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2.3.1 平面向量基本定理



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2.3.1 平面向量基本定理
【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含 义. 2.在平面内, 当一组基底选定后, 会用这组基底来表示其他 向量 . 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 【看一看学法指导,学习更灵活】 1.平面向量基本定理的实质:平面内的任一向量都可以沿 两个不共线的方向分解成两个向量和的形式;而且基底一 旦确定,这种分解是唯一的 . 2.求两个非零向量夹角,要注意两向量一定是有公共起点; 两向量夹角的范围是 [0, π].

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填一填·知识要点、记下疑难点

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1.平面向量基本定理

不共线 (1)定理:如果 e1, e2 是同一平面内的两个 _______向量, 任意 向量 a, 有且只有一对 那么对于这一平面内的_____ ______________实 λ1 e1 + λ2 e2 数 λ1, λ2,使 a= _____________. 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 (2)基底:把 _______ 所有 向量的一组基底. _______

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2.两向量的夹角与垂直

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非零向量 a 和 b, (1)夹角:已知两个 ____________ → → ∠AOB =θ 作OA= a,OB= b,则 ________
(0° ≤θ≤ 180° ),叫做向量 a 与 b 的 夹角.

[0°,180° ] ①范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是 _____________ . 同向 . ②当 θ= 0° 时, a 与 b_____ 反向 . ③当 θ= 180° 时, a 与 b______ 90°, (2)垂直: 如果 a 与 b 的夹角是 ______ 则称 a 与 b 垂直, a⊥b 记作 ______.

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问题探究一 向量的合成 如图,给定平面内任意两个向量 e1,e2,请你 作出向量 3e1+ 2e2、 2e1- e2.
→ → 答 在平面内任取一点 O,作OA=3e1,OB= → → → 2e2, 以OA, OB为邻边作平行四边形 OACB, 则对角线OC= 3e1+2e2,如图(1)所示.

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在平面内任取一点 O′,作O′A ′=2e1 ,O′B ′=-e2,以





O′A′, O′B′为邻边作平行四边形 O′A′C′B′,则
→ O′C′=2e1-e2,如图(2)所示.

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问题探究二 向量的分解

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如图, e1, e2 是平面内两个不共线的向量, a 是这一平面内任一向量, a 能否表示成 λ1e1+ λ2e2 的形式,请通过作图探究 a 与
→ → 答 在平面内任取一点 O,作OA=e1,OB=e2, → OC=a,过点 C 分别作平行于 OB,OA 的直 线,交直线 OA 于点 M,交直线 OB 于点 N, → → → → → → 有OM=λ1OA,ON=λ2OB,∵OC=OM+ → ON,∴a=λ1e1+λ2e2,如图所示.

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e1、 e2 之间的关系.

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问题探究三 向量分解的唯一性

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如果 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线的向量, a 是和 e1、 e2 共面的任一向量,且存在实数 λ1、λ2 使 a=λ1e1+λ2e2, 证明 λ1,λ2 是唯一确定的.(提示:利用反证法) 答 假设存在另一组实数 λ′1,λ′2 也能使
a=λ′1e1+λ′2e2 成立,则 λ′1e1+λ′2e2=λ1e1+λ2e2.

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∴(λ′1-λ1)e1+(λ′2-λ2)e2=0.
∵e1、e2 不共线,∴λ′1-λ1=λ′2-λ2=0, ∴λ′1=λ1,λ′2=λ2. ∴使 a=λ1e1+λ2e2 成立的实数对 λ1,λ2 是唯一的.

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典型例题 例 1 如果 e1, e2 是平面 α 内两个不共线的向量, 那么下列 说法中不正确的是 ________. (填对应说法的序号 ) ① λe1+ μe2(λ、 μ∈ R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 内任一向量 a, 使 a= λe1+ μe2 的实数对 (λ, μ)有无穷多个; ③若向量 λ1e1+ μ1e2 与 λ2e1+ μ2e2 共线,则有且只有一个 实数 λ,使得 λ1e1+ μ1e2= λ(λ2e1+ μ2e2); ④若存在实数 λ, μ 使得 λe1+ μe2= 0,则 λ= μ=0.

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解析

由平面向量基本定理可知,①④是正确的.

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对于②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底 确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的. 对于③,当两向量的系数均为零,即 λ1=λ2=μ1=μ2=0 时, 这样的 λ 有无数个. 小结 考查两个向量是否能构成基底, 主要看两向量是否非 零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上 任意一个向量都可以由这个基底惟一线性表示出来.

答案

②③

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跟踪训练 1 设 e1、e2 是不共线的两个向量,给出下列四组 向量:①e1 与 e1+e2;②e1-2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2 -2e1;④e1+e2 与 e1-e2.其中能作为平面内所有向量的一 组基底的序号是①②④ _______.(写出所有满足条件的序号 )
解析 对于③4e2-2e1=-2e1+4e2 =-2(e1-2e2), ∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,不能作为基底.

