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江苏省射阳县第二中学2015-2016学年高二数学下学期第一次学情调研(期中)试题 理



射阳县第二中学 2015-2016 学年度第二学期期中测试 高二数学(理科)试题
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请将答案写在答题纸对应的位置上) 1、已知 z=1-2i,则 z 的虚部是 ▲ . 2、一质点按规律 s=2t 运动, 则在 t=2 时的瞬时速度为
3 f '(1) ? 0 ,则 m ? 3、函数 f

( x) ? x ? mx ? 3,若
3

▲ ▲ . ▲

4、 已知复数

1 ? ai (i为虚数单位, a ? R) 的实部与虚部互为相反数,则 a = i
▲ ▲ . ▲

5、函数 y ? x ? 2sin x, x ? (0, ? ) 的单调増区间为 6、曲线 y ? e x 在点 A(0,1) 处的切线斜率为
3 2

7、已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 , 则 a+b 的值为

8、已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 1 3 y=- x +81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为____▲____万件. 3 9、函数 f ( x) ? xe , x ?[0,4] 的最小值是
?x



10 、用数学归纳法证明等式“ 1+2+3+---+ ( n+3 ) =

? n ? 3?? n ? 4 ?
2

,当 ?n ? N ? ”
*

n=1 时,等式应为

_____________▲_________________. 11、有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线

b? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因
?

为 ▲ 。 2 12、若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是



.

13. 设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用 f(n) 表示这 n 条直线交点的个数,当 n>4 时,f(n)= ▲ ( 用 n 表示). 14、 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 , 的解集是 ▲

xf ?( x) ? f ( x) ? 0, (x x2

? 0) , 则不等式 x f ( x) ? 0
2

二.解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸上相应的区域内作答,并写出必要的文字说明和 解题步骤) 15、 (满分 14 分)实数 m 取什么数值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? m ? 2)i 分别是:
2 2

(1)实数?

(2)虚数?

(3)纯虚数?

1

16、 (满分 14 分)已知函数 f(x)=x +aln x. (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; 2 (2)若 g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是 单调增函数,求实数 a 的取值范围

2

x

17、 (满分 15 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,通项公式为 an ?

n ?1 ? S2 n , 1 , f ( n) ? ? , n?2 n ?S2 n ? Sn?1 ,

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)比较 f (n) 与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

2

18.(满分 15 分) 若函数 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? bx ? c 在 x ? 1 时取得极值,且当 x ?[?1, 2] 时, f ( x) ? c2 恒成立. 2

(1)求实数 b 的值; (2)求实数 c 的取值范围.

19、 (满分 16 分)如图,在半径为 30 cm 的

1 圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC ,其中点 4

B 在圆弧上,点 A 、 C 在两半径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面
(不计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长 AB ? x cm ,圆柱的体积为 V cm .
3

(1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式,并指出定义域; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?最大体积是多少?

(第 19 题图)

3

ln x 20、 (满分 16 分)已知函数 f(x)= .

x

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 a>0,求函数 f(x)在[2a,4a]上的最小值; (3)某同学发现:总存在正实数 a、b(a<b),使 a =b ,试问:他的判断是否正确?若不正确,请说明 理由;若正确,请直接写出 a 的取值范围(不需要解答过程).
b a

4

射阳县第二中学 2015-2016 学年度第二学期期中测试 高二数学(理科)试题答题卷 一、填空题: (14 题,每题 5 分,共 70 分)

1、____________

2、____________

3、____________

4、____________

5、____________

6、____________

7、____________

8、____________

9、____________

10、____________

11、____________

12、____________

13、____________ 二、解答题: 15、 (本题满分 14 分)

14、____________

5

16、 (本题满 分 14 分)

17、 (本题满分 15 分)

18、 (本题满分 15 分)

6

19、 (本题满分 16 分)

(第 19 题图)

20、 (本题满分 16 分)

7

高二数学(理科)试题(参考答案) 一、填空题: (14 题,每题 5 分,共 70 分) 1、 -2 2、 24 3、 3 4、 1 5、 ?

?? ? ,? ? ?3 ?

6、1 12、?? ?,0?

7、 3 13、f(n)=

8、 9

9、 0 10、 1+2+3+4=

(1 ? 3)(1 ? 4) 2

11、 大前 提错误

(n ? 1)( n ? 2) 2

14、 (?1,0) ? (1,??)

15、 (满分 14 分)
8

(1)m ? 2或m ? ?( 1 5分) (2)m ? 2且m ? ?( 1 5分) (3)m ?( 1 4分)

2(x+1)(x-1) 16、 (满分 15 分)解:(1)由题意 f(x)的定义域为(0,+∞),当 a=-2 时,f′(x)= ,

x

令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=-1(舍去),当 0<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0; 所以 f(x)的递减区间为(0,1),递增区间为(1,+∞),极小值为 f(1)=1,无极大值. -----------------------7 分 2 a 2 2 (2)由 g(x)=x +aln x+ 得 g′(x)=2x+ - 2,

x

x x

若函数 g(x)为[1,+∞)上的单调递增函数,则 g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立. 2 2 2 2 2 即 a≥ -2x 在[1,+∞)上恒成立,令 h(x)= -2x ,则 h′(x)=- 2-4x<0

x

x

x

所以 h(x)在[1,+∞)上为减函数,因此 h(x)有最大值 h(1)=0,所以 a 的取值范围是 [0,+∞). ---------------------15 分

17、 (1)由已知 f (1) ? S2 ? 1 ?

