [(2n ?1) ? 2n]

例 2 等差数列-10,-6,-2,2,?前多少项的和是 54?

n(n ? 1) ? 4 ? 54 2

解之得: n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去) ∴等差数列-10,-6,-2,2?前 9 项的和是 54

例3、数列?an ? 为等差数列,若a1 ? a2 ? a3 ? 12,
a8 ? a9 ? a10 ? 75, 求 S10 .
?a ? d ? 4 ?a ? 1 ?a1 ? a2 ? a3 ? 12 ?? 1 ?? 1 ?a1 ? 8d ? 25 ?d ? 3 ?a8 ? a9 ? a10 ? 75
10 ? 9 d ? 145 2

解: 由?

? S10 ? 10a1 ?

又解: 由?

?a1 ? a2 ? a3 ? 12 ? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8 ? 87 a ? a ? a ? 75 ? 8 9 10

a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8
? 3(a1 ? a10 ) ? 87即(a1 ? a10 ) ? 29

整体运算 的思想!

S10 ?

10(a1 ? a10 ) ? 5(a1 ? a10 ) ? 5 ? 29 ? 145 2

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例4、 在等差数列 ?a

n

?中,

已知 a 2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求 S16 .
解: a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36

? a2 ? a15 ? a5 ? a12 ? a1 ? a16 ? 18 ?
S16 ? 16( a1 ? a16 ) ? 8( a1 ? a16 ) 2

? 8 ? 18 ? 144

例5 .已知等差数列{ an }中 a1 =13且 S 3 = S11 ,那么n取何值时, S n 取最大值. 解法1:设公差为d,由 S 3 = S11 得: 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,

an =13-2(n-1),

an =15-2n,

由?

?a n ? 0 ?15 ? 2n ? 0 即? 得:6.5≤n≤7.5,所以n=7时, S n 取最大值. ?a n ?1 ? 0 ?15 ? 2(n ? 1) ? 0

解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n = - n 2 +14 n 2 2
2

= -(n-7) +49 ∴当n=7, S n 取最大值
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对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
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当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
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(2) 利用 S n : 由 Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 2 2

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四、练习:

1、一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项 的和的差是27,求这个等差数列的通项公式。

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S 4 ? 24 ? 4 a1 ? 6 d ? 24 解:? ? ? ? ? (5a1 ? 10 d ) ? (2 a1 ? d ) ? 27 ? S 5 ? S 2 ? 27 ?a ? 3 ?? 1 ? an ? 3 ? 2( n ? 1) ? 2 n ? 1 d ? 2 ?
2、已知等差数列?an ?中,a6 ? 20, 求S11 .
解: a6 ? 20 ? a1 ? a11 ? 2a6 ?
S11 ? 11( a1 ? a11 ) ? 11a 6 ? 220 2

五、小结

本节课学习了以下内容:

1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? 3. S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (3) 利用 an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
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当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
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d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次函数配方法求得最值时n的值 2 2 六、课后作业:课后作业:课本52页A组 1---6
(4) 利用 S n : S n ?

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