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例 2 如图,梯形 ABCD 中, AB∥ CD,

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且 AB= 2CD, M、 N 分别是 DC 和 AB → → 的中点,若AB= a,AD= b,试用 a、 b → → → 表示DC、BC、 MN. 解 如图所示,连接 CN,则四边形 ANCD 是平行四边形. → → 1→ 1 则DC=AN=2AB=2a, → → → → 1→ BC=NC-NB=AD- AB 2 1 =b- a, 2 → → → → 1→ MN=CN-CM=-AD-2CD → 1? 1 → ? 1 =-AD- ?- AB?= a-b. 2? 2 ? 4

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小结

用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形

将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时,首先 仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理, 结合平面向量基本定理解决.

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跟踪训练 2 如图,已知△ABC 中, D 为 BC 的中点, E, F 为 BC 的三等分点, → → → 若AB=a,AC=b,用 a、b 表示AD、 → → AE、AF. → → → → 1→ 解 AD=AB+BD=AB+ BC 2 1 1 1 =a+ (b-a)= a+ b; 2 2 2 → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+ BC 3 1 2 1 =a+ (b-a)= a+ b; 3 3 3 → → → → 2→ AF=AB+BF=AB+3BC 2 1 2 =a+3(b-a)=3a+3b.

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例 3 如图所示,在△ ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN= 2NC, AM 与 BN 相交于点 P,求证: AP∶ PM = 4∶ 1.
→ → 证明 设AB=b,AC=c, 1 → 1 → 2→ → → → 2 则AM=2b+2c,AN=3AC,BN=BA+AN=3c-b. → → → → ∵AP∥AM,BP∥BN, → → → → ∴存在 λ,μ∈R,使得AP=λAM,BP=μBN, → → → 又∵AP+PB=AB, → → → ∴λAM-μBN=AB,

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?1 ?2 ? 1 ? ∴由 λ? b+ c?-μ? c-b?=b 2 ? ?2 ?3 ? ?1 ? ?1 2 ? ? λ+ μ? b+? λ- μ? c= b. 3 ? ?2 ? ?2

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又∵b 与 c 不共线.
?1 ? 4 ?2λ+μ=1, ?λ=5, ∴? 解得? 1 2 ? λ- μ=0. ?μ=3. 5 ?2 3 ? → 4→ 故AP=5AM,即 AP∶PM=4∶1. 小结 (1)充分挖掘题目中的有利条件, 本题中两次使用三点

共线,注重方程思想的应用; (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础, 应根据条 件灵活应用,熟练掌握.

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跟踪训练 3 如图所示,已知△ AOB 中, 点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点, → → OD= 2DB, DC 和 OA 交于点 E, → → 设OA= a,OB= b. → → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE= λOA,求实数 λ 的值.

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→ 2→ (1)由题意,A 是 BC 的中点,且OD= OB, 3 → → → 由平行四边形法则,OB+OC=2OA. → → → ∴OC=2OA-OB=2a-b, → → → 2 5 DC=OC-OD=(2a-b)- b=2a- b. 3 3 → → → → → (2)EC∥DC.又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λa 5 → =(2-λ)a-b,DC=2a-3b, 2-λ 1 4 ∴ 2 =5,∴λ=5. 3 解

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→ → 1.等边△ABC 中,AB与BC的夹角是 A.30° B.45° C.60° D.120°

( D )

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→ → → → → 2.如图,已知AB= a,AC= b,BD= 3DC,用 a,b 表示AD, → 则AD等于 ( B ) 3 1 3 A. a+ b B. a+ b 4 4 4 1 1 3 1 C. a+ b D. a+ b 4 4 4 4
→ → → → 3→ 解析 AD=AB+BD=AB+ BC 4 → 3 → → =AB+4(AC-AB) 1→ 3 → = AB+ AC 4 4 1 3 =4a+4b.

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→ → 3.已知 G 为△ ABC 的重心,设AB= a,AC= b.试用 a、 b → 表示向量AG.
解 连接 AG 并延长,交 BC 于点 D,则 D 为 BC 的中点, → 2→ 2 → → AG= AD= (AB+BD) 3 3 2 ?→ 1→ ? = ×?AB+ BC? 3 ? 2 ? 2→ 1 → 2→ 1 → → =3AB+3BC=3AB+3(AC-AB) 1→ 1 → 1 1 = AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3

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1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量; ②基底的选择是不唯一的. 平面内两向量不共线是这两个 向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解, 即平面内任一 向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形 式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想, 用向 量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中 涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.



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