1 3 ? , 2 2 1 1 1 13 f (2) ? S4 ? S1 ? ? ? ? , 2 3 4 12 1 1 1 1 19 ; ??3 分 f (3) ? S6 ? S2 ? ? ? ? ? 3 4 5 6 20 (2)由(Ⅰ)知 f (1) ? 1, f (2) ? 1 ;下面用数学归纳法证明: 当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . (1)由(Ⅰ)当 n ? 3 时, f (n) ? 1 ; ??5 分 (2)假设 n ? k (k ? 3) 时, f (n) ? 1 ,即

f (k ) ?

1 1 1 ? ??? ? 1 ,那么 k k ?1 2k 1 1 1 1 1 f (k ? 1) ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2
1 1 1 ? 1 1 1 ?1 ?? ? ? ??? ? ? ?? 2k ? 2k ? 1 2 k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2

1 ? ? 1 1 ? 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) ? 1 ?1? ? ? ? ? ??? ? ?1? 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) ? 2k ? 1 2 k ? ? 2 k ? 2 2 k ? ?1? 1 1 ? ? 1 ,所以当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 1 也成立.??13 分 2k (2k ? 1) k (2k ? 2)
9

由(1)和(2)知,当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . 所以当 n ? 1 ,和 n ? 2 时, f (n) ? 1 ;当 n ? 3 时, f (n) ? 1 .

??15 分

18、解: (1)由题意, x ? 1 是方程 3x ? x ? b ? 0 的一个根,设另一个根是 x0 ,则
2

1 ? x0 ? 1 ? ? 2 ? 3 ,所有 x0 ? ? , b ? ?2 ? 3 ? x ?1 ? b 0 ? 3 ?
(2)所以 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c , f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) , 2 2 3

令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? ? , x2 ? 1

x
f '( x )
f ( x)

2 ( ?1, ? ) 3
+

?

2 3

2 ( ? ,1) 3
-

1
0 极小值
2

(1, 2)
+

0 极大值

?

22 ?c 27

?

?

又 f (2) ? 2 ? c ,所以,当 x ? 2 时, f ( x)max ? 2 ? c 。所以 2 ? c ? c , 所以, c 的取值范围是 (??, ?1) ? (2, ??) . 19、解: (1)连结 OB,∵ AB ? x ,∴ OA ? 900? x 2 , 设圆柱底面半径为 r ,则 900? x 2 ? 2?r , 即 4? r ? 900 ? x ,
2 2 2

所以 V ? ?r x ? ? ?
2

900 ? x 2 900x ? x 3 ? x ? 4? 4? 2

其中 0 ? x ? 30 。

(2)由 V ? ? 因此 V ?

900 ? 3x 2 ? 0 ,得 x ? 10 3 4?

900x ? x 3 在(0, 10 3 )上是增函数,在( 10 3 ,30)上是减函数。 4?

所以当 x ? 10 3 时,V 有最大值

1500 3

?



1-ln x 1-ln x 20、解:(1)定义域为(0,+∞),f′(x)= ,令 f′(x)= =0,则 x=e,当 x 变 2 2

x

x

化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

10

x f′(x) f(x)

(0,e) +

e 0 1 e

(e,+∞) -

?

?

∴f(x)的单调增区间为(0,e);单调减区间为(e,+∞).----------4 分 (2)由(1)知 f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以, e 当 4a≤e,即 a≤ 时,f(x)在[2a,4a]上单调递增,∴f(x)min=f(2a); 4 e 当 2a≥e,即 a≥ 时,f(x)在[2a,4a]上单调递减,∴f(x)min=f(4a) 2 e e 当 2a<e<4a 时,即 <a< 时,f(x)在[2a,e]上单调递增,f(x)在[e,4a]上单调递减, 4 2 ln a ∴f(x)min=min{f(2a),f(4a)}.下面比较 f(2a),f(4a)的大小,∵f(2a)-f(4a)= , 4a e ln 2a e ∴ 若 <a≤1,则 f(2a)-f(4a)≤0,此时 f(x)min=f(2a)= ;若 1<a< , 4 2a 2 ln 4a 则 f(2a)-f(4a)>0,此时 f(x)min=f(4a)= , 4a ln 2a ln 4a 综上得:当 0<a≤1 时,f(x)min=f(2a)= ;当 a>1 时,f(x)min=f(4a)= . 2a 4a ------------ ------------10 分 (3)正确,a 的取值范围是 1<a<e. 注:理由如下,考虑几何意义,即斜率,当 x→+∞时, f(x)→0.

又∵f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减 ∴f(x)的大致图象如上图所示,∴总存在正实数 a、b 且 1<a<e<b, ln a ln b b a 使得 f(a)=f(b),即 = ,即 a =b .-----------------------------------16 分

a

b

11